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Pag 48 53
1.
Pág. 48-53 1. Hallar
la longitud de arco de la hélice cónica 𝑪: 𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝒆𝑪𝒐𝒔( 𝑻), 𝒂𝒆𝑺𝒆𝒏( 𝑻), 𝒂𝒆 𝒕] desde el punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎) hasta el punto A ( 𝒂, 𝟎, 𝒂) SOLUCION La longitud de arcode una curva paramétrica 𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego: 𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝑒′], 𝑡 ∈ (−∞,0) 𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝑒′ 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) − 𝑎𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) − 𝑎𝑒𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 𝑎𝑒(cos( 𝑡) , 𝑎𝑒′] 𝐿 = ∫ √ 𝑎′𝑒′[ 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠2 + 2𝑆𝑒𝑛( 𝑡) 𝐶𝑜𝑠( 𝑡) + 𝐶𝑜𝑠2 + 1] 𝑑𝑡 0 −∞ 𝐿 = ∫ √𝑎′ 𝑒′[1+1+1] 𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑒 𝑡√3𝑑𝑡 = 𝑎𝑒 𝑡√3∫ = 𝑎√3 0 −∞ 0 −∞ 0 −∞ 2. Calcular L, para la función vectorial definida por : 𝒂( 𝒕) = [ 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒂𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒅𝒕] 𝒆𝒏 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝝅/𝟐 SOLUCION La longitudde arcode una curva paramétrica: 𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego 𝑎( 𝑡) = [ 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑑𝑡] 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 𝑎′( 𝑡) = [−𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡), 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡), 𝑐] 𝐿 = ∫ √[ 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2 + [ 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + 𝑐2 𝑑𝑡 = √ 𝑎2 + 𝑐2 ∫ 𝑑𝑥 = 𝜋√𝑎2 + 𝑐2 2 𝑥 2 0 𝑋 2 0
2.
3. Encontrar la
longitud de la curva definida por 𝒇( 𝒕) = [∫ 𝑪𝒐𝒔(𝜽) √𝜽 𝒅𝜽 , ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝜽) √𝜽 𝒅𝜽, 𝟒√ 𝒕 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 ] entre 𝒕 = 𝟏 𝒚 𝒕 = 𝒕 , sabiendo que 𝒇(𝒕) es el punto donde 𝒇′(𝒕𝟏)es paralelo al plano YZ ⟨ 𝟏 < | 𝟏 < 𝟐⟩. SOLUCION La longitudde arcode la curva paramétrica: 𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego: 𝑓(𝑡) = [∫ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) √ 𝜃 1 0 𝑑𝜃 ,∫ 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) √ 𝜃 1 0 𝑑𝜃,4√ 𝑡 ]0 ≤ 𝑡 ≪ 𝑡1 𝑓′( 𝑡) = [ 𝐶𝑜𝑠(𝑡) √ 𝑡 , 𝑆𝑒𝑛(𝑡) √ 𝑡 𝑑𝜃, 2 √2 ] 𝐿 = √[ 𝐶𝑜𝑠(𝑡) √ 𝑡 ] 2 + [ 𝑆𝑒𝑛(𝑡) √ 𝑡 ] 2 + 4 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ √ 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑆𝑒𝑛( 𝑡) + 4 𝑡 𝑡1 1 𝑑𝑡 = ∫ √5 𝑡 𝑡1+1 𝑑𝑡 𝑡1 0 𝐿 = √5𝑡 1 2⁄ ∮ 2√5(√𝑡1− 1) 𝑡1 1 4. Una partícula se mueve en el plano XY según la ecuación 𝒙 = 𝒆−𝟐𝒕 𝑪𝒐𝒔( 𝟑𝒕), 𝒚 = 𝒆−𝟐𝒕 𝑺𝒆𝒏(𝟑𝒕) encuentra la trayectoria desde t=0 a t=𝝅 SOLUCION . La longitudde arcode la curva paramétrica: 𝐿 = ∫ ! 𝑓( 𝑡)! 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego 𝑓( 𝑡) = [ 𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡), 𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 𝑓( 𝑡) = [−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡),−2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]
3.
𝐿 = ∫
√[−2𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) − 3𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡)]1 + [ −2𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(3𝑡) + 3𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑋 0 𝐿 = ∫ √ 𝑒−2𝑡[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡) + 12𝑆𝑒𝑛(3𝑡) 𝐶𝑜𝑠(3𝑡) + 9𝑆𝑒𝑛2(3𝑡)] 𝑑𝑡 𝑋 0 𝐿 = ∫ √𝑒−2𝑡[[4𝐶𝑜𝑠2(3𝑡] + 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)4𝑆𝑒𝑛′(3𝜋)− 12𝑆𝑒𝑛(3𝜋) 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) + 9𝐶𝑜𝑠′(3𝜋)] 𝑋 0 𝑑𝑡 𝐿 = ∫ √ 𝑒−4𝑡(4 + 9)𝑑𝑡 = √13∫ 𝑒−2𝜋 𝑑𝑡 = √13 2 𝑒−2𝑡 𝜋 0 | 𝜋 0 = √13 2 (1 − 𝑒−2) 𝜋 0 5. Considere la curva descrita por 𝒇( 𝒕) = [𝒕, 𝒂𝑪𝒉( 𝒕 𝒂 ) , 𝒂𝑺𝒉( 𝒕 𝒂 )] demuestre que la distanciaa lo largo de la curva desde (0, a, 0) hasta Pº en la curva es proporcional a la distancia de Pº al plano XY. SOLUCION La longitudde arcode una curva paramétrica 𝐿 = ∫ || 𝑓(𝑡)|| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 + [ 𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego 𝑓( 𝑡) = [ 𝑡, 𝑎𝐶ℎ( 𝑡 𝑎 ), 𝑎𝑆ℎ ( 𝑡 𝑎 )] 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑝º 𝑓′( 𝑡) = [1, 𝑆ℎ ( 𝑡 𝑎 ), 𝐶ℎ( 𝑡 𝑎 )] 𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑆ℎ ( 𝑡 𝑎 )] 1 + [ 𝐶ℎ( 𝑡 𝑎 )] −2 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑆ℎ( 𝑡 𝑎 )] 1 + [ 𝐶ℎ( 𝑡 𝑎 )] 2 𝑑𝑡 𝑃º 0 𝑃º 0 𝐿 = √2 ∫ 𝑆ℎ ( 𝑡 𝑎 ) 𝑃º 0 𝑑𝑡 = 𝑎√2𝑆ℎ( 𝑡 𝑎 ){ 𝑃º 0 = 𝑎√2𝑆ℎ( 𝑃º 𝑎 )
4.
6. Sea la
función 𝒓 = 𝒈(𝜽) con derivada continua en 𝒕 ∈ ⟨ 𝒂| 𝒃⟩. Demuestre que la longitud de la curva es 𝑳 = ∫ √𝑺 𝟐 + ( 𝑺 𝟐) 𝟐 𝒅𝒕 𝒃 𝒂 SOLUCION La longituddarco de una curva paramétrica: 𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑋`′(𝑡)]2 + 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 [ 𝑌′(𝑡)]2 𝑑𝑡 Luego 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) , 𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠( 𝜃) 𝑌 = 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) ; 𝑥′ = 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) Arreglándolosegúnlaexpresióndada: (𝑥)2 + (𝑦)2 = [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2 (𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 𝐶𝑜𝑠2( 𝜃) − 𝑟′𝑆𝑒𝑛(𝜃) [ 𝑟′ 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) − 𝑟𝑆𝑒𝑛(𝜃)]2 + [ 𝑟𝑆𝑒𝑛( 𝜃) + 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)]2 𝑟𝑒′ 𝑆𝑒𝑛( 𝜃) 𝐶𝑜𝑠( 𝜃) + ( 𝑟)2 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) (𝑥)2 + (𝑦)2 = (𝑟′)2 + 𝑟2 Luego: 𝐿 = ∫ √[ 𝑟′]2 + [ 𝑟]2𝑏 𝑎 𝑑𝑡 = ∫ √𝑔2 + [ 𝑔′2] 𝑏 𝑎 𝑑𝑡 Demostrado 7. Se la elipse descrita por 𝒙 = 𝒂𝑪𝒐𝒔( 𝒕), 𝒚 = 𝒃𝑺𝒆𝒏( 𝒕), 𝒕 ∈ [ 𝟎, 𝟐𝒙], 𝟎 < 𝒃 < 𝒂 . demuestra que la longitud de la elipse es 𝑳 = 𝟒𝒂∫ √ 𝟏 − 𝒆 𝟐(𝒕) 𝝅 𝟐⁄ 𝒖 𝒅𝒕 donde 𝒆 es la excentricidad de la elipse. SOLUCION La longitudde arcode una curva paramétrica: 𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego 𝑦 = 𝑏𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , 𝑥 = 𝑎𝐶𝑜𝑠( 𝑡) 𝑦 = 𝑏𝐶𝑜𝑠( 𝑡) , 𝑥′ = 𝑎𝑆𝑒𝑛( 𝑡) , Pero 𝑒 = 𝑐 𝑎 , 𝑐 = 𝑒𝑎 , 𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 𝑎2 = 𝑒2 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑏2 = 𝑎2 + (1 − 𝑒2)
5.
Arreglandosegúnlaexpresióndada: ( 𝑥2)+ (
𝑦2) = [ 𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑡)]2 + [−𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑡)]2 ( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑏2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡) = 𝑎2(1 − 𝑒2) 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡)+ 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2( 𝑡) ( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) + 𝑎2[1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] ( 𝑥2) + ( 𝑦2) = 𝑎2 − 𝑎2 𝑒2 𝐶𝑜𝑠2( 𝑡) = 𝑎2[1− 𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] Luego:4 regionessi se considera 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2⁄ 𝐿 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]2 + [ 𝑦′(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 = 4 ∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡 𝜋 2⁄ 0 Demostrado 𝐿 = 4∫ √𝑎2[1 − 𝑒2𝐶𝑜𝑠2(𝑡)] 𝑑𝑡 𝜋 2⁄ 0 8. Hallar la longitud de arco de la línea 𝑪: 𝒙 𝟐 = 𝟑𝒚, 𝟐𝒙𝒚 = 𝟗𝒛 desde el punto ( 𝟎, 𝟎, 𝟎)hasta el punto (𝟑, 𝟑, 𝟐) SOLUCION Parametrizamoslasecuacionesdadas:x=t, 𝑦 = 𝑡2 3 , 𝑧 = 2𝑡𝑡2 3(9) = 2𝑡2 27 La longitudde arcode una curva paramétrica 𝐿 = ∫ | 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √[ 𝑥′(𝑡)]−2 + [ 𝑦′(𝑡)]−2 + [ 𝑧′(𝑡)]−2 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Luego 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑡2 3 ; 𝑧 = 2𝑡2 27 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3 𝑥′ = 1 𝑦′ = 𝑡2 3 ; 𝑧′ = 2𝑡2 27 𝐿 = ∫ √1 + ( 2𝑡 3 ) 2 + ( 2𝑡 9 ) 23 0 𝑑𝑡 = ∫ √ 81 + 36𝑡2 + 4𝑡4 81 𝑑𝑡 = 3 0 ∫ √ (2𝑡2 + 9)2 81 𝑑𝑡 3 0 𝐿 = ∫ √ (2𝑡2 + 9)2 81 𝑑𝑡 3 0 = 2𝑡3 27 + 𝑡 { 3 0 = 2 + 3 = 5
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