2. Ejemplo Matrushka
• La Matrushka es una artesanía tradicional rusa.
Es una muñeca de madera que contiene otra
muñeca más pequeña dentro de sí. Esta
muñeca, también contiene otra muñeca dentro.
Y así, una dentro de otra.
2Mtra. Karla Silva R
3. ¿Qué es la recursividad?
• La recursividad es un concepto fundamental en
matemáticas y en computación.
• Es una alternativa diferente para implementar
estructuras de repetición (ciclos). Los módulos
se hacen llamadas recursivas.
• Se puede usar en toda situación en la cual la
solución pueda ser expresada como una
secuencia de movimientos, pasos o
transformaciones gobernadas por un conjunto de
reglas no ambiguas.
3Mtra. Karla Silva R
4. • Es una técnica de programación que nos permite que un
bloque de instrucciones se ejecute n veces. Remplaza
en ocasiones a estructuras repetitivas.
• Este concepto será de gran utilidad para el capítulo de la
estructura de datos tipo árbol.
• La recursividad es un concepto difícil de entender en
principio, pero luego de analizar diferentes problemas
aparecen puntos comunes.
4Mtra. Karla Silva R
5. Función recursiva
Las funciones recursivas se componen de:
– Caso base: una solución simple para un caso
particular (puede haber más de un caso
base). La secuenciación, iteración
condicional y selección son estructuras
válidas de control que pueden ser
consideradas como enunciados.
NOTA: Regla recursiva Las estructuras de control que se pueden
formar combinando de manera válida la secuenciación,
iteración condicional y selección también son válidos.
5Mtra. Karla Silva R
6. Función recursiva
– Caso recursivo: una solución que involucra
volver a utilizar la función original, con
parámetros que se acercan más al caso
base. Los pasos que sigue el caso
recursivo son los siguientes:
1. El procedimiento se llama a sí mismo
2. El problema se resuelve, resolviendo el
mismo problema pero de tamaño menor
3. La manera en la cual el tamaño del
problema disminuye asegura que el caso
base eventualmente se alcanzará
6Mtra. Karla Silva R
8. Ejemplo: factorial
Escribe un programa que calcule el factorial (!)
de un entero no negativo. He aquí algunos
ejemplos de factoriales:
– 0! = 1
– 1! = 1
– 2! = 2 2! = 2 * 1!
– 3! = 6 3! = 3 * 2!
– 4! = 24 4! = 4 * 3!
– 5! = 120 5! = 5 * 4!
8Mtra. Karla Silva R
9. Ejemplo: factorial (iterativo)
public int factorial (int n) {
int fact = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
fact *= i;
return fact;
}
9
int factorial (int n)
comienza
fact 1
para i 1 hasta n
fact i * fact
regresa fact
termina
Mtra. Karla Silva R
10. Ejemplo: factorial (recursivo)
int factorial (int n)
comienza
si n = 0 entonces
regresa 1
otro
regresa factorial (n-1)*n
termina
public int factorial (int n) {
if n == 0 return 1;
else
return factorial (n-1) * n;
}
10Mtra. Karla Silva R
13. Aquí podemos ver la secuencia que toma el factorial
1 si N = 0 (base)
N ! =
N * (N – 1) ! si N > 0 (recursión)
Un razonamiento recursivo tiene dos partes: la base y la
regla recursiva de construcción. La base no es recursiva y
es el punto tanto de partida como de terminación de la
definición.
13
Solución
Mtra. Karla Silva R
14. Solución Recursiva
Dado un entero no negativo x, regresar el factorial de x fact:
Entrada n entero no nogativo,
Salida:entero.
int fact (int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return fact(n – 1) * n ;
}
14
Es importante determinar
un caso base, es decir un
punto en el cual existe una
condición por la cual no se
requiera volver a llamar a
la misma función.
Mtra. Karla Silva R
15. ¿Cómo funciona la recursividad?
15
Llamadas recursivas
Resultados de las llamadas recursivas
Mtra. Karla Silva R
16. ¿Por qué escribir programas recursivos?
• Son mas cercanos a la descripción
matemática.
• Generalmente mas fáciles de analizar
• Se adaptan mejor a las estructuras de
datos recursivas.
• Los algoritmos recursivos ofrecen
soluciones estructuradas, modulares y
elegantemente simples.
16Mtra. Karla Silva R
17. ¿Cómo escribir una función en forma
recursiva?
<tipo_de_regreso><nom_fnc> (<param>){
[declaración de variables]
[condición de salida]
[instrucciones]
[llamada a <nom_fnc> (<param>)]
return <resultado>
}
17Mtra. Karla Silva R
18. Ejercicio
Considere la siguiente ecuación recurrente:
an = an-1 + 2n
a0 = 1
Escribe el algoritmo de la solución.
18Mtra. Karla Silva R
19. ¿Cuándo usar recursividad?
• Para simplificar el código.
• Cuando la estructura de datos es recursiva
ejemplo : árboles.
• Cuando los métodos usen arreglos largos.
• Cuando el método cambia de manera
impredecible de campos.
• Cuando las iteraciones sean la mejor opción.
19
¿Cuándo no usar recursividad?
Mtra. Karla Silva R
20. Algunas Definiciones.
• Cuando un procedimiento incluye una
llamada a sí mismo se conoce como
recursión directa.
20Mtra. Karla Silva R
21. Algunas Definiciones.
• Cuando un procedimiento llama a otro
procedimiento y éste causa que el
procedimiento original sea invocado, se conoce
como recursión indirecta.
NOTA: Cuando un procedimiento recursivo se llama recursivamente a
si mismo varias veces, para cada llamada se crean copias
independientes de las variables declaradas en el procedimiento.
21Mtra. Karla Silva R
22. Recursión vs. iteración
Repetición
Iteración: ciclo explícito
Recursión: repetidas invocaciones a método
Terminación
Iteración: el ciclo termina o la condición del ciclo
falla
Recursión: se reconoce el caso base
En ambos casos podemos tener ciclos infinitos
Considerar que resulta más positivo para cada problema
la elección entre eficiencia (iteración) o una buena
ingeniería de software, La recursión resulta normalmente
más natural.
22Mtra. Karla Silva R
23. Otros Ejemplos de recursividad:
• Inversión de una cadena
estática Cad invierte (Cad cadena, int limIzq, int
limDer)
si limDer = limIzq entonces regresa cadena
sino regresa invierte (cadena, limDer,
limIzq+1) + cadena [limIzq]
fin
23Mtra. Karla Silva R
24. Otros Ejemplo de recursividad:
Palíndromos
Un palíndromo es una cadena que se lee (se
escribe, en este caso) igual de izquierda a
derecha que de derecha a izquierda. Escribir una
función que determine cuando una cadena es o no
un palíndromo.
24Mtra. Karla Silva R
25. Solución
estática bool palindrome (Cad c, int limIzq, int limDer)
si limIzq > limDer entonces
regresa verdadero
sino
si c [limIzq] = c [limDer] entonces
regresa palindrome (c, limIzq+1, limDer-1)
sino regresa falso
fin
25Mtra. Karla Silva R
26. Ejemplo: Serie de Fibonacci
Valores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Cada término de la serie suma los 2 anteriores. Fórmula recursiva
fib(n) = fib (n - 1) + fib (n - 2)
Caso base: Fib (0)=0; Fib (1)=1
Caso recursivo: Fib (i) = Fib (i -1) + Fib(i -2)
public static int fib(int n){
if (n <= 1) return n; //condición base
else
return fib(n-1)+fib(n-2); //condición recursiva
} 26Mtra. Karla Silva R
27. Ejemplo: Serie de Fibonacci
Traza del cálculo recursivo
27
Fib(1)return
Fib(3)
Fib(2) +
return 1Fib(0)return Fib(1) +
return 1 return 0
Mtra. Karla Silva R
28. Trampas sutiles: Código ineficiente.
28
public int fib (int n)
{
if (n < 2)
return 1;
else
return fib (n-2) +
fib ( n-1);
}
public int fib (int n)
{
int f1 = 1, f2 = 1, nuevo;
while (n > 2)
{
nuevo = f1 + f2;
f1 = f2; f2 = nuevo;
n--;
}
return f2;
}fib (100) toma 50 años
en dar el resultado
fib (100) toma tan sólo
unos microsegundos en
dar el resultado
Mtra. Karla Silva R
29. Serie fibonacci Iteración vs recursión
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60
iteraciones
recursividad
29Mtra. Karla Silva R
30. Un ejemplo clásico de recursividad:
Torres de Hanoi
30
A B C
Mtra. Karla Silva R
31. Torres de Hanoi
• Tenemos tres astas A, B y C, y un conjunto
de cinco aros, todos de distintos tamaños.
• El enigma comienza con todos los aros
colocados en el asta A de tal forma que
ninguno de ellos debe estar sobre uno más
pequeño a él; es decir, están apilados, uno
sobre el otro, con el más grande hasta abajo,
encima de él, el siguiente en tamaño y así
sucesivamente.
31Mtra. Karla Silva R
32. Torres de Hanoi
• El propósito del enigma es lograr apilar los cincos
aros, en el mismo orden, pero en el hasta C.
• Una restricción es que durante el proceso,
puedes colocar los aros en cualquier asta, pero
debe apegarse a las siguientes reglas:
– Solo puede mover el aro superior de cualquiera de las
astas.
– Un aro más grande nunca puede estar encima de uno
más pequeño.
32Mtra. Karla Silva R
33. ¿Cómo resolvemos el problema?
• Para encontrar cómo se resolvería este
problema, debemos ir viendo cómo se
resolvería cada caso.
33http://personal4.iddeo.es/estaran/artiludi/pinacote/magritte/magritte.htmlMtra. Karla Silva R
34. ¿Cómo se resolvería el caso en
que hubiera un aro?
34
Pasando directamente el aro de A a C.
A B C
Mtra. Karla Silva R
35. ¿Cómo se resolvería el caso en
que hubiera 2 aros?
35
Colocando el más pequeño en el asta B, pasando el
grande a el asta C y después moviendo el que está
en B a C.
A B C
Mtra. Karla Silva R
37. Resolviendo el problema de las Torres
de Hanoi
• Entonces, por lo que hemos podido ver, el programa
podría definirse de la siguiente manera:
– Si es un solo disco, lo movemos de A a C.
– En otro caso, suponiendo que n es la cantidad de
aros que hay que mover
• Movemos los n-1 aros superiores - es decir, sin
contar el más grande- de A a B (utilizando a C
como auxiliar).
• Movemos el último aro (el más grande) de A a
C.
• Movemos los aros que quedaron en B a C
(utilizando a A como auxiliar). 37Mtra. Karla Silva R
38. “Dividir para vencer”
• Muchas veces es posible dividir un problema en
subproblemas más pequeños, generalmente del
mismo tamaño, resolver los subproblemas y
entonces combinar sus soluciones para obtener la
solución del problema original.
• Dividir para vencer es una técnica natural para las
estructuras de datos, ya que por definición están
compuestas por piezas. Cuando una estructura de
tamaño finito se divide, las últimas piezas ya no
podrán ser divididas.
38Mtra. Karla Silva R
39. Ejemplo:
Encontrar el número mayor de un arreglo de enteros:
estática int mayor1 (objeto [ ] A, int limIzq, int limDer)
si limIzq = limDer entonces ;
regresa A[limIzq]
sino
m = (limIzq + limDer) / 2
mayorIzq = mayor1 (A, limIzq, m)
mayorDer = mayor1 (A, m +1, limDer)
si mayorIzq > mayorDer entonces
regresa mayorIzq
sino regresa mayorDer
finsi
finsi
39Mtra. Karla Silva R
40. Búsqueda Binaria (buscar un valor en un arreglo)
estática bool busbin (int[ ] A, int limIzq, int
limDer, objeto valor)
si limIzq = limDer entonces
regresa A[limDer]== (valor)
Sino
m (limIzq + limDer) / 2
si A[m]==(valor)entonces regresa verdadero
sino
si valor > (A[m]) entonces
regresa BusBin (A,m+1,limDer, valor)
sino regresa BusBin (A,limIzq,m-1, valor)
fin
fin
40Mtra. Karla Silva R
41. Tarea
• Función de Ackerman
ACK(0, n) = n+1; n>= 0
ACK(m, 0) = ACK(m-1, 1); m>0
ACK(m, n) = ACK(m-1, ACK(m, n-1)); m>0, n>0
41Mtra. Karla Silva R
