2. Introducción
Aprender matemáticas es algo difícil, para los estudiantes,
ya que esta ciencia exacta no la relacionan los
conocimientos que se tiene de la escuela como: leyes,
teoremas, formulas, entre otras. Con los problemas que se le
presentan en la vida real; pues el aprendizaje no es
significativo.
La lógica estudia la forma del razonamiento y es
ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,
computación, física. Para determinar si un razonamiento es
válido o no, ya que una frase puede tener diferentes
interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado es correcto.
3. Objetivos
Objetivo General:
El objetivo general del presente proyecto es incentivar al
alumno a que aprenda a resolver ejercicios de lógica
matemática utilizando el método directo, contradicción
tautología y tablas de verdad.
Objetivo Específico:
Aprender a utilizar de manera correcta la lógica matemática en
la vida diría más no solo se quede en un simple concepto.
Resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa
utilizando tabla de valores.
Obtener mejores conocimientos sobre cada uno de estos temas
que serán de suma importancia en nuestra vida futura.
4. Tablas de verdad
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una
tabla que muestra el valor de verdad de una proposición
compuesta, para cada combinación de valores de verdad
que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años
1880, pero el formato más popular es el que introdujo
Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus,
publicado en 1921.
6. Ejemplos:
ENLAZA CADA PREPOSICIÓN CON SU FORMALIZACIÓN
“Llueve”= p “Hace sol”=q “Las brujas se penan”=r
1 Llueve y hace sol P ^ q
2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas no se
peinan
r<-> (p ^q)
3 Las brujas se peinan si únicamente llueve y hace sol ¬r->(¬ p v ¬ q)
4 Cuando las brujas no se peinan no llueve o no hace
sol
¬ 𝑝^𝑞 → 𝑟
5 Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las
brujas no se peinan
(p^¬r)v(q^¬r)
7. Tautologías y contradicción
TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una
tautología si es verdadera para todas las asignaciones de
valores de verdad para sus proposiciones componentes.
A ¬ A AV ¬ A
V
F
F
V
V
V
8. CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición
contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en
todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F.
A ¬ A A ^¬ A
V
F
F
V
F
F
9. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes: Leyes de Morgan:
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
Leyes conmutativa: Leyes del condicional:
p q ≡ q p p → q ≡ ~ p q
p q ≡ q p p → q ≡ ~ q → ~ p (contra recíproco)
Leyes de identidad o elemento
neutro:
p → q ≡ (p ~ q → 0) (reducción)
p 0 ≡ p Leyes del bicondicional:
p 1 ≡ p p ↔ q ≡ (p → q) (p → q)
Leyes de dominación: p ↔ q ≡ (p q) ( ~ p ~ q)
p 1 ≡ 1 p ↔ q ≡ ~ (p ⊻ q)
p 0 ≡ 0 Ley de la disyunción exclusiva:
Leyes de complementación: p ⊻ q ≡ (p ~ q) ( q ~ p)
p ~ p ≡ 1 (tercer excluido) Leyes de absorción:
p ~ p ≡ 0 (contradicción) p ( p q) ≡ p
~ ~ p ≡ p (doble negación) p ( p q) ≡ p
~ 1 ≡ 0 p (~ p q) ≡ p q
~ 0 ≡ 1 p (~ p q) ≡ p q
Leyes asociadas: Leyes distributivas:
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)
10. Razonamientos
Son proposiciones compuestas que pueden ser
representadas por la conjunción de proposiciones
denominadas premisas o hipótesis, la condicional como
operador lógico principal; y, una proposición final
denominada conclusión. Las premisas o hipótesis
corresponden al antecedente de la implicación, mientras que
la conclusión es su consecuente.
[H1 ^ H2 ^ H3… ^ Hn] → C
Conjunción de Hipótesis CONDICIONAL Conclusión
ANTECEDENTE Operador Lógico Consecuente
11. Validez de un razonamiento
Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional
que representa su estructura lógica es una tautología. Si
dicha forma proposicional es una contradicción o
contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en
cuyo caso se denomina falacia.
𝒑 → 𝒒 𝒓 ~ 𝐪 → ~ 𝐩
~ 𝑝 → 𝑞 𝑟 ~ q ~ p
~ ~p q r ~ q ~ p
~ ~p q r ~ (~q) ~p
~ ~p ~(q r ) ~(~q) ~p
𝑝 ~(q r) 𝑞 ~ 𝑝
𝑝 (~ q ~ r) 𝑞 ~ 𝑝
𝑝 ~ q) (p ~ r) 𝑞 ~ 𝑝
𝑝 ~ q) (p ~ r) ~ 𝑝 ~ 𝑞
𝑝 ~ q) ~(p ~ q (p ~ r)
1 (p ~ r)
1
12. Demostración matemática
Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún
problema relacionado a algo específico, se toma un conjunto
de premisas como algo verdadero, de las mismas se
obtienen una demostración que en sí, nos permiten
fortalecer la tesis, x hipótesis o Conclusiones. Debemos
acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de
reglas o pasos con secuencia lógica.
13. ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Basarse en conocimientos previos.
Probar su verdad.
Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis.
Encadenar una serie de razonamientos deductivos.
Aplicar propiedades, principios o leyes.
Es un razonamiento.
Se debe verificar que una proposición matemática es
verdadera o es falsa.
Es una cuestión lógica.
Es para que nos demos cuenta que es algo que existe por
lógica.
Es un procedimiento.
Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.
14. FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA
Verificación (concerniente a la verdad de una afirmación).
Explicación (profundizando en por qué es verdad).
Sistematización (organización de resultados dentro de un
sistema axiomático).
Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos
resultados).
Comunicación (transmisión del conocimiento matemático)
15. CONCLUSIONES:
Se concluye que la lógica matemática no solo se aplica en
ejercicios prácticos sino también en la vida diaria.
Además se aprendió a resolver ejercicios de una manera
más dinámica y directa utilizando tabla de valores y con
aplicación de la lógica.
RECOMENDACIONES:
Se espera que este documento no solo se lo aplique como
un tema más sino se lo utilice de la mejor manera en la vida
diaria utilizando la lógica y siguiendo cada uno de los pasos
planteados.