Questões de matemática selecionadas a partir dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
ÁREAS

2. ÁREAS
1
01. (Epcar 2012) A figura abaixo representa um octógono regular tal que CH 6 cm.
=
A área desse polígono, em 2
cm , é igual a
a) ( )
56 2 1
−
b) ( )
64 2 1
−
c) ( )
72 2 1
−
d) ( )
80 2 1
−
02. (Epcar 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de
Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num
triângulo isósceles cuja base BCmede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm. O círculo será pintado com
tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 2
5400 cm . Adote 3
π =
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as
camisetas é igual a
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
03. (Ita 2011) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro,
BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo intercepta a circunferência no ponto D. Se α e a soma das áreas dos
triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de – 2
α β , em cm2
, é igual a
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18

3. ÁREAS
2
04. (Ita 2011) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB . Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio
BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão
aritmética cuja soma é 200 cm2
, a medida do segmento AE , em cm, é igual a
a)
10
3
b) 5
c)
20
3
d)
25
3
e) 10
05. (Col. naval 2011) Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo ‘k' cm. Sobre AB marca-se M, de modo
que
BM
AM
3
= . Sendo N o simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN corta a diagonal AC em P. Em
relação à área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a
a) 18%
b) 24%
c) 27%
d) 30%
e) 36%
06. (Epcar 2011) As circunferências 1
λ e 2
λ da figura abaixo são tangentes interiores e a distância entre os centros
1
C e 2
C
Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de 2
λ , em cm, é um número
do intervalo.
a) 11
2,
5
 
 
 
b) 11 23
,
5 10
 
 
 
c) 23 5
,
10 2
 
 
 
d) 5 13
,
2 5
 
 
 

4. ÁREAS
3
07. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos,
traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2
, é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
08. (Ime 2010) Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o
círculo de centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale
a)
104
6
b)
104
3
c)
2 104
3
d) 104
e) 3 104
09. (Ita 2008) Considere o quadrado ABCD com lados de 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e
N um ponto sobre o lado AD , equidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s
paralela ao lado AB , que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção
de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC . Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e
ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em
metros, a
a) 15 + 5 5
b) 10 + 5 5
c) 10 - 5
d) 15 - 5 5
e) 10 - 3 5

5. ÁREAS
4
10. (Ita 2008) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e
exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm2
e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a
a) 175
3
3
e 5 21
b) 175
3
3
e 10 21
c) 175 3 e 10 21
d) 175 3 e 5 21
e) 700 e 10 21
11. (Ita 2007) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura
medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo,
nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B/H é uma raiz do polinômio
a) π3
x3
+ π2
x2
+ πx - 2 = 0
b) π2
x3
+ π3
x2
+ x + 1 = 0
c) π3
x3
- π2
x2
+ πx + 2 = 0
d) πx3
- π2
x2
+ 2πx - 1 = 0
e) x3
- 2π2
x2
+ πx - 1 = 0
12. (Ita 2007) Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência
de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1/A2 é igual a
a) 5
8
b) 9 2
16
c) 2 2 1
−
d) 4 2 1
8
+
e) 2 2
4
+
13. (Ita 2004) Duas circunferências concêntricas C1 e C2 têm raios de 6 cm e 6 2 cm, respectivamente. Seja AB uma
corda de C2, tangente à C1. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm2
,
a) 9 (π - 3)
b) 18 (π + 3)
c) 18 (π - 2)
d) 18 (π + 2)
e) 16 (π + 3)

6. ÁREAS
5
14. (Ita 2003) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas,
distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e
s, é igual, em cm2
, a
a) 3 15
b) 7 3
c) 5 6
d)
15
2
 
 
 
3
e)
7
2
 
 
 
15
15. (Ita 2000) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo  com
o lado BC e E um ponto da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de reta BE e AD sejam paralelos.
Sabendo que AD mede 2 cm, então a área do círculo inscrito no triângulo EBC é
a) π (4 - 2 3 ) cm2
b) 2π (3 - 2 2 ) cm2
c) 3π (4 - 2 3 ) cm2
d) 4π (3 - 2 2 ) cm2
e) π (4 - 2 2 ) cm2
GABARITO
1 - C 2 - A 3 - A 4 - C 5 - D
6 - C 7 - A 8 - D 9 - D 10 - B
11 - D 12 - E 13 - C 14 - B 15 - D