Dokumen tersebut membahas tentang teori graf khususnya pohon. Pohon didefinisikan sebagai graf tak berarah yang terhubung tanpa siklus. Beberapa teorema tentang sifat-sifat pohon dijelaskan seperti setiap pohon hanya memiliki satu lintasan yang menghubungkan dua simpul, jumlah sisi sama dengan jumlah simpul dikurangi satu, dan setiap pohon memiliki minimal dua simpul berderajat satu.
2. Pengertian Pohon
Teori Graf, yaitu pohon (tree). Pertama kali konsep pohon digunakan
oleh Gusta Kircbboff (1824-1887) dalam bidang jaringan listrik.
Berikutnya konsep pohon dikembangkan oleh Arthur Cayley (1821-
1895). Di tahun 1857 Cayley menggunakan konsep ini untuk
menghitung banyaknya isomer-isomer yang berlainan dari 𝐶 𝑛 𝐻2 𝑛+2−
3. Definisi 8.4.
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) merupakan sebuah graf tak berarah yang tanpa loop. Graf 𝐺 disebut pohon jika 𝐺
merupakan graf terhubung dan tidak mengandung siklus. Pada gambar dibawah ini graf 𝐹 merupakan sebuah
pohon, sedangkan graf 𝐺 tidak merupakan pohon, karena pada graf 𝐺 terdapat sebuah siklus. Graf 𝐻,
merupakan graf tak terhubung, sehingga dengan sendirinya graf ini tidak termasuk pohon.
Termasuk pohon Bukan Termasuk pohon
Hutan
4. Teorema 8.3
Misalkan 𝑇 = (𝑉, 𝐸) merupakan sebuah pohon dan misalkan pula bahwa 𝑢 dan 𝑣 merupakan
dua simpul yang berlainan dalam 𝑇. Maka terdapat sebuah lintasan unik yang menghubungkan kedua
simpul tersebut.
Coba Buktikan (dengan kontradiksi):
Karena 𝑇 adalah sebuah pohon, maka 𝑇 termasuk graf terhubung. Ini
menunjukan bahwa ada paling sedikit satu lintasan yang menghubungkan simpul
𝑢 pada simpul 𝑣. Misalkan terdapat dua lintasan atau lebih yang menghubungkan
simpul 𝑢 dan 𝑣. Maka pasti akan terdapat beberapa sisi yang membentuk siklus.
Ini merupakan sebuah kontradiksi, karena 𝑇 adalah pohon sehingga tak
mungkin mengandung siklus. Dengan demikian lintasan yang dimaksud unik
5. Teorema 8.4
Misalkan 𝑇 adalah sebuah pohon. Maka berlaku 𝐸(𝑇 = 𝑉(𝑇) − 1.
Kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika pada 𝐸(𝑇) . Jika 𝐸(𝑇) = 0, maka
pohon tersebut memuat sebuah simpul terpencil. Dalam hal ini, 𝐸(𝑇 = 0 = 𝑉(𝑇) − 1 = 0.
Sekarang kita asumsikan bahwa teorema ini berlaku pula untuk pohon yang mengandung paling
banyak 𝑘 sisi, dengan 𝑘 ≥ 0. Untuk itu kita perhatikan Gambar 8.26.
F
b
G
H
oa
E
6. Teorema 8.5
Untuk setiap pohon 𝑇 = (𝑉, 𝐸), jika 𝑉(𝑇) ≥ 2, maka 𝑇 mempunyai paling sedikit 2 simpul
yang berderajat satu (perdant vertices).
Bukti:
Misalkan 𝑉(𝑇) = 𝑛 ≥ 2. Dari teorema diatas, kita mengetahui bahwa 𝐸(𝑇) = 𝑛 − 1. Oleh karena
itu, dengan berdasarkan pada Teorema 8.2, maka:
2 𝑛 − 1 = 2 𝐸(𝑇)
= 𝑣∈𝑉 deg(𝑣).
Karena 𝑇 adalah graf terhubung, maka deg 𝑣 ≥ 1 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝑇). Misalkan 𝑇 mempunyai
simpul yang berderajat satu kurang dari 2. Maka deg(𝑣) ≥ 2, untuk setiap simpul 𝑣 pada 𝑉(𝑇), atau
deg 𝑤 = 1 untuk hanya sebuah simpul 𝑤 pada 𝑉(𝑇). Dalam kasus pertama kita memperoleh kontradiksi.
2(𝑛 − 1) = 𝑣∈𝑉 deg 𝑣 ≥ 2 𝑉 = 2𝑛
Dari kasus kedua kita memperoleh
2(𝑛 − 1) = 𝑣∈𝑉 deg 𝑣 ≥ 1 + 2(𝑛 − 1), yang juga merupakan kontradiksi.
