Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
Tema 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL
Fundamentos de Física
Facultad de Ciencias del Mar.
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa,...
Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a

dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado
cara...
Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a

b

c

d

cbad

++=
a

b

c

Regla del polígono
Regla del paralelogra...
Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.
a

a

−
Diferenc...
Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0...
Álgebra vectorial1.1.
a
a
ua 

 =
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
d...
Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del tri...
Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
y
x
z
( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ
Y
X
Z
ϕ r
z
Coordenadas cilíndricas
( )ϕθρ ,,P
Y
X
Z
ϕ
θ ρ
Coord...
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa

Y
X
Z
a

ya

za

a

Y
X
Z
xα
k

j
 yα
zα
i

zyx aaaa

++=
k...
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa ααα coscoscos ===
kaajaaiaa zzyyxx

===
=++= zyx aaaa
...
Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx

++= kbjbi...
Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
αcosb
a

α
b

αcosabba =⋅

Propiedades.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ka...
Producto escalar de dos vectores.
a

α
αcosb
b

αcosabba =⋅

Producto escalar en términos de las componentes cartesian...
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a

b

α
bac

×=
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la ...
Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
(...
Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a

b

α
c

β
ba

×
( ) βα cosabcsenbac =×⋅

Volumen d...
Momento de un vector con respecto a un punto.
r
 a

αd
OM

O
P
( ) araMO

×=
adarMO == αsen
El momento de un vector...
Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
( )1λa

( )2λa

Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. E...
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( )λa

( )λλ ∆+a

a

∆
λ∆
∆a

λd
ad...
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
d...
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dt
ad

dt
ad

dt
ad

( ) ( ) ( ...
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )...
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
( ) ( ) ( )λλλ a...
Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )




=−
+=
⇒=
∫
∫
2
1
12
...
Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx

λλλλ ++=
( ) ( )...
Tema 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL
Fundamentos de Física
Facultad de Ciencias del Mar.
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Algebra vectorial 5

1.190 Aufrufe

Veröffentlicht am

FISICA

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

Algebra vectorial 5

  1. 1. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.
  2. 2. Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión. Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector. Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. A 'A a  dirección sentido módulo
  3. 3. Álgebra vectorial1.1. A 'A a  dirección sentido módulo Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por: • Un origen o punto de aplicación. Punto A. • Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’. • Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha. a  óa aa  ó Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  4. 4. Álgebra vectorial1.1. Suma de vectores. a  b  c  d  cbad  ++= a  b  c  Regla del polígono Regla del paralelogramo bac  += a  b  a  b  c  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  5. 5. Álgebra vectorial1.1. Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a  a  − Diferencia de vectores. ( )bacbac  −+=⇒−= b  a  a  b  − c  b  Producto de un vector por un escalar. a  a  λ 0 1 > > λ λ a  λ 0 1 < < λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  6. 6. Álgebra vectorial1.1. Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000:nuloelementovii) :vectoresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :escalaresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :productoelparaasociativav) es,esto,0/,:sumalaparasimétricoelementoiv) 0:sumalaparaneutroelementoiii) :sumalaparaaconmutativii) :sumalaparaasociativai)         == +=+ +=+ = −==+=+∃∀ =+ +=+ ++=++ a baba aaa aa ababbaba aa abba cbacba λ λλλ γλγλ λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  7. 7. Álgebra vectorial1.1. a a ua    = Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a  Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido. Proyección de un vector sobre un eje. eu  a  α ( )aPe  ( ) αα coscos aaaPe ==  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  8. 8. Álgebra vectorial1.1. Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro. X Y Z pulgar índice corazón Levógiro (mano izquierda) Y X Z pulgar corazón índice Dextrógiro (mano derecha) i  j  k  dextrógiro Triedro cartesiano kji  ,,vectores unitarios: Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  9. 9. Coordenadas cartesianas Y X Z y x z ( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ Y X Z ϕ r z Coordenadas cilíndricas ( )ϕθρ ,,P Y X Z ϕ θ ρ Coordenadas esféricas Álgebra vectorial1.1. Sistemas de coordenadas. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  10. 10. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. xa  Y X Z a  ya  za  a  Y X Z xα k  j  yα zα i  zyx aaaa  ++= kaa jaa iaa zz yy xx    = = = ( ) ( ) ( ) zZz yYy xXx aaPa aaPa aaPa α α α cos cos cos == == ==    Componentes cartesianas Cosenos directores aa aa aa zz yy xx /cos /cos /cos = = = α α α Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  11. 11. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. zzyyxx aaaaaa ααα coscoscos === kaajaaiaa zzyyxx  === =++= zyx aaaa  =++ kajaia zyx  ( )kjia zyx  ααα coscoscos ++ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. kji a a u zyxa      ααα coscoscos ++== ),,( zyxzyx aaaaaaa =++= 
  12. 12. Álgebra vectorial1.1. Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas. kajaiaa zyx  ++= kbjbibb zyx  ++= ( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx  +++++=+ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx  −+−+−=−+=− )(
  13. 13. Producto escalar de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. αcosb a  α b  αcosabba =⋅  Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kaajaaiaauaaP aaaa ikkjjikkjjii bababa baba bcacbac abba zyxee        ⋅=⋅=⋅=⋅= ⋅== =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⊥⇔=⋅≠ ⋅=⋅ ⋅+⋅=+⋅ ⋅=⋅ ,,ia,consecuencEn.vii) vi) 0,1v) 0y0,siiv) :escalaresarespectoasociativaiii) :vadistributiii) :aconmutativi) λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  14. 14. Producto escalar de dos vectores. a  α αcosb b  αcosabba =⋅  Producto escalar en términos de las componentes cartesianas. zzyyxx babababa ++=⋅  Ángulo que forman dos vectores. ab bababa ab ba zzyyxx ++ = ⋅ =  αcos Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  15. 15. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a  b  α bac  ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba  y ba  sobre αsenabbac =×=  Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) bababa bcacbac bababa cbacba abba      ||0y0,Siv) :sumalaarespectovodistributiiv) :escalarunporproductoelparaasociativoiii) :asociativo-noii) :ativoanticonmuti) ⇔=×≠ ×+×=+× ×=×=× ××≠×× ×−=× λλλ c  Producto vectorial de dos vectores. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  16. 16. Producto vectorial de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba zyyxzxxzyzzy zyx zyx    −+−+−==× Y X Z a  b  α bac  ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba  y ba  sobre αsenabbac =×=  c  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  17. 17. Producto mixto de tres vectores. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a  b  α c  β ba  × ( ) βα cosabcsenbac =×⋅  Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores Propiedades. ( ) ( ) ( )acbbaccba  ×⋅=×⋅=×⋅:cíclicai) Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy zyx zyx zyx cbabacbabacbaba bbb aaa ccc bac −+−+−==×⋅  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  18. 18. Momento de un vector con respecto a un punto. r  a  αd OM  O P ( ) araMO  ×= adarMO == αsen El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. j a lími a lím yx  λλ λλ ∆ ∆ + ∆ ∆ →∆→∆ 00
  19. 19. Cálculo vectorial1.2. Función vectorial con respecto a un escalar. ( )1λa  ( )2λa  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx  λλλλ ++== ( ) ( )12 λλ aaa  −=∆ a  ∆ ( ) ( )λλλ λλλ λλ λλλ aaa  −∆+=∆⇒      ∆+= = −=∆ 2 1 12
  20. 20. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( )λa  ( )λλ ∆+a  a  ∆ λ∆ ∆a  λd ad  λd ad  λd ad  λd ad  ( ) ( ) ( ) λ λλλ λλ λ λλ ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ aa lím a lím d ad  00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( )λλλ aaa  −∆+=∆ ( ) ( ) λ λλλ λ ∆ −∆+ = ∆ ∆ aaa 
  21. 21. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j d da i d da j a lími a lím j aa lími aa lím aa lím a lím d ad yxyx yyxx    λ λ λ λ λλ λ λλλ λ λλλ λ λλλ λλ λ λλ λλ λλ += ∆ ∆ + ∆ ∆ = =      ∆ −∆+ +      ∆ −∆+ = ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ →∆→∆ →∆→∆ 00 00 00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  22. 22. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo. dt ad  dt ad  dt ad  ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t  ++= ∆ ∆ = →∆ 0 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t  ++= ∆ ∆ = →∆ 0
  23. 23. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Propiedades. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λλλ λ λλ d bd ab d ad ba d d d bd ab d ad ba d d d df a d ad faf d d d λbd d λad λbλa dλ d         ×+×=× += += +=+ :esvectorialfuncionesdosdevectorialproductodelDerivadaiv) :esvectorialfuncionesdosdeescalarproductodelDerivadaiii) :escalarunporctorialfunción veunadeproductodelDerivadaii) :vectoresdesumaladeDerivadai) Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  24. 24. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Algunas consecuencias. ( ) ( ) ( )λλλ auaa   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Siiii) ||Siii) general,Eni) a a aaa a a u d ad d ud a d ad ctea u d ad u d da d ad cteu d ud au d da d ad                ⊥⇔=⇒= ⇔=⇒= += → λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  25. 25. Cálculo vectorial1.2. Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba    Propiedades. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ −= = ×=× === +=∈ == +=+== → 1 2 2 1 2 1 2 1 v) :ySiiv) :,Siiii) :Siii) :ySii) 21 λ λ λ λ λ ξ ξ λ λ λ λλ λξυλυξ λυλυ λυλυλξξυ λλλλλξ λλ λλλλλ dada dd dada dadacte dadada dakdakctek dbdadbabbaa        Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  26. 26. Cálculo vectorial1.2. Integral en función de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx  λλλλ ++= ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kdajdaidada zyx  ∫∫∫∫ ++= λλλλλλλλ Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba    Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  27. 27. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.

×