3. 2TURUN YLIOPISTO
Fysiikan ja tähtitieteen laitos
Jaakola, Juuso: Pimeä aine
LuK-tutkielma, 30 s., 3 liites.
Teoreettinen fysiikka
Syyskuu 2015
Pimeän aineen olemassaolo ja olemus ovat tämänpäiväisen fysiikan ja tähtitieteen
suurimpia ratkaisemattomia kysymyksiä. Toistaiseksi pimeästä aineesta tiedetään
vain, että se ei vuorovaikuta sähkömagneettisen säteilyn kanssa - ainakaan nykyin-
strumenteilla havaittavissa määrin. Ainoa vuorovaikutus, jota pimeällä aineella ha-
vaitaan, ja josta sen olemassa oloon on päädytty, on gravitaatiovuorovaikutus.
Useilla havainnoilla ja menetelmillä, kuten galaksijoukkojen liikkeiden havainnoin-
nilla, galaksien rotaatiokäyrien havainnoinnilla, edellisten aikaan saamilla gravitaa-
tiolinsseillä ja simulaatioilla tutkijat ovat päätyneet pimeän aineen oletukseen. Pi-
meää massaa arvellaan havaintojen perusteella olevan noin kuusi kertaa tavallisen
aineen verran havaittavassa universumissa.
Tutkielmassa on tarkasteltu pimeän aineen hypoteesiin johtavia historiallisia ha-
vaintoja ja suosituimpia kandidaatteja pimeäksi aineeksi. Tutkielma käsittelee myös
pimeän aineen kandidaattien suoraa ja epäsuoraa havinnointia. Lisäksi tutkielmassa
tarkastellaan muita pimeän aineen havainnot selittäviä malleja.
Asiasanat: Pimeä aine, rotaatiokäyrä, MACHO, hiukkasfysiikan standardimalli,
supersymmetria, WIMP, Aksioni, lisäulottuvuusmalli, gravitaatiolinssi, kosminen
taustasäteily, LHC, MOND
6. Johdanto
Tutkielmassa selvitetään mitä hypoteettisen pimeän aineen ominaisuuksista tiede-
tään, mitä pimeäksi aineeksi on ehdotettu ja miten sitä yritetään havaita. Alussa
käydään läpi pimeän aineen tutkimuksen historiaa ja perustellaan varhaisilla ha-
vainnoilla, miksi yhä havaitsematonta pimeää ainetta ylipäätään alettiin etsiä. Toi-
sessa luvussa käydään läpi keskeisiä pimeän aineen hiukkaskandidaatteja. Kolman-
nessa luvussa käydään läpi keskeiset menetelmät sekä pimeän aineen epäsuorasta
havaitsemisesta, että suorista havaintoyrityksistä. Neljännessä kappaleessa tarkas-
tellaan lyhyesti havaittujen galaktisten ilmiöiden selityksesksi teorisoituja vaihtoeh-
toisia malleja pimeälle aineelle.
1900-luvun tieteellisen kehityksen merkittävyydessä lukijan on hyvä muistaa,
että ensimmäistä kertaa muiden galaksien olemassaolo varmennettiin vasta vuonna
1925 Edwin Hubblen Andromedan galaksista julkaiseman tutkimuksen perusteella
[46]. Se muutti kertaheitolla silloisen käsityksen maailmankaikkeudesta vain omana
galaksinamme. Kaikki galaksien välinen tähtitiede ja kosmologia on kehittynyt vasta
vuodesta 1925 eteenpäin.
Pitkälle on päästy linnunradan reunoilta. Nykyisin ollaan laajalti vakuuttuneita,
että kolmen kelvinin kosminen taustasäteily on laajenevan universumimme varhai-
sinta ja siten kaukaisinta havaittavaa valoa rekombinaation ajalta. Rekombinaatios-
sa fotonit pääsivät erkanemaan varhaisen universumin plasman vuorovaikutuksesta,
kun protonit ja elektronit alkoivat muodostaa neutraaleja atomeja. Kosminen taus-
tasäteily tukee alkuräjähdysteoriaa ja sen tasaisuus tukee myös kosmista inflaatiota
eli maailman kaikkeuden räjähdysmäisen nopeaa laajenemisella alun 10−36
− 10−32
sekunnin välillä.
Havaittu universumin suuren mittakaavan rakenne on isotrooppinen ja homogee-
ninen; universumi näyttää likipitäen samalta joka suuntaan katsottuna, liikuttiinpa
sitä tarkkailemaan mihin pisteeseen tahansa. Baryogeneesin - materian ja antimate-
rian epäsymmetrian - lisäksi kosmologiassa on kaksi tähtitieteen havainnoista kum-
puavaa erittäin suurta selittämätöntä kysymystä. 1 Miksi maailmankaikkeus näyttää
laajenevan kiihtyvällä vauhdilla jokaiseen suuntaan? 2 Miksi galaksit, galaksijoukot
ja suuren mittakaavan rakenne eivät näytä noudattavan Newtonin ja Einsteinin gra-
vitaatiolakeja, joita aurinkokunnan planeetat ja meteoroidit tarkasti noudattavat?
Ensimmäiselle kysymykselle on ehdotettu vastaukseksi universumia laajentavaa voi-
maa, pimeä energiaa, jonka olemus on yhä mysteeri. Pimeän energian arvioidaan
kattavan yli 68% havaittavan universumin kokonaisenergiasta [47]. Toiselle kysy-
mykselle suosituin vastaus on pimeä aine eli aine, joka ei vuorovaikuta valon kanssa
7. 2
ja jota ei siksi nähdä. Tutkielma käsittelee kysymyksistä jälkimmäistä.
8. 3
1 Perustelut pimeän aineen etsinnälle
1.1 Pimeän aineen lyhyt historia
1.1.1 Varhaiset havainnot 1930-1960-luku
Vuonna 1932 hollantilainen tähtitieteilijä Jan Oort julkaisi tutkimuksensa linnunra-
dan spiraalikiekon pyörimisestä, eli rotaatiosta, lähitähdistä havaittuna. Hän mittasi
tähtien nopeuksia ja oli ensimmäinen joka toi laskelmillaan esille, että galaksin ta-
sossa täytyy olla enemmän massaa kuin havaitaan [1]. Tätä julkaisua voidaan pitää
varhaisimpana huomiona pimeästä aineesta. Oortista tuli myöhemmin yksi 1900-
luvun maineikkaimmista tähtitieteilijöistä ja hänet tunnetaan yleisesti mukaansa
nimetyn Ootrin pilven löytäjänä.
Supernovien ja neutronitähtien löytäjänä myöhemmin tunnettu Fritz Zwicky teki
vuonna 1933 havaintoja Coman galaksijoukosta. Hän määritti galaksijoukon massan
kahdella tavalla. Ensin hän tutki kahdeksan galaksin punasiirtymiä ja keskinäisiä
etäisyyksiä, päättellen näistä havainnoista galaksien säteisnopeuden. Sitten Zwicky
laski arvioidun näkyvän massan Coman 800 galaksin joukolle,
M ≈ 800 × 109
× 2 × 1033
= 10, 6 × 1042
kg
säteeksi hän arvioi havainnoista R = 1022
m. Tästä viriaaliteoreeman:
k = −
1
2
p,
missä k on kineettinen energia, p on potentiaalienergia, avulla hän määritti mikä
säteisnopeuden tulisi olla [2].
Zwicky laski säteisnopeuksista, että galaksijoukon tulee olla 400 kertaa tiheäm-
pi kuin näkyvä massa kertoo. Tästä Zwicky päätteli, että ison osan galaksijoukon
aineesta täytyy olla jotain näkymätöntä, "pimeää ainetta". Tuohon aikaan vieraat
galaksitkin olivat vielä melko uusi käsite ja havaintojen tarkkuuksiin ei täysin luo-
tettu. Zwicky käyttikin väärää Hubblen vakiota ja siksi doplerefektin avulla laskettu
arvo säteisnopeudelle ja siten massavajeelle oli liian suuri. Zwickyn laskelmat galak-
sijoukon liikkeistä jäivät aluksi suurelta tiedeyhteisöltä huomaamatta - tai ainakin
suuremmin kohua nostattamatta [3].
Muutaman vuoden myöhemmin 1936 Sinclair Smith tutki Neitsyen galaksijoukon
liikkeitä. Hän päätyi myös ihmettelemään puuttuvaa massaa. Zwickyn tuloksien
laajemman rekisteröinnin puutteesta kertoo myös se, että Smith ei tutkimuksissaan
viitannut niihin mitenkään, vaikka ongelmalliselta luonteeltaan havainnot olivatkin
yhteneviä [3].
9. 4
Vuonna 1939 ensimmäisenä Andromedan galaksin rotaatiokäyränspektriä mää-
ritti väitöskirjatyössään Horace Babcock. Babcock päätyi myös ihmettelemään odot-
tamattoman korkeaa nopeutta galaksin reunaa lähestyttäessä [3]. Aiemmin mainittu
Oort oli aikansa tähtitieteen hermoilla ja tutki vuoden Badcockin havaintojen jäl-
keen NGC 3115 galaksin pyörimisnopeuksia galaksin reunoilta. Hän päätyi myös
liian korkeaan pyörimisnopeuteen galaksin näkyvään massaan nähden [4]. Tämä
Newtonin mekaniikalla ennustetun rotaatiokäyrän ja havaitun rotaationkäyrän suu-
resta erovaisuudesta alettiin myöhemmin puhua galaksien rotaatio-ongelmana. Se on
edelleen tänäkin päivänä merkittävimpiä todisteita pimeän aineen olemassaololle.
Kahn ja Woltjer tutkivat vuonna 1959 paikallista galaksijoukkoa. Sen lisäksi, et-
tä he huomasivat Linnunradan ja Andromedan galaksien olevan törmäyskurssilla, he
havaitsivat, että lähigalaksiemme liike on aivan liian nopeaa galaksijoukon havait-
tuun massaan nähden [5]. Tästä he päätyivät aiempien galaksijoukkojen tutkijoiden,
Zwickyn ja Smithin, tavoin kaipaamaan lisää ainetta.
1.1.2 Pimeän aineen halo ja MACHOjen etsinnän aika 1970-2000-luku
Australialainen Ken Freeman päätyi ensimmäisten joukossa vuonna 1970 laskelmil-
laan pimeän aineen halomaiseen jakaumaan [6]. Pimeän aineen halolla tarkoitetaan,
että pimeä aine on jakautunut pallomaisena tihentymänä galaksin keskustan ympä-
rille. Pimeä halo ei ole spiraaligalaksin kiekon tasossa, toisin kuin valtaosa havaitta-
vasta aineesta, vaan ympäröi galaksia tasaisesti tihentyen keskustaa kohden. Tämä
oli merkittävä löytö ja varmenne sille, että pimeä aine on todella jotain muuta, kuin
suuri määrä havaitsematta jäänyttä ainetta galaksin kiekossa.
Vera Rubin tuli tunnetuksi tarkoista tutkimuksistaan rotaatiokäyrien parissa
1970-luvulla. Hän toisti Babcockin laskelmat Andromedan rotaatiokäyrälle ja päätyi
myös suureen eroavuuteen Newtonin mekaniikan nojalla oletetun ja havaitun rotaa-
tion välille [7][9]. Rotaatiokäyriä tutki samaan aikaan myös Albert Bosma, jonka
vuonna 1978 julkaistu radiohavaintoihin perustuva väitöskirja esitti painavia todis-
teita pimeän aineen olemassaololle [8]. Bosman vedyn 21-senttimetrin spektrin avul-
la tekemät radiohavainnot olivat aikansa kärkitodisteita ja hänen väitöskirjatyöstään
muodostui erittäin viitattu lähde.
Samaan aikaan rotaatiokäyräongelma ja pimeä aine kiinnostivat myös neuvosto-
tutkijoita. Neuvostoliitossa tutkimus oli mahdollisesti ajan poliittisesta tilanteesta
johtuen itseistä. Siellä järjestettiin ensimmäinen puhtaasti pimeää ainetta käsitellyt
tieteellisen konfressin Virolaisen kosmologien Jaan Einaston ja Enn Saarin toimesta
vuonna 1975, mutta Länsimainen edustus konferenssissa oli olematon. Pimeää ai-
10. 5
netta onkin Tarton yliopistossa tutkittu 1970-luvulta lähtien erittäin aktiivisesti ja
sen kosmologian laitos on ollut yksi pimeän aineen kosmisen verkon (cosmic web)
tutkimuksen edelläkävijöistä. [10]
Amerikkalaiset Princetonin yliopiston tutkijat Jim Peebles ja Jeremiah Ostriker
loivat ensimmäisenä tietokoneella tehdyn simulaation galaksin rotaatiolle vuonna
1973. Simulaatiossa päädyttiin pimeän aineen halon tarpeellisuuteen, jotta galksit
ylipäätään pysyisivät koossa - eli samaan lopputulokseen kuin oli aiemmin havaittu
kaukoputkilla [11]. Tietokonesimulaatioista on 2010-luvulle tultaessa tullut yksi pi-
meän aineen, kuten myös universumia laajentavan voiman eli pimeän energian, tut-
kimuksen keskeisimmistä menelmistä. Molemmissa suorien havaitojen teko on näet
ollut toistaiseksi vain onnistumattomia yrityksiä. Epäsuorien havaintojen tukena si-
mulaatiot luovat hyvin tärkeän osan universumin kenties suurimpien mysteereiden
tutkimiselle ja sujuvalle käsittelylle [40].
1980-luvulla pimeän aineen tutkimus viimein räjähti kansainväliseen mittakaa-
vaan. Peeblesin ja Ostriken simulaatiot yhdessä Freemanin, Bosman, Rubinin, Ei-
naston ja muiden tutkijoiden havaintotulosten kanssa saivat tutkijayhteisön laaja-
alaisesti vakuuttuneeksi pimeän aineen olemassaolosta. [12, s.51] Galakseilla on suu-
ren pimeän aineen halon lisäksi pienempi näkyvän aineen halo. Osa havaittavasta
aineesta tyypillisesti kiertää Linnunrataa ja muita galakseja rotaatiotasosta eriävil-
lä radoilla. Näin muodostuu pallomainen halo, jossa harvoja tähtiä voidaan havaita
laajalti siellä täällä linnunradan kiekon ulkopuolella. Tästä näkyvän aineen halosta
alettiin etsiä 1980-luvulla MACHOiksi (MAssive Compact Halo Object) nimettyjä
kohteita. MACHOilla tarkoitetaan baryonisesta eli tavallisesta havaittavasta ainees-
ta koostuvia suurimassaisia näkyvän halon kiertolaisia. MACHO-kandidaatteja ovat
olleet muun muassa himmeähköt punaiset kääpiöt, ruskeat kääpiöt, valkoiset kää-
piöt, neutronitähdet ja mustat aukot.
Machoja on etsitty yleisen suhteellisuusteorian kuvaaman gravitaatiolinssi-ilmiön
avulla. Pienehköjen yksittäisten kohteiden tapauksessa puhutaan mikrolinssi-ilmiöstä,
jossa himmeä kohde havaitaan kirkkaan kohteen editse kulkiessaan sen aiheuttamas-
ta valon taittamisesta ja siitä johtuvasta pienestä intensiteetin muutoksesta. Myös
Tuorlan observatorialla 1995-2010 työskennellyt tutkija Chriss Flynn, Freemanin
tohtorikoulutettava, on ollut mukana MACHO-tutkimuksessa [12, s.91-100]. 1990-
luvulla Hubblen Deep field -kuvista tehdyillä laskelmilla iso osa MACHO-kohteista,
kuten punaiset ja valkoiset kääpiötähdet, sekä neutronitähdet saatiin eliminoitua pi-
meän aineen kandidaatteina. Niitä ei ole havaittu linnunradassa riittävästi, jotta ne
pelkästään kykenesivät selittämään galaksimme rotaatiokäyrän indikoiman aineen
[13]. Laajalti vaikuttaa myös siltä, että vaikeasti havaittavat erikokoiset mustat au-
11. 6
kot on myös eliminoitu pimeän aineen kokonaan selittävien kandidaattien joukosta
[14]. Pieniä mustia aukkoja ei ole mikrolinssi-ilmiöllä havaittu tarpeeksi. Suuret ga-
laksin näkyvään haloon sijoittuvat mustat aukot taas hajottaisivat teorioiden mu-
kaan galaksin kiekon [12]. Pienet ruskeat kääpiötähdet voivat vielä periaatteessa -
vaikeassa havaittavuudessaan - selittää pimeän aineen, mutta niitä tulisi muiden
MACHOjen lisäksi olla erittäin suuri määrä sekä galakseissa, että galaksien välises-
sä avaruudessa. MACHOjen voidaankin sanoa olevan hyvin epätodennäköinen men-
neiden vuosikymmenten erittäin tutkittu pimeän aineen kandidaatti. Muita pimeän
aineen keskeisimpiä kandidaatteja esitellään kappaleessa kaksi. [15]
1.2 Galaksien rotaatiokäyrät
Horace Badcock raportoi jo 1939 väitöskirjassaan, että hänen Andromedan galaksis-
ta tekemien rotaatiomittausten mukaan massa-luminositeetti -suhde näyttäisi kas-
vavan säteen suuntaisesti. Galaksissa esiintyy siis keskeltä ulospäin mentäessä enem-
män massaa kuin näkyvä aine antaa olettaa. Galaksien rotaatio-ongelma on yksin-
kertaisuudessaan edelleenkin vaikuttivin pimeän aineen perustelu. Se osoittaa, että
joko on olemassa ainetta, jota emme ole kyennyt havaitsemaan, tai ymmärryksemme
gravitaatiosta galaktisessa mittakaavassa on väärä.
Tähtien nopeudet galaksin kiekossa ovat ei-relativistisia ja siksi rotaation tar-
kasteluun riittää hyvin Newtonin mekaniikka. Jo lukiofysiikassa on tullut tutuksi
normaalikiihtyvyys
an =
v2
rot
r
,
Newtonin gravitaatiolaki ja Newtonin toinen laki
FG = γ
m1m2
r2
,
F = ma,
missä γ on gravitaatiovakio. Näistä johdettu normaalikiihtyvyys M massaista galak-
sia kiertävälle m massaiselle kappaleelle on
an =
FG
m
= γ
M
r2
.
Huomataan, että normaalikiihtyvyys ei riipu kiertävän kappaleen massasta, vaan
ainoastaan etäisyydestä
vrot =
√
anr =
γM
r
12. 7
Näin yksinkertaisella päättelyllä havaitaan, että galaksin reunoilla kiertonopeuden
pitäisi laskea kääntäen verrannolisesti kiertosäteen neliöjuureen galaksin keskustusta
etäännyttäessä. Juuri tällaista rotaatiokäyrää noudattavat esimerkiksi oman aurin-
kokuntamme planeetat.
Merkurius
Venus
Maa
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus Pluto
0 10 20 30 40 50
0
10
20
30
40
50
60
keskietäisyys auringosta (AU)
kiertonopeus
km
s
Kuva 1. Aurinkokunnan rotaatiokäyrä noudattaa newtonin gravitaatiolakia, vrot =
γM
r
. Pisteiden koot indikoivat planeettojen kokojärjestyksen, mutta eivät vastaa
todellista kokojen suhdetta.
Galakseista tehdyt havainnot kertovat kuitenkin jotain aivan muuta. Spiraaliga-
laksien kiertotasojen raunoilla, missä näkyvän aineen tiheys harvenee olemattomiin,
kiertonopeus ei laskekaan odotetulla suhteella. Sen sijaan usein radiohavainnoin ve-
dyn 21 senttimetrin viivan avulla mitattu kiertonopeus pysyy likipitäen vakiona
etäännyttäessä galaksin näkyvästä kiekosta. Galaksien pitäisi hajaantua, mikäli ha-
vaittava massa on koko galaksin massa, mutta voimme kuitenkin nähdä miljardejen
valovuosien päähän avaruuteen, ja siinä samalla miljardejen vuosien päähän univer-
sumin historiaan. Hubblen deep field kuvissa näemmekin kauniisti koossa pysyviä
linnunradan kaltaisia spiraaligalakseja; siten galaksien oletetaan olevan hyvin stabii-
leja ja pitkä-ikäisiä. Havaitut galaksit eivät ole hajoamassa. Reunojen kiertonopeus
indikoi, että joko galaksissa on lisää massaa jota ei kyetä havaitsemaan, tai gravi-
taatio käyttäytyy tavalla, jota mikään olemassaoleva gravitaatioteoria ei selitä. On
huomioitavaa, että aivan galaksin keskustassa, jossa näkyvä aine dominoi massalli-
sesti, Newtonin gravitaatioteorian kuvaus vastaa hyvin rotaatiota. Tällä perustelulla
tutkijat ovat olleet jo 1970-luvulta asti hyvin vakuuttuneita "puuttuvan massan",
13. 8
eli pimeän aineen olemassaolosta. [15]
Kuva 2. Havaittu rotaatiokäyrä NGC 6503,[17] Begeman at all 1991, pimeän aineen
vaikutus kasvaa galaksin reunoja lähestyttäessä sen pallomaisen halon seurauksena.
Galaksin keskiosan rotaatiokäyrän muotoon vaikuttaa galaksin tiheysjakauma.
Oort sai johdettua havaintotuloksista hyvänä aproksimaationa galaksien kinema-
tiikkaa säteen funktiona kuvaavat Oortin vakiot
A =
1
2
vrot
r0
−
∂v
∂r
|r0 ,
B = −
1
2
vrot
r0
+
∂v
∂r
|r0 .
Oortin vakioiden avulla ilmaistuna rotaationopeus ja galaksin tiheysjakauma säteen
funktiona ovat [16]
vrot = r0(A − B),
ρr =
B2
− A2
2πγ
.
14. 9
2 Pimeän aineen kandidaatit
Nykypäivänä tutkijoiden keskuudessa arvellaan, että valtaosan pimeästä aineesta
muodostaa ei-baryoninen materia. Etsityin ja tutkituin ratkaisu pimeälle aineelle
ovat heikosti vuorovaikuttavat massiiviset hiukkaset eli WIMPit (Weakly Interac-
tive Massive Particle). Ei-baryonisia kandidaatteja pimeälle aineelle on lukuisia ja
tässä tutkielmassa käydään läpi vain keskeisimmät alkeihiukkaset pimeänä aineena
ja useammassa ulottuvuudessa vaikuttavat painovoimabosonit.
2.1 Kuuma, lämmin ja kylmä pimeä aine
Alkeishiukkasista koostuvan pimeän aineen kandidaatit voidaan jaotella karkeasti
kolmeen eri kategoriaan. Nämä hiukkasten nopeudesta ja massasta kertovat luoki-
tukset ovat kuuma, lämmin ja kylmä pimeä aine. Pimeä aine voi lopulta selittyä
useilla eri kandidaateilla ja siksi myös edellisistä saatu sekoitettu pimeä aine on
tärkeä kategoria. Kuumalla pimeällä aineella tarkoitetaan relativistisiilla nopeuksil-
la varhaisessa universumissa liikkuneita hyvin keveitä hiukkaskandidaatteja. Läm-
pimällä pimeällä aineella tarkoitetaan hieman raskaampia, yhä nopeasti liikkuvia
hiukkaskandidaatteja. Kylmällä pimeällä aineella tarkoitetaan hitaammin liikkuvia
raskaampia pimeän aineen kandidaatteja.
1980-luvulla kuuman pimeän aineen soihdunkantajia neutriinoja pidettiin pi-
meän aineen mahdollisesti selittävinä alkeishiukkasina. Neutriinot ovat periaattees-
sa ihanteellinen pimeän aineen kandidaatti; niitä on äärimmäisen paljon ja ne ovat
hyvin heikosti vuorovaikuttavia. Neutriinot ovat myös äärimmäisen keveitä, min-
kä johdosta ne liikkuvat liki valonnopeudella eli relativistisella nopeudella. COBE -
sittemmin myös WMAP ja Planck - luotaimen kartoittaman kosmisen taustasätei-
lyn tasaisuuden pohjalta tutkijat tulivat päätelmään, että pimeän aineen hiukkaset
eivät ole voineet olla noin 380 000 vuoden ikäisessä universumissa relativistisilla
nopeuksilla liikkuvia. Havaittuja pienen mittakaavan rakenteita eli galagsijoukkoja,
galakseja ja tähtiä ei simulaatioiden perusteella olisi mahdollista syntyä riittävän
aikaisin [18][19]. Simulaatioiden nojalla relativistiset kuuman pimeän aineen kan-
didaatit eivät siis voi selittää koko pimeää ainetta, mutta kuuman pimeän aineen
komponentti voi olla silti osaselitys ja siksi myös keveiden ja nopeiden kandidaattien
tutkiminen on tärkeää. [15]
Lämmin pimeä aine on yleisnimitys hieman kuumia kandidaatteja raskaammille
ja hitaammille hiukkasille. Massalta lämpimän pimeän aineen kandidaatit sijoittu-
vat KeV-MeV kokoluokkaan. Lämpimän pimeän aineen kandidaatteja voisivat olla
15. 10
esimerkiksi hypoteettiset gravitiino ja steriilit neutriinot. [20]
Kylmä pimeä aine on tutkituin ja suosituin hiukkaskategoria selittämään pimeän
aineen mysteeri. Sitä edustavat edellä mainitut WIMPit. Vielä hypoteettiset WIM-
Pit ovat raskaita ja vuorovaikuttavat gravitaation lisäksi heikon vuorovaikutuksen
kokoluokkaa vastaavan voiman välityksellä. WIMPejen olemassaolon ennustavat se-
kä supersymmetriateoriat että muut hiukkasfysiikan standardimallin laajennukset,
kuten lisäulottuvuusmaalit (UED - Universal Extra Dimensions) ja Little Higgs -
malli. Suuri osa pimeän aineen nykypäivän tutkijoista arvioi pimeän aineen pää-
komponentin löytyvän juuri WIMP kandidaateista [20][21].
2.2 Steriilit neutriinot
Standardimallin neutriinot νe, ντ ja νµ ovat monilta ominaisuuksiltaan sopivia pi-
meän aineen hiukkasiksi. Neutriinot vuorovaikuttavat erittäin heikosti baryonisen
aineen kanssa ollen siksi vaikeasti havaittavia. Lisäksi neutriinoja on erittäin pal-
jon. Neutriinot ovat kuitenkin äärimmäisen keveitä (kolmen eri maun massa mν =
0,320±0,081eV/c2
[22]) ja liikkuvat relativistisesti, eivätkä ne näin kuumana kandi-
daattina kykene selittämään koko pimeää ainetta. Steriilit neutriinot ovat hypoteet-
tinsia hiukkasia, joiden olemassaoloa ehdotettiin ensimmäisen kerran vuonna 1993
[23]. Mahdollisesti hieman massiivisempana kuin standardimallin neutrinot ne ovat
vielä varteenotettava pimeän aineen kandidaatti. Steriili neutriino -nimitystä käy-
tetään oikeakätisen kiraalisuuden omaavasta neutriinosta. Muita fermioneja on ha-
vaittu sekä vasen- että oikeakätisesti kiraalisena. Toistaiseksi on havaittu vain vasen-
kätisesti kiraalisia neutriinoja. Standardimallin neutriinojen massat viittaavat mah-
dollisen oikeankätisen kiraalisuuden omaavan neutriinon olemassaoloon [24]. Steriili
neutriino voisi olla myös kylmän pimeän aineen kandidaatti, mikäli on olemassa
leptonien epäsymmetria, joka mahdollistaa ei-termisen syntytavan [20].
2.3 Aksionit
Aksionit ovat hypoteettisia varauksettomia spin-0 alkeishiukkasia. Niiden olemas-
saoloa ehdotettiin ensimmäisen kerran vuonna 1977 ratkaisuna kvanttikromodyna-
miikan (QCD) vahvan vuorovaikutuksen CP-ongelmaan [29]. CP-ongelma tarkoit-
taa, että varaus-pariteetti symmetria säilyy havaintojen nojalla vahvassa vuorovai-
kutuksessa, vaikka QCD:n mukaan se voisi rikkoutua. Aksioni voisi äärimmäisestä
keveydestään huolimatta olla pimeän aineen komponentti.
16. 11
2.4 Supersymmetriset kandidaatit
Supersymmetria on hiukkasfysiikan standardimallia täydentävä periaate, jonka mu-
kaan kaikilla fermioneilla ja boseneilla olisi raskaammat superpartnerit sfermionit ja
bosoninot. Supersymmetriaan motivoi sen selityskyky vahvan, heikon ja sähkömag-
neettiisen voiman yhdistämiseksi ja partnereista saatava mahdollisten pimeän aineen
raskaiden stabiilien hiukkasten ilmestyminen. Supersymmetrisiä malleja on useita.
Pimeän aineen kannalta etsityin supersymmetrinen hiukkanen on kevein (LSP -
Lightest supersymmetric particle). Mallista riippuva kevein supersymmetrinen hiuk-
kanen on aina stabiili. Matemaattisesti supersymmetria on Poincaren algebrasta saa-
tava laajennus, jossa standardimalliin on sisällytetty fermioniset generaattorit Qα
ja Qβ, jotka toteuttavat porrastetun algebran
{Qα, Qβ} = 2(γµ
)αβPµ
{Qα, Pµ} = 0
[Qα, Mµν
] = σµν
αβQβ
,
jossa
Qb ≡ (Q†
γ0)α
σµν
=
i
4
[γmu
, γnu
].
Supersymmetria on matemaattiselta rakenteeltaan hyvin hienostunut ja teoriasta sy-
vemmin kiinnostunut lukija löytää suositeltavan johdannon lähteistä [25][20]. Mini-
maalinen supersymmetrien standardimalli (MSSM - Minimal Supersymmetric Stan-
dard Model) sisältää pienimmän mahdollisen kenttäteoreettisen sisällön muodosta-
maan kaikki standardimallin hiukkasille vaaditut kentät.
17. 12
Standardimallin hiukkaset ja kentät Supersymmetriset parit
vuorovaikutusominaistilat massaominaistilat
symboli nimi symboli nimi symboli nimi
q = d, u, c, s, b, t kvarkki ˜qL, ˜qR skvarkki ˜q1, ˜q2 skvarkki
l = e, µ, τ leptoni ˜lL, ˜lR sleptoni ˜l1, ˜l2 sleptoni
ν = νe, νµ, ντ neutriino ˜ν sneutriino ˜ν sneutriino
g gluoni ˜g gluiino ˜g gluiino
W±
W -bosoni ˜W±
wino
˜χ±
1,2H−
Higgsin bosoni ˜H−
higgsiino chargiino
H+
Higgsin bosoni ˜H+
higgsiino
B B -kenttä ˜B bino
˜χ0
1,2,3,4W3
W3
-kenttä ˜W3
wino neutraliino
H0
1 , H0
2 , H0
3 Higgsin bosoni ˜H0
1 , ˜H0
2 higgsiino
Minimaalinen supersymmetrialaajennus hiukkasfysiikan standardimalliin sisältää kaik-
kien aineen koostavien hiukkasten eli fermionejen, sekä voimien välittähiukkasten eli
bosonien superparit sfermionit ja bosoniinot [27]. Lisäksi siihen sisältyy bosoniinojen
massaominaistilat chargiino ja neutraliino.
2.4.1 Neutraliinot
Neutraliinot ovat keveimpiä R-pariteetin
R ≡ (−1)3B+L+2s
,
jossa B on baryoniluku, L on leptoniluku ja s on hiukkasen spin, säilyttävien super-
symmetriateoriamallien ennustamia hiukkasia [20]. R-pariteetti on standardimallin
hiukkasille 1 ja hiukkasten superpartnereille -1. R-pariteetin säilyminen määrittää,
että kevein supersymmetrinen hiukkanen voi muuttua säteilyksi vain itsensä kanssa
pari-annihilaatiossa. Useiden mallien keveimpinä hiukkasina neutralinot ovat mallien
mukaan siten stabiileja, eli säilyviä, ollen erinomainen kandidaatti pimeäksi aineeksi.
Minimaalisessa supersymmetrialaajennuksessa on neljä neutralinoa ˜χ0
i , i = 1, 2, 3, 4,
joista kevein ˜χ0
1 on stabiili hiukkanen. Neutraliinot ovat neutraaleista sähköheik-
koista hiukkasista gaugiinoista ja higgsiinoista koostuvia massaominaistiloja [25].
Neutraliinot, R-pariteetin nojalla itsensä antihiukkasina, annihiloituisivat kohdates-
saan vapauttaen energiaa esimerkiksi tähden kaltaisessa gravitaatiokeskittymässä,
jossa myös pimeän aineen tiheys on lokaalisti suuri[12]. Neutraliinojen annihiloi-
tumistuotteena syntyväiä gammasäteilyä ja standardimallin hiukkasia on yritetty
18. 13
havaita avaruusteleskoopeilla toistaiseksi ilman vakuuttavaa varmistusta niiden ole-
massaolosta.
2.4.2 Gravitiino
Gravitiino on hypoteettisen gravitonin superparina esiintyvä 3
2
-spin fermioni. Eräissä
mittakenttäteoreettisissa supersymmetriamalleissa graviitino on kevein hiukkanen,
ollen näin myös stabiili. Koska gravitiinot vuorovaikuttavat vain gravitaatiovuoro-
vaikutuksella, ne ovat erittäin vaikeita havaita. Pitkäikäisten gravitiinojen olemas-
saoloon liittyy kuitenkin myös epäsopivuuksia tunnetun kosmologian kannalta. Gra-
vitiinot voisivat vähentää maailmankaikkeuden varhaisten fotonien runsautta ja olla
ylituotettuja varhaisessa kuumassa universumissa. On kuitenkin luotu malleja, jotka
kiertävät nämä epäjohdonmukaisuudet ja pitävät gravitiinon yhä varteenotettavana
pimeän aineen kandidaattina. [20]
2.4.3 Sneutriino
Neutrinojen supersymmetrisia pareja sneutrinoja on pitkään pidetty mahdollisena
ratkaisuna pimeälle aineelle. Nykyisten havaintojen pohjalta ainakin MSSMn sneut-
riinot on steriiliä sneutriinoa lukuunottamatta suljettu pois pimeän aineen kokonaan
selittävistä kandidaateista. Sneutriinot vuorovaikuttavat heikosti Z -bosonin vaihdol-
la ja niiden vuorovaikutuksen todennäköisyyssektorin puolesta niitä olisi pitänyt jo
havaita [25].
2.4.4 Aksiino
Aksiino on hypoteettisen aksionin superpari. Vahvan vuorovaikutuksen CP-ongelma
ja mittakentän hierarkiaongelma ovat saaneet ratkaisuehdotuksikseen Peccei-Quinn
-symmetriarikon ja supersymmetrian pehmeän rikkoontumisen [28]. Molempien sym-
metriarikkojen ilmeneminen viittaisi aksionin ja sen fermionisen superparin aksiinon,
sekä bosonisen superparin saksiinon olemassaoloon. Aksiinot ovat kosmologisessa ai-
kaskaalassa stabiileja ja ne ovat erittäin heikoisti vuorovaikuttavia. Muinaisia aksii-
noja olisi voinut syntyä varhaisen universumin kuumassa plasmassa ja raskaiden
hiukkasten hajoamistuotteena. Aksiinoja voisi olla universumissa kylmän, lämpi-
män ja kuuman pimeän aineen edustajana eri syntytavoista johtuen. Aksiinolla ja
gravitiinolla on monia ilmiömaailmallisia samankaltaisuuksia [20]. [28]
19. 14
2.5 Lisäulottuvuusmallit ja Kaluzan-Kleinin hiukkanen
Albert Einsteinin julkaistua yleisen suhteellisuusteoriansa vuonna 1915 sen aikainen
kilpaileva painovoimateoreetikko suomalainen Gunnar Nordström jätti oman teo-
riansa työstön turhana ja alkoi sen sijaan pohtia sähkömagnetismin ja suhteellisuus-
teorian mukaisen gravitaation yhdistämistä lisäulottuvuuden avulla [29]. Nordströ-
min varhaiset edesottamukset jäivät kuitenkin vaille suurempaa huomiota ja saksa-
lainen fyysikko Theodor Kaluza päätyi muutaman vuoden hänen jälkeensä työstä-
mään samaa ideaa. Kaluza lähetti ajatuksensa sähkömagneettisen vuorovaikutuksen
ja gravitaatiovuorovaikutuksen yhdistämisestä viidennen ulottuvuuden avulla Eins-
teinille vuonna 1919 ja julkaisi sen kaksi vuotta myöhemmin. Myöhemmin ruotsalai-
nen fyysikko Oskar Klein korjasi teorian puutteita. Tästä nimitys Kaluzan-Kleinin
teoria (KK - Kauza-Klein theory), jonka tiivistelmä on luettavissa liitteessä A.1.
Nordströmin ja Kaluzan ajattelun kaltaisia lisäulottuvuusmalleja on kehitetty
1900-luvun alun jälkeen useita. Lisäulottuvuusmalleista on säieteorioiden laajen-
nuksena seurannut braanikosmologiana tunnettu kosmologian haara. Braanikosmo-
logiassa havaitsemamme aika-avaruuden 4-braani olisi vain osa suurempiulotteis-
ta bulkkia. Bulkki voisi olla 5-ulotteinen Anti-de Sitter -aika-avaruus tai jopa 11
ulotteinen joissakin säieteorioissa. Analogiana mainittakoon, että 2-braani on taso
avaruudellisessa 3-bulkissa. Braanikosmologisissa malleissa on usein postuloitu, että
gravitaatiovuorovaikutus voisi välittyä bulkissa eri braanejen välillä, kun taas vah-
va, heikko ja sähkömagneettinen vuorovaikutus olisivat sidottuja braanille. Jossain
lisäulottuvuusmalleissa tosin myös muiden vuorovaikutusten oletetaan vaikuttavan
bulkissa. Kaikkien voimien bulkki vuorovaikutusten malleja kutsutaan universaa-
leiksi lisäulottuvuusmalleiksi. [32][20]
Hierarkiaongelman selitykseksi on postuloitu, että lisäulottuvuudet voidaan to-
pologisesti kompaktisoida R säteisiksi ympyröiksi, kuten ADD (Arkani-Hamed, Di-
mopoulos ja Dvali) lähestymistavassa on toimittu. Toinen postulointi on hyvin pie-
niksi käpertyneet lisäulottuvuudet, mitä kutsutaan RS -lähestymistavaksi (Randall
ja Sundrum). Lisäulottuvuuksien kompaktisoinninssa bulkkiin ilmenevillä kentillä on
kääntäen lisäulottuvuuksien kokoon verrannollinen massa. Jokaiseen bulkin kenttään
ilmenee Fourier-laajennusmoodeja vastaavia tiloja, joita kutsutaan Kaluzan-Kleinin
tiloiksi. Neljässä ulottuvuudessa KK -tilat ilmenevät samat kvanttiluvut omaavien
tilojen sarjoina.
Universaalit lisäulottuvuusmallit tarjoavat ominaisuuksiltaan suotuisan pimeän
aineen kandidaatin alimmasta KK-tilasta. Liikemäärän säilyminen kompaktisoiduis-
sa ulottuvuuksissa johtaa KK-luvun säilymiseen. Vähennettäessä lisäulottuvuuksia
20. 15
orbiflodikuvauksen avulla saadaan määriteltyä Kaluzan-Kleinin pariteetiksi kutsut-
tu symmetria. KK-pariteetti stabiloi alimman KK-tilan ja tämä tila on nimetty
keveimmäksi Kaluzan-Kleinin hiukkaseksi (LKP - Lightest Kaluza-Klein particle).
Keveimmän KK-hiukkasen massan tulisi olla välillä 400-1200 GeV, mikä on tähän
mennessä tehtyjen havaintojen yläpuolella. Lisäulottuvuudessa vaikuttavan hiukka-
sen löytyminen olisi erittäin mullistavaa koko kosmologian alalla. [20]
2.6 Wimpzillat
Todella raskaita mDM > 1010
GeV kandidaatteja kutsutaan wimpzilloiksi. Yleisim-
min pimeän aineen kandidaattien oletetaan olevan massaltaan alle 340 TeV. Anni-
hiloitumisen vuorovaikutusalan σ yläraja on määritetty havaintojen pohjalta pie-
neksi, eikä pimeän aineen hiukkasten keskinäinen törmääminen voi siksi olla kovin
todennäköistä. Kosmisen taustasäteilyn informaation perusteella varhaisessa uni-
versumissa termisessä tasapainotilassa olleen pimeän aineen hiukkasen täytyy olla
massaltaan alle 34 GeV. Wimpzillat ovat varteenotettavia kandidaatteja vain, mikä-
li kosmisen taustasäteilyn syntyhetkellä ei ole ollut termistä tasapainoa. Wimpzillat
voisivat vuorovaikuttaa myös heikkoa voimaa vahvemmassa skaalassa. Wimpzillat
ovat pimeän aineen lisäksi mahdollinen selitys erittäin suurienergisten kosmisten sä-
teiden syntyyn. Teoreettiisen GZK-rajan (Greisen–Zatsepin–Kuzmin limit) ylittäviä
kosmisia säteitä on havaittu, eikä niille ole selkeää fysikaalista selitystä [33]. [20]
2.7 Usean komponentin pimeä aine
Hyvin varteenotettava selitys pimeän aineen ongelmalle on monesta komponentis-
ta koostuva pimeä aine. Usean komponentin pimeä aine tarkoittaa, että toistaiseksi
tuntemattomia maailmankaikkeudessa runsaslukuisena esiintyviä sähkömagneetti-
sen säteilyn kanssa vuorovaikuttamattomia hiukkasia olisi useita. Pimeässä aineessa
voisi olla osallisena kuuman, lämpimän ja kylmän pimeän aineen komponentteja,
sekä baryonista ainetta, kuten MACHOja. On myös mahdollista, että heikosti vuo-
rovaikuttavassa usean hiukkasen populaatiossa raskaammat pimeän aineen hiukka-
set voisivat hajota kevyemmiksi pimeän aineen hiukkasiksi [30]. Tämä tekisi pimeän
aineen hiukkasten tuotosta epäsymmetristä ja sironnaltaan epäelastista. Kevyem-
mät ja raskaammat hiukkaset voisivat mahdollisesti annihiloitua keskenään - hiuk-
kasten itseannihilaation lisäksi [30]. Usean komponentin pimeään aineen hypotee-
siin motivoi myös pimeän aineen erittäin vaikea havaittavuus, monet komponentit
laajentaisivat hiukkasten vuorovaikusskaalaa ja pienentäväisivät samalla yksittäisen
21. 16
hiukkaslajin suoraa havaitsemistodennäköisyyttä. [20]
3 Pimeän aineen havainnointi
Pimeää ainetta on toistaiseksi onnistuttu havainnoimaan vain epäsuorasti galak-
sien ja galaksijoukkojen liikkeiden, sekä valon taipumisen indikoiman painovoiman
perusteella. Suoria havaintoja pimeän aineen hiukkaskandidaateista on yritetty ja
yritetään jatkuvasti tehdä.
3.1 Epäsuora havainnointi
Pimeän aineen esiintymistä galakseissa ja galaksijoukoissa on päästy rotaatiokäyrien
ja galaksijoukkojen liikkeiden analysoinnin lisäksi tutkimaan yleisen suhteellisuus-
teorian gravitaatiolinssiefektin avulla.
3.1.1 Gravitaatiolinssit
Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria perustui pohjimmiltaan yksinkertaiseen aja-
tukseen nimeltä ekvivalenssiperiaate. Ekvivalenssiperiaate tarkoittaa, että havaitsi-
jan kiihtyvässä liikkeessä kokema voima ja gravitaation häneen aiheuttama voima
ovat toisistaan erottamattomat. Yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaation muo-
vaama avaruuden geometrian kaareutuminen kuvattiin differentiaaligeometrian avul-
la vuosien työn tuloksena. Yksi yleisen suhteellisuusteorian ennuste oli valon reitin
taipumisen sen kulkiessa massan kaareuttamassa avaruudessa. Sir Arthur Edding-
ton teki kuuluisan havaintovarmistuksen suhteellisuusteorian auringolle ennustamas-
ta 1,75 kaarisekunnin valon taipumisesta 29 toukokuuta 1919 auringon pimennyksen
aikaan [31].
Valon taipumisen ilmeneminen johti jatkoajatukseen gravitaatiolinsseinä toimi-
vista galakseista ja galaksijoukoista. Nykyään gravitaatiolinssi-ilmiö on keskeisimpiä
kosmisten objektien massan määrityskeinoja.
Gravitaatiolinssien tapauksessa puhutaan heikosta ja vahvasta linssiefektistä.
Heikko linssiytyminen tarkoittaa välillä olevan massalinssin kaukaisesta kohteesta
muodostamaa lievää venytystä ja vääristymää. Vahvasta linssi-ilmiöstä sen sijaan
puhutaan, kun kohde näkyy joko Einsteinin kehän kaltaisena eli linssiä ympäröi-
vänä valoviivana tai yleisesti useammalta kuin yhdeltä puolelta välillä olevaa mas-
saa. Analysoimalla valon taipumisen suuruutta voidaan saada parhaimmillaan hy-
vin tarkkoja arvioita linssinä toimivan galaksin tai galaksijoukon massajakaumasta.
Gravitaatiolinssiyhtälö on esitelty liitteessä A.2. [34]
22. 17
Pienen, Linnunradan ja lähiavaruuden, kohteen aiheuttamaa valon taipumista ja
sen seurauksena syntyvää intensiteetin muuttumista kutsutaan mikrolinssi-ilmiöksi.
Mikrolinssi-ilmiöön nojaavaa kaukaisen valonlähteen intensiteetin pientä muuttu-
mista linnunradan halossa liikkuvan himmeän kohteen kulkiessa sen editse on käy-
tetty aktiivisesti MACHOjen lukumäärien määrityksessä.
Kuva 3. Gravitaatiolinssi, yleisen suhteellisuusteorian selittämä ilmiö siitä miten
valon reitti taipuu matkatessaan massan kaareuttamassa avaruudessa [37]. Kuvassa
kohdegalaksista muodostuu Einsteinin kehän kaltainen havaintokuva.
Havainnoimalla valon taipumisen kertomaa massaa, sekä analysoimalla galaksien
välistä kaasua spektroskopian keinoin voidaan päästä selvyyteen galaksien massa-
jakaumista. Sähkömagneettisen säteilyn eri aallopnpituuksia havainnoivilla satellii-
teilla on törmänneiden galaksijoukkojen massojen ja baryonisten massojen jakau-
mista saatu vahvoja todisteita pimeän aineen hypoteesin paikkansapitävyydestä.
Gravitaatiolinssi-ilmiö on ollut oleellisin työkalu selvitettäessä pimeän aineen mää-
rää myös kaukaisessa - siten myös varhaisessa - universumissa.
3.1.2 Pimeän aineen jakauma
Eri etäisyyksiltä määritetty pimeän aineen jakautuminen galaksijoukkoihin ja niiden
välille on saanut tutkijat määrittämään pimeän aineen tiheyden aikakehitystä. Mit-
tava COSMOS (Cosmic Evolution Survey) hanke on kartoittanut pimeän aineen ja-
kaumaa Hubble-avaruusteleskoopin ja lukuisten maanpäällisten teleskooppien avulla
[12]. COSMOS hankkeessa on selvinnyt, että pimeän aineen tiheys on vaihdellut lo-
kaalisti universumin vanhetessa ja muuttunut alun tasaisesta jakaumasta selvästi
paakkuuntuneemmaksi.
23. 18
Kuva 4. Luoti-klusteri - vaikuttavimpia todisteita pimeän aineen olemassaolol-
le. Kuvan punainen väri kertoo kahden galaksijoukon törmäyksessä syntynees-
tä baryonisen aineen shokkirintamasta. Baryoninen kaasu on havaittu Chandra-
X-röntgensatelliitilla. Sininen väri on puolestaan Hubble-teleskoopin havainnoima
gravitaatiolinssi-ilmiön avulla mitattu massajakauma. Havainnot osoittavat, että
vain gravitaatiolla vuorovaikuttava pimeä aine ei ole törmäyksessä muodostanut
shokkia, vaan lipunut tavallista ainetta edemmäs törmäyskohdasta.[36]
Kuva 5. Pimeän aineen jakauman paakkuuntuminen ajan edetessä [35].
24. 19
3.1.3 Kosminen taustasäteily
Universumin varhaisimmasta kuvasta - kosmologian aarrearkusta - eli kosmisesta
taustasäteilystä saadaan tietoa myös pimeän aineen jakautumisesta universumiin.
Kosminen taustasäteily on muodostunut massan epätasaisesta jakaumasta oletetul-
la rekonnoktio ajalla noin 380 000 vuoden ikäisessä laajenevassa universumissa. Kos-
misen taustasäteily analysoinnilla on päästy selvyyteen myös pimeän aineen määrää
ja vuorovaikutuksia rajottavista ehdoista. [47]
Kuva 6. Kosminen taustasäteilyn koko taivaankannen panoraama kertoo lämpötilan
ja massatiheyden vaihtelusta eripuolilta universumia [38][47].
3.2 Simulaatiot ja kosminen verkko
Simulaatiot ovat hyvin keskeisessä asemassa nykyistä fysiikan ja tähtitieteen tutki-
musta. Puhuttaesta isojen hiukkasmäärien käyttäytymisestä ja vaikesti ratkaistavis-
ta tai ei-analyyttisesti ratkeavista differentiaaliyhtälöistä, numeeriset approksimaa-
tiot nousevat suureen arvoon. Muun muassa taivaanmekaniikassa tuttua kolmen ja
useamman kappaleen radanlaskentaa voi harrastaa tuloksekkaasti vain numeerisesti.
Simulaatiot ovat erinomainen varmenne johdetuille fysiikan malleille, niissä tie-
tokone laitetaan laskemaan tyypillisesti matemaattisesti formuloidun mallin aika-
kehitystä. Pimeän aineen kohdalla simulaatioiden kertovat jopa enemmän kuin ha-
vaintolaitteet. Suurin pimeää ainetta kosmisessa mittakaavassa tutkinut simulaatio
on Millenniumsimulaatioprojekti (MSP). MSPn ensimmäisessä ajossa vuonna 2005
noin 10 miljardin pimeän aineen kasaumahiukkasen kuutiomainen populaatio ase-
tettiin kehittyymään ΛCMD-mallin mukaisissa olosuhteissa. MSPssä ajan funktio-
na muuntuvasta hiukkaspopulaatiosta muodostui hyvin pitkälti universumin suu-
25. 20
ren mittakaavan rakennetta mukaileva verkko, jossa oli galaksinomaisia tihentyneitä
kohtia. MSPn katsotaankin osaltaan tukevan tieteen nykykäsitystä baryonisen ai-
neen, pimeän aineen ja pimeän energian suhteesta. [39]
Kuva 7. Kosminen verkko, milleniumsimulaatiossa muodostunut suuren mittakaavan
rakenne, joka vastaa havaintoja. [40]
3.3 Suora havainnointi
Suoria havaintoja pimeän aineen kanditaateista ja niiden hajoamistuotteista, on yri-
tetty ja yritetään jatkuvasti saada [41]. Suorilla havainnoilla yläraja pimeän aineen
elastiselle sironnalle protonien ja neutronien kanssa on saatu määritettyä hyvin al-
haiseksi [20].
3.3.1 Neutriinoilmaisimet
Etelämantereelle syvälle jään sisään vuonna 2005 valmistunut AMANDA ilmaismen
(Arctic Myon and Neutrino Detector Array) ja sen seuraajan 2010 valmistuneen
IceCube neutriino-observatorion yksi keskeinen tehtävä on ollut havaita mahdolli-
sen itse-annihiloituvan pimeän aineen anihilaatiotuotteina syntyviä neutriinoja. Esi-
merkiksi neutraliinon annihilaatiossa gammasäteilyn lisäksi syntyvät neutriinot ovat
tutkijoiden mielenkiinnon kohteina. [42]
Italiassa Gran Gasso vuorelle sijoitetulla hiukkasdetektorilla suoritetussa DAMA-
tutkimuksesta (DAMA - DArk MAtter) on raportoitu suoria havaintoja pimeäksi
aineeksi sopivan hiukkaskandidaatista. DAMA-kokeessa on havaittu vuoden kierron
26. 21
mukainen vaihtelu WIMP kandidaatiksi sopivalle 60 GeV massaiselle hiukkaselle,
jonka vuorovaikutusala on kertaluokkaa 10−41
cm2
. DAMAn tuloksia ei olla kuiten-
kaan pystytty varmistamaan muilla samaan havaintoherkkyyteen säädetyillä suo-
railmaisin kokeilla, kuten EDELWEISSillä ja CDMSllä. Toistettavuuden johdosta
DAMAn vuosittaisen vaihtelun arvellaan johtuvan jostain muusta kuin pimeästä
aineesta. [20]
Suoria havaintoja itse pimeän aineen hiukkasista ei pidetä enää kovinkaan to-
dennäköisinä nykyinstrumentein - suurienergisiin hiukkaskiihdytimiin rakennettuja
detektoreja lukuunottamatta.
3.3.2 LHC
CERNiin rakennetun LHC-hiukkaskiihdyttimen (Large Hadron Collider) vuoden
2015 uuden käynnistyksen keskeisiä tehtäviä on supersymmetrian tutkiminen ja pi-
meän aineen hiukkasen etsiminen. LHCn protonisuihkujen maksimitörmäysenergia
on saatu nostettu uuteen käynnistykseen 13 TeV:iin aiemmasta 7 TeV:sta. [43] LHCs-
sä on eräiden supersymmetriamallien mukaan riittävästi energiaa tuottamaan super-
symmetrisiä hiukkasia protonitörmäytyksessä.
Mikäli usemmassa ulottuvuudessa vaikuttava painovoimahiukkanen, esimerkiksi
supersäieteorian gravitoni olisi tosiasia, niin LHC:ssä tälläisen hiukkasen ilmenemi-
nen voitaisiin havaita törmäyksessä syntyvänä massakatona. Massakadon voitaisiin
olettaa indikoivan bulkkiin karannunnutta gravitaation välittäjähiukkasta.
4 Vaihtoehtoiset teoriat
Pimeän aineen hypoteesille löytyy myös kritisoijansa. Toistaiseksi on havaittu vain,
että Newtonin mekaniikan ja yleisen suhteellisussteorian gravitaatio ei päde galak-
tisissa mittakaavoissa. Ilman pimeän aineen olemassaoloa teoriat siis rikkoutuisivat
suurilla etäisyyksillä ja sisältäisivät väkisin korjaavia lisätermejä. Tunnetuin gravi-
taatiota muovaava ehdokas on Mordehai Milgrom vuonna 1983 kehittämä modifoitu
Newtonin dynamiikka. Vaihtoehtoisia selityksiä pimeälle aineelle toki riittänee li-
ki yhtä paljon kuin uskontoja, mutta laajempaa tutkimuksellista mielenkiintoa on
herättänyt vain muutama.
4.1 MOND ja TEVEZ
Modifoitua Newtonin dynamiikka (MOND - Modified Newtonian dynamics) on tut-
kittu muutaman vuosikymmenen ajan mahdollisena selityksenä pimeälle aineelle.
27. 22
MONDissa keskeisenä ajatuksessa on, että alhaisen kiihtyvyyden olosuhteissa New-
tonin toinen laki ei pätisikään tunnetussa muodossaan. MONDissa liikeyhtälö saa
uuden kiihtyvyydestä ja kiihtyvyysvakiosta a0 riippuvan funktion µ tullen muotoon
FM = maµ
a
a0
.
Tähtitieteen havaintojen perusteella rajoittavat ehdot ovat, että µ(x) → x, kun
a a0 ja µ(x) → 1, kun a a0, jolloin suurilla kiihtyvyyksillä pätee Newtonin
toinen laki F = ma. Alhaisilla kiihtyvyyksillä voima tulee muotoon F = ma2
a0
ja
vakiosta a0 tulee liikeyhtälön kannalta merkittävä. MONDissa parhaiten havaintoja
vastaava arvo vakiolle a0 on 1, 2·10−10 m
s2 . Painovoiman ollessa ainoa vaikuttava voima
saadaan normaalikiihtyvyydestä MOND-liikeyhlöllä alhaisissa kiihtyvyyksissä
FM = FG = γ
Mm
r2
=
m
a0
(
v2
r
)2
,
josta saadaan rotaationopeuden funktioksi
v = 4
γMa0,
missä γ on gravitaatio vakio ja M galaksin massa.
Jacob Bekenstein sai vuonna 2004 muotoiltua MONDin relativistisen version
TEVEZin (Tensor-Vector-Scalar gravity). Relativistisena versiona TEVEZ kykenee
selittämään gravitaatiolinssi-ilmiön suhteessa etäisyyden mukana muuttuvaan pai-
novoimaan. MONDia ja TEVEZiä on kritisoitu siitä, että ne selittävät galaksin
rotaatio-ongelman hyvin, mutta eivät galaksijoukkojen havaittuja liikkeitä. [15][21]
4.2 Bigravitaatio
Yksi vaihtoehtoinen selitys pimeälle aineelle on yleisen suhteellisuusteorian gravi-
taation muovaaminen yhdistämällä kaksi eri avaruuden metriikkaa toisiinsa. Tätä
kahden metriikan ajatusta kutsutaan bigravitaatioksi. Kahden eri Einsteinin kent-
täyhtälön sovittaminen yhteen, niin että CPT-symmetria säilyy, antaa muuntuneen
geodeesin etäännyttäessä kauas gravitaatiokeskittymästä ja muuntaa näin kappalei-
den liikettä. Bimetrisiä gravitaatioteorioita on muotoiltu useita ja MONDia voidaan
pitää myös yhtenä muuntuvan gravitaation teoriana. Jotkin bigravitaatioteoriois-
ta ennustavat myöhäisen universumin kiihtyvää laajenemista ja voisivat siksi olla
varteenotettava selitys pimeän aineen lisäksi pimeälle energialle. [44]
28. 23
4.3 Pimeän aineen olemattomuuden ongelma
Pimeän aineen olemassaolo vaikuttaa lukuisten havaintojen puitteissa liki välttä-
mättömältä. Mikäli pimeää ainetta ei kuitenkaan olisikaan, jouduttaisiin sen sijaan
selvittämään kosolti uudenlaista luonnon laistoa, joka määrää universumin kehitystä
galaktisissa ja sitä suuremmissa mittakaavoissa. Viitteitä pimeän aineen hiukkasista
saatetaan onnistua löytämään CERNin LHC-hiukkaskiihdyttimellä jo piakkoin. Voi
toki kuitenkin olla, että ei onnistuta, ja että mikään supersymmetrinen teoria ei pi-
däkään nykyisessä muodossaan paikkaansa. Mitään vakuuttavaa vahvistusta super-
symmetrialle ei olla vielä saatu. Aksionin ja useamman ulottuvuuden olemassaolon
vaativan Kaluzan-Kleinin hiukkasen olemassaoloa tukevia havaintoja voidaan myös
saada tulevina vuosikymmeninä.
Olipa pimeän aineen havainnot selittävä teoria lopulta mikä tahansa, tulee se
olemaan kosmologiassa hyvin merkittävä aikaansaannos. On toki mahdollista, että
pimeän aineen mysteeri ei ihmiskunnan olemassaolon aikana ratkea. Huomioitaessa
viimeisen kahden sadan vuoden kehitys höyrykoneista supertietokoneisiin, ikuisiin
mysteereihin lienee syytä suhtautua skeptisesti.
Opiskelijana voi naiivista ajattelun lähtökohdasta arvella, että pimeän aineen
olemus on selvinnyt vuoteen 2060 mennessä ja samalla koko kosmologia on hy-
pännyt uuden merkittävän askeleen eteenpäin - myös gravitaation kvanttiteorian
rintamalla. On selvää, että vasta murto-osaa maailmasta ymmärretään tarkkoihin
ennusteisiin pystyvillä malleilla. Tutkijat saanevatkin vielä tulevilla vuosisadoilla
päristellä suupieliään yhä vain huimemmilla ehdotuksilla todellisuuden eri osien ku-
vailuun. Ihmisaivojen laskentateho on rajallinen. Varsinainen mysteereidein ratkai-
su voikin lähitulevaisuudessa siirtyä yhä enenevissä määrin ihmisaivoilta jatkuvasti
tehokkaampaa päättelyä suorittaville aparaateille.
29. 24
Viitteet
[1] J.H. Oort The force exerted by the stellar system in the direction perpendicular
to the galactic plane and some related problems, Bulletin of the Astronomical
Institutes of the Netherlands, Vol. 6, p.249, 1932.
[2] F. Zwicky, Republication of: The redshift of extragalactic nebulae - English trans-
lation of the paper by F. Zwicky, "Die Rotverschieb ung von extragalaktischen
Nebeln", Helv. Phys. Acta 6, 110-127 (1933), 2009.
[3] S. Van Den Bergh, The early history of dark matter, arXiv:astro-ph/9904251,
1999.
[4] J.H. Oort, Some Problems Concerning the Structure and Dynamics of the Galac-
tic System and the Elliptical Nebulae NGC 3115 and 4494, Astrophysical Journal,
vol. 91, p.273, 1940.
[5] F.D. Kahn & L. Woltjer, Intergalactic Matter and the Galaxy, Astrophysical
Journal, vol. 130, p.705, 1959.
[6] K.C. Freeman, On the Disks of Spiral and S0 Galaxies, Astrophysical Journal,
vol. 130, p.811, 1970.
[7] V.C. Rubin & W.K. Ford Jr, Rotation of the Andromeda Nebula from a Spect-
roscopic Survey of Emission Regions, Astrophysical Journal vol 159, p.379, 1970.
[8] A. Bosma, The Distribution and Kinematics of Neutral Hydrogen in Spiral Ga-
laxies of Various Morphological Types, PhD Thesis, Rijksuniversiteit Groningen,
1978.
[9] V.C. Rubin, N. Thonnard & W.K. Ford Jr. Rotational Properties of 21 Sc Ga-
laxies with a Large Range of Luminosities and Radii from NGC 4605 (R=4kpc)
to UGC 2885 (R=122kpc), Astrophysical Journal, vol. 238, p.471, 1980.
[10] J. Einasto, Dark Matter and Cosmic Web Story, World Scientific Publishing,
2013.
[11] J. P. Ostriker & P. J. E. Peebles, A Numerical Study of the Stability of Flattened
Galaxies: or, can Cold Galaxies Survive?, Astrophysical Journal vol. 186, p.467,
1973.
[12] L. Tähtinen & C. Flynn, Universumin pimeä puoli: Tieteen suurimmat arvoi-
tukset pimeä aine ja pimeä energia, Ursan julkaisuja 109, Ursa, 2008.
30. 25
[13] C. Flynn, A. Gould & J.W. Bahcall, Hubble Deep Field Constraint on Baryonic
Dark Matter, Astrophysical Journal vol. 466 L.55, 1996.
[14] S. Young & C. T. Byrnes, Signatures of non-gaussianity in the isocurvature
modes of primordial black hole dark matter, JCAP 1504 04, 2015.
[15] R. H. Sanders, The Dark Matter Problem: A Historical Perspective, Cambridge
University Press, 2010.
[16] J. Binney, M. Merrifield, Galactic Astronomy, Princeton University Press, 1998.
[17] K. G. Begeman, A. H. Broeils, & R. H. Sanders, Extended rotation curves of
spiral galaxies: dark haloes and modified dynamics, Mon. Not. R. astr. Soc. 249
523-537, 1991.
[18] P. J. E. Peebles, Large-scale background temperature and mass fluctuations due
to scale-invariant primeval perturbations, ApJ. 263, L1-L5, 1982.
[19] A. Jenkins et al., Evolution of structure in cold dark matter universes, ApJ.
499, 20-40, 1998.
[20] G. Bertone, D. Hooper & J. Silk Particle Dark Matter: Evidence, Canditates
and Constraints, Phys.Rept. 405:279-390, 2005.
[21] K. Garrett & G. Duda, Dark Matter: A Primer, Adv. Astron. 2011:968283,
2011.
[22] R. A. Battye & A. Moss, Evidence for Massive Neutrinos from Cosmic Mic-
rowave Background and Lensing Observations Phys. Rev. Lett. 112, 051303,
2014.
[23] S. Dodelson & L. M. Widrow, Sterile Neutrinos as Dark Matter, Phys. Rev.
Lett. 72 17, 1994.
[24] M. Drewes, The Phenomenology of Right Handed Neutrinos, Int. J. Mod. Phys.
E, 22, 1330019, 2013.
[25] D. Tucker-Smith & N. Weiner Status of Inelastic Dark Matter, Phys. Rev. D72
063509, 2005.
[26] R. Catena and M. Covi, SUSY dark matter(s), arXiv:1310.4776 [hep-ph], 2013.
[27] J. Edsjo, Aspects of Neutrino Detection of Neutralino Dark Matter, Ph. D The-
sis, Uppsala University, 1997.
31. 26
[28] K-Y Choi, J. E. Kim & Leszek Roszkowski Review of axino dark matter,
arXiv:1307.3330 [astro-ph.CO], 2013.
[29] R. D. Peccei and Helen R. Quinn CP Conservation in the Presence of Pseudo-
particles, Phys. Rev. Lett. 38, 1977.
[30] K. R. Dienes, J. Kumar, B. Thomas & D. Yaylali A New Direction in Dark-
Matter Complementarity: Dark-Matter Decay as a Complementary Probe of
Multi-Component Dark Sectors, Phys. Rev. Lett. 114, 051301, 2015.
[31] F.W. Dyson, A.S. Eddington & C.R. Davidson (1920). A Determination of the
Deflection of Light by the Sun’s Gravitational Field, from Observations Made
at the Solar eclipse of May 29, 1919, Phil. Trans. Roy. Soc. A 220 (571-581):
291–333, 1920.
[32] P. Brax & C. van de Bruck Cosmology and Brane Worlds: A Review, Class.
Quant. Grav. 20:R201-R232, 2003.
[33] The Pierre Auger Collaboration Update on the correlation of the highest energy
cosmic rays with nearby extragalactic matter, Science 318:938-943, 2007.
[34] R. Narayan & M. Bartelmann Lectures on Gravitational Lensing, arXiv:astro-
ph/9606001, 1996.
[35] NASA, ESA & R. Massey, California Institute of Technology,
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/D/darkmat.html, 2007.
[36] D. Clowe et al., A direct empirical proof of the existence of dark matter, Astrop-
hysical Journal 648:L109-L113, 2006.
[37] NASA, ESA & J. Richard, California Institute of Technology,
https://www.spacetelescope.org/images/heic0814f/, 2008.
[38] ESA & Planck Collaboration, http://www.esa.int/spaceinimages/Images/
2013/03/Planck_CMB, 2013.
[39] C. Lemson, Halo and Galaxy Formation Histories from the Millennium Si-
mulation: Public release of a VO-oriented and SQL-queryable database for stu-
dying the evolution of galaxies in the LambdaCDM cosmogony, arXiv:astro-
ph/0608019, 2006.
[40] Millenium Simulation Project, G. Lemson & the Virgo Consortium,
http://wwwmpa.mpa-garching.mpg.de/millennium/, 2006.
32. 27
[41] Y.F. Li & Zhi-zhong Xing Direct detection of hot dark matter including light
sterile neutrinos, Journal of Physics Conference Series; 375(1), 2012.
[42] M. G. Aartsen et all. IceCube search for dark matter annihilation in nearby
galaxies and galaxy clusters, Phys. Rev. D88 122001, 2013.
[43] Large Hadron Colliderin virallinen kotisivu,
http://home.web.cern.ch/topics/large-hadron-collider, 2015.
[44] S. F. Hassan & R. A. Rosen, Bimetric Gravity from Ghost-free Massive Gravity,
arXiv:1109.3515, 2011.
[45] P. S. Wesson Space-Time-Matter, Modern Kaluza-Klein Theory, Singapore:
World Scientific, 1999.
[46] E. Hubble Cepheids in Spiral Nebulae, PASP 33, 252, 1925.
[47] Planck Collaboration Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific
results, arXiv:1303.5062, 2013.
33. A-1
A Liitteet
A.1 Kaluzan-Kleinin teoria
Kaluzan-Kleinin teoriassa yleinen suhteellisuusteoria saa viidenteen dimensioon laa-
jennetun huomattavasti monimutkaistuneen muodon. Tällöin myös metriikka tulee
viisiulotteiseen muotoon:
˜gµν ≡ gµν + φ2
AµAν, ˜gµ5 ≡ φ2
Aµ, ˜g5ν ≡ φ2
Aν, ˜g55 ≡ φ2
,
jossa koordinaatit µ ja ν kulkevat 0,1,2,3 ja viides koordinaatti on 5. Metriikasta
johdettu viisiulotteinen pituuselementti saa muodon
ds ≡ ˜gabdxa
dxb
= gµνdxµ
dyν
+ φ2
(Aνdxν
+ dx5
)2
Viisiulotteisesta metriikasta, jossa pätee oletuksena sylinteriehto: ∂˜gab
∂x5 = 0 - eli ylei-
sen suhteellisuusteorian metriikka ei ole mitenkään riippuvainen viidennestä ulot-
tuvuudesta, saadaan konnektiot ˜Γa
bc. Konnektioiden avulla saadaan viisiulotteinen
Riccin tensori ˜Ra
bc. Riccin tensorin avulla voimme muodostaa Einsteinin 5D- kent-
täyhtälöt ja ne saavat 4-ulotteiseen tapaukseen samaistuvan muodon
˜Gab = ˜Rab −
1
2
˜gab
˜R.
Viisiulotteisen Riccin tensorin matriisin alkiot ovat ˜R5α = 0 = 1
2
˜gβµ
µ(φ3
Fαβ).
Tässä Maxwellinyhtälöt ovat Minkowskin avaruudessa sähkömagneettisen tensorin
muodossa
Fαβ = ηανFνµ
ηµβ =
0 Ex/c Ey/c Ex/c
−Ex/c 0 −Bz By
−Ey/c Bz 0 −Bx
−Ez/c −By Bx 0
.
Tästä saadaan neliulotteiseen tapaukseen sähkömagneettinen energiaimpulssitensori
Tµν
= 1
µ0
(Fµα
Fν
α − 1
4
ηµν
FαβFαβ
). Näin sähkömagnetismi on karkeasti tarkasteltuna
liitetty Riccin tensorin viidenteen riviin ja 5D tapauksesta saadaan projisoitua sekä
Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöt, että Maxwellin sähkömagneet-
tiset kenttäyhtälöt tensorimuodossa. [45]
A.2 Gravitaatiolinssiyhtälö
Pistemäisen massan taivuttamiskulma saadaan Newtonin potentiaalista Φ M mas-
saiselle linssigalaksille
Φ(b, x) = −
GM
(b2 + x2)1/2
,
34. A-2
jossa b on häiriöttömän valon säteen impaktiparametri eli kulkureitin lähimmän
kohdan etäisyys linssin keskustasta ja x valosäteen suoraan etenevä matka lähtöga-
laksista linssin sivuutuspisteeseen. Tästä saadaan
⊥Φ(b, x) =
GM b
(b2 + x2)3/2
,
jossa vektori b on kohtisuorassa taipumattomaan valonsäteeseen nähden ja osoittaa
kohti linssinä toimivaa pistemassaa. Tästä yhtälöstä saadaan Einsteinin taipumis-
kulma
ˆα =
2
c2
∞
−∞
⊥Φ dx =
4GM
c2b
.
Pistemassan Schwarzschildin säde on
RS =
2GM
c2
,
joten ˆα = 2RS
b
. Esimerkiksi auringon Schwarzschildin säde on noin 2,95 km ja aurin-
gon säde 6,96 ·105
km. Auringon sivuuttava valonsäde taipuu siis noin (5,9/7,0)·10−5
radiaania.
Ohuen linssin approksimaatiossa galaksin massan oletetaan olevan linssin tasos-
sa. Lisäksi approksimoidaan havaitsijan ja linssigalaksin etäisyyden Dd sekä kohteen
ja linssigalaksin etäisyyden Dds olevan huomattavasti linssigalaksin sädettä suurem-
pia. Määritelmän mukainen massatiheys on
Σ(ξ) = ρ(ξ, x) dx ,
jossa ξ on linssin tasossa oleva kaksiulotteinen vektori, joka kertoo linssin ja sen
ohittavan valonsäteen etäisyyden. Taittumiskulma kohdassa ξ on kaikkien linssin
tasossa olevien massaelementtien aiheuttaman taittumisen summa
ˆα(ξ) =
4G
c2
(ξ − ξ )Σ(ξ )
|ξ − ξ |2
d2
ξ .
Ympyräsymmetrisen linssin tapauksessa voidaan siirtää origo linssin keskelle ja
ratkaistavaksi jää yksiulotteinen ongelma. Taipumiskulman yhtälö saadaan muotoon
ˆα(ξ) =
4GM(ξ)
c2ξ
,
jossa ξ on etäisyys linssin keskustasta ja M(ξ) on säteen sisälle jäävä massa
M(ξ) = 2π
ξ
0
Σ(ξ )ξ dξ .
35. A-3
Kun β on linssin ja kohteen todellinen kulma ja θ linssin ja kohteen välinen
havaittua kulma voidaan redusoidun taipumiskulman
α =
Dds
Ds
ˆα ,
jossa Ds on havaitsijan ja kohteen etäisyys, avulla ilmaista linssin taipumis yhtälö.
Huomataan, että θDs = βDs − ˆαDds ja lähteen todellisen paikan ja havitun paikka
suhde saadaan linssiyhtälöksi
β = θ − α(θ) .
Linssiyhtälön ja redusoidun taipumiskulman avulla ympyräsymmetriselle linssille
saadaan yhtälö
β(θ) = θ −
Dds
DdDs
4GM(θ)
c2 θ
,
Rotaatiosymmetriasta johtuen kohteen ja havaitsijan välillä olevalla optisella akselil-
la oleva linssi saa kohteen näkymään kehänä. Sijoittamalla β = 0 ylempään yhtälöön
saadaan kehän säteeksi
θE =
4GM(θE)
c2
Dds
DdDs
1/2
,
tätä kutsutaan Einsteinin säteeksi. [34]
