Cap 1 elasticidad-mejorado-sa0301152304

Cuaderno de Actividades: FII
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE
LIMA SUR – UNTELS
CARRERA PROFESIONAL: Ing. Mecánica y Eléctrica
ELASTICIDAD
Apellidos y Nombres: Valente Mayhuire, Junior Jesus
Código: 2012200031
Profesor: Percy Víctor, Cañote Fajardo
Lima – Perú
2015
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 156

ELASTICIDAD

1) ELASTICIDAD
Ningún cuerpo específico en la naturaleza es rígido y todos los cuerpos sufren deformaciones de
diferentes magnitudes. El término ‘elasticidad’ se utiliza para hacer referencia a aquella capacidad de
la física que permite que algunos elementos cambien su forma de acuerdo a si están bajo estrés
físico (es decir, estiramiento) o a si están en su posición de reposo. Algunos materiales tienen la
propiedad de ser particularmente elásticos y por tanto son utilizados para la elaboración de
productos en los cuales esta propiedad es útil (por ejemplo, algunos tejidos que deben adaptarse a
la forma del cuerpo de una persona).
1,1) Introducción
Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su
forma o tamaño original.
Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna
perfectamente a su estado inicial.
Comportamiento plástico: Cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas fuerzas el
cuerpo no retorna a su estado inicial y tiene una deformación permanente.
Los cuerpos reales pueden sufrir cambios de forma o de volumen (e incluso la ruptura) aunque la
resultante de las fuerzas exteriores sea cero.
La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, flexiones, retorceduras, etc.) debido a
la acción de fuerzas implica la aparición de esfuerzos que pueden llevar hasta la ruptura.
La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas y las deformaciones, sobre todo en los cuerpos
elásticos.
La deformación está íntimamente ligada a las fuerzas existentes entre los átomos o moléculas pero
aquí se ignorará la naturaleza atómica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un
continuo y tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fuerzas exteriores y deformaciones.

→ Cuerpos → Deformables
La característica más importante del comportamiento elástico es que es reversible: si se suprimen
las fuerzas que provocan la deformación el sólido vuelve al estado inicial de antes de aplicación de
las cargas.
→ Esfuerzo Es una relación entre las fuerzas( Traccion o comprensión) entre el área de la sección
transversal
F
Esfuerzo s
A
= =
Acción de una fuerza actuando sobre una área.
→ Deformación Es cuando un objeto cambia temporalmente (DEFORMACION ELASTICA) o
permanente (deformación plástica) debido a que al momento de aplicar una
fuerza varie su superficie, volumen, longitud y su forma
L
Deformación e
L
∆
= =
Cuando un objeto cambia temporalmente ( deformación elástica ) o permanente ( deformación
plástica o fractura ) debido a la fuerza aplicada.
¿Cómo se produce la deformación?
Con las fuerzas inter-moleculares internas en el seno que se oponen a la fuerza aplicada, por ejemplo:
• Un trozo de plastilina es un ejemplo de un material que sufre una deformación plástica cuando se le aplica
una fuerza muy pequeña.

•
• Un trozo de metal cuando se le aplica algo de calor es capaz de sufrir una deformación elástica ya que
cuando se enfría regresa a su forma original, pero si se le aplica una fuerza lo suficientemente grande la
deformación se vuelva plástica pues no es capaz de regresar a su estado original.
• El hule es un material que cuando se le aplica una fuerza sufre una deformación elástica, es decir, al retirar
la fuerza el objeto recupera su forma original, pero si se aplica una fuerza lo suficientemente grande puede
romperse y no recuperar su forma original.
• Un resorte es otro objeto elástico que al ser deformado es capaz de recuperar su forma original, a menos
que se le aplique una fuerza lo suficientemente grande como para hacer que la deformación sea plástica.
→ Módulos elásticos
Un módulo elástico es un tipo de constante elástica que relaciona una medida relacionada con la tensión y
una medida relacionada con la deformación.
Las constantes elásticas que reciben el nombre de módulo elástico son las siguientes:
• Módulo de Young se designa usualmente por . Está asociado directamente con los cambios de longitud
que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de tensiones de
tracción o de compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal.
Y: Modulo elástico de Young, en N/m2
.

• Módulo de compresibilidad se designa usualmente por . Está asociado con los cambios de volumen que
experimenta un material bajo la acción de esfuerzos (generalmente compresores) que actúan
perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen.
ß: Modulo elástico de Volumen, en N/m2
.
• Módulo elástico transversal se designa usualmente por . Está asociado con el cambio de forma que
experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes. No implica cambios de volumen, tan solo de
forma. También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante.
S: Modulo elástico de Rigidez o de Corte, en N/m2
.
→ Régimen elástico
Módulo de elasticidad longitudinal el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young relaciona la tensión según una dirección
con las deformaciones unitarias que se producen en la misma dirección.
Material | E123 [ MPa ] | E [ kp/cm² ] |
Goma | 7 | 70 |
Cartílago (humano) | 24 | 240 |
Tendón (humano) | 600 | 6000 |
Polietileno, Nylon| 1400 | 14000 |
Madera (laminada) | 7000 | 70 000 |

Madera (según la fibra) | 14 000 | 140 000 |
Hueso (fresco) | 21000 | 210 000 |
Hormigón / Concreto | 27 000 | 270 000 |
Aleaciones de Mg | 42 000 | 420 000 |
Vidrio | 70 000 | 700 000 |
1.2) Esfuerzo y deformación
Experimentalmente:
Esfuerzo
Deformación

Li ≡ L
A: sección transversal
Se observa:
→ los ∆L van a depender de las F

y A
{ siempre en régimen elástico}
→ los ∆L dependen de L
Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación
E
M
D






=
1
→
s
s Me M
e
→≡ ≡
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
L A
F

F

F

∆L
L
F

F

163

M ∼ 1010
2
N
m
¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica, plástica y de ruptura.
Para deformaciones superiores al límite de
proporcionalidad, existe un cierto tramo de la
curva s-e donde el
comportamiento del material es elástico,
aunque no existe proporcionalidad entre el
esfuerzo y la deformación. El límite en el
que el comportamiento del material deja
de ser elástico se denomina limite elástico,
representado por el punto b de la curva en la
figura q se puede apreciar.
¿? Podría describir curvas s-e especiales.
Teniendo en cuenta que existen varios tipos de fluidos y que
cada uno tiene un comportamiento diferente, este
comportamiento se puede graficar en un diagrama vs
du/dx, es decir, un diagrama esfuerzo- deformación
D
E
Régimen elástico
164

que indica qué tipo de fluido es: newtoniano, n newtoniano, plástico ideal, pseudo plástico o
sustancia tixotrópica.
Tixotrópica
1.3) Módulos elásticos
i) Modulo de Young, Y
Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.
/
/
F A
Y
L L
≡
∆
N/m2
ii) Modulo de corte, S
Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas
según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte),
Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia ∆x
hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.
A
F

h
f
F

∆x
h
x
tg
∆
=θ
h θ
f
165

La resistencia al desplazamiento ∆x se describirá en base al modelo S,
/
/
Esfuerzo de corte F A
S
Deformación de corte x h
≡ ≡
∆
→
Fh
S
A x
≡
∆
iii) Modulo volumétrico, B
Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.
F A
F
F
F
166

Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El
cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico esta definido por,
Si esta presión,
F
p
A
≡ , se escribe como una variación de presión, p∆ ,
/
p
B
V V
∆
≡ −
∆
En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.
Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0.
Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.
¿? Existirán otros módulos elásticos.
Módulo de compresibilidad se designa usualmente por K. Está asociado con los cambios de
volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos (generalmente compresores) que
actúan perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen.
Módulo elástico transversal se designa usualmente por G. Está asociado con el cambio de forma
que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes. No implica cambios de volumen,
tan solo de forma. También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante
/ /
/ /
F A F A
B
V V V V
≡ − ≡ −
∆ ∆

Ejercicio 1:
1° Ideal
v2(0) ≡ 0
→ MRUV Polea ideal
Cuerda ideal, ∃ m
m1,m2 , puntuales
L = 2 m1 = 3, m2 = 5
φ = 4 x 10-3
T= 0.57 segundos
2° Polea real → afectada
→ I=I (m,r) , f ← polea
⇒ CR
⇒ MRUV
3° Cuerda real
→ Deformación
→ CR
→ MRUV
4°→1º) t ≡¿?
2,5
4
g
a ≡ = → t(y2 ≡0) ≡?
y(t) ≡y (0)+ v(0) t -
2
1
at2
y
m2
h2 ≡1m
m1
168

2
2
5,2
010 t−+≡
5,2
2
≡t
5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?
w2 – T = m2 a
T = w2 – m2 a
≡ 50 – 5 x 2,5
T ≡ 37,5
/
/
F A FL
Y L F T
L L YA
≡ → ∆ = ¬ =
∆
Yacero ≡ 20 x 1010
( )
m
xx
x
L µ
π
6,27
1021020
25,37
2310
=≡∆→
−
Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de
la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como
energía potencial elástica en el sistema…veamos que es asi,
Acero
A
-F F
-L 0 x x
169

Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica que puede expresarse
de esta manera,
,1
2
p elEF AL
u
A L unidad de volumen
 
≡ ×  
 
Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x, descrita por,
/
/
AYF A
x L
x FY
L
 
 ÷
 
≡ ≡→
De tal forma que la fuerza del sistema será,
elast
AY
F x
L
→ ≡ − {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como la respuesta
elástica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado
cuasiestacionario}
Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,
{ , , , , , , , ,
elF
p el p el f p el i p el f p elW E E E E E≡ −∆ ≡ − + ≡ − ≡ −
2
0 , ,
0
1
/
2
el
L
F L
p el p el
AY AY
W x dx x E E
L L
∆
∆   
≡ − × ≡ − ≡ −∆ ≡ −  ÷
   
∫
2
,
1
2
p el
AY
L E
L
→ × ×∆ ≡
2
,
1
2
p el
A
L E
L
Y 
→ ∆ ≡ 
 

1
2
A
→ ×
L
/F A
×
L∆ / L
2
L
 
×∆ 
 
,p elE≡
,
1
2
p elF L E→ ∆ ≡
1
AL
¬ ×
,1
2
p elEF L
u
AL AL
∆
→ ≡ ≡
→
1
2
F L
u
A L
∆  
≡  ÷ ÷
  
1
2
s e u≡
¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus tres fases notables:
elástica, plástica y de ruptura.
Deformación Elástica: Pierna ortopédica (Capaz de volver a la posición a pesar de la fuerza que se
aplica
Deformación de Ruptura: Gorro de goma ( Es suficiente elástico que cuando se aplica una fuerza
considerable de lo contrario el material se romperá.

S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo
largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F,
determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza.
SOLUCION:
De
( )
2
,
2 2
D dFL Fdx d
L dL y x
YA Y y Lπ
−
∆ ≡ → ≡ ≡ +
( ) ( )
2 20
0
2 2
2
L
I
Fdx F dx FL
dL L
Y Y dDD d D dY
d x d x
L L
π ππ
 
 
 
 
≡ ≡→ ∆ ≡ ≡ 
− −    
+ +    
    
 
∫
144424443
?I→ ≡
D d
u d x
L
− 
≡ +  ÷
 
D d
du dx
L
− 
≡  ÷
 
( ) {
2
*
D
d
I
L du L
I
D d u dD
 
 
→ ≡ ≡ 
−  
 
∫
b/2
d/2
L
Y
A(x)
D/2
d/2 y F
0 x
X Ax L
172

* 1 1 1D
d
I
u d D
 
→ ≡ − ≡ − ÷
 
∫
02FL
L
Y dDπ
→ ∆ ≡ →
2L F
L Y dDπ
∆
≡
S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un
diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un
ángulo θ en el vértice.
a) Calcule la deformación del alambre.
b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre en dos veces el peso
de la masa (Yacero = 21 x 1010
Pa).
SOLUCION:
DCL (m):
T
θ
m
w
θ
m
173

Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4
, Yacero = 21x 1010
.
Del equilibrio en la vertical,
...cos secT mg T mgθ αθ≡ → ≡
Y de la dinámica circular,
2
...' , 't
cp cp
v
F Tsen ma m R l sen l l l
R
θ βθ≡ ≡ ≡ ¬ ≡ ≡ + ∆
De α y β,
2
..t n .a
'
tv
mg m
l senθ
γθ ≡
a) Del modulo de Young,
2 22
4
sec
2
FL Tl Tl
Y Y l T mg
LA Y dd
l
θ
π
π
≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡
∆    
∆   ÷
   
2 2
4 seclmg
l
Y d
θ
π
∆ ≡
b) T (periodo)=?, con la condición 2
3
T mg
π
θ≡ → ≡ ( T: tensión)
2
( )T periodo
w
π
≡
La frecuencia angular la obtenemos de β,
2cpF Tsen mθ≡ ≡ g senθ m≡ 'l senθ 2
w
2 2
'
'
g g
w l l l w
l l l
→ ≡ ¬ ≡ + ∆ → ≡
+ ∆
Con lo que el T queda,

2
2
l l
T
g
π
+ ∆
≡ 0,0242usando l∆ ≡ → 0,6T π≡
S1P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso = w, área transversal
= A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte
inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio.
SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el
peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx,
como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso
del trozo de barra de longitud x,
( )
w
w x x
L
 
≡  ÷
 
barra
L
2w
X
dx
w(x)
x
0
w w(x)
175

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,
{ } { }( )
( )
w
x dx
w x dxFL
Y
A
wL
d L xdx
AY AY LAYL
 
 ÷
 ∆ ≡ ≡ ≡→≡
∆
Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,
0 1
2
L wL
L L
AY
w
L xdx
LAY
∆ ≡ → ∆ ≡ ∆ ≡∫
Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w,
2
(2 ) 2w L wL
L
AY AY
∆ ≡ ≡
Con lo que la deformación total es, 1 2
2
2
wL wL
L L L
AY AY
∆ ≡ ∆ + ∆ ≡ +
5
2
wL
L
AY
∆ ≡
S1P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2
se sujeta por un
extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2
. La varilla
compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104
N en sus extremos.
a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo

b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?
c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?
Modulos de Young:
Cobre: 11 x 1010
Pa
Acero: 20 x 1010
Pa
SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,
a) Determinamos L de la condición 1 2L L L∆ ≡ ∆ ≡ ∆ . Mostramos DCL de cada varilla en la dirección de
interés y aplicamos la condición,
1 2 21
1 2
1 2 11 2 1
FL F L A Y
L
AY
L
L L L
AY A Y
∆ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ≡→
Calculando,
( ) 4
1 2 2
1 1
1,40 1 10L A Y
L
AY
−
×
≡ ≡
( ) 10
20 10×( )
4
2 10−
×( ) 10
11 10×( )
1,27≡
F A1 L1 L A2 F
F ∆L1 F
F ∆L F
177

1,27L ≡
b) Calculando los esfuerzos,
4
8
1 4
1
6,00 10
3 10
2,00 10A
F
s
A
F
s −
×
≡ ≡ ≡ ×
×
→≡ ∧
4
8
2 4
2
6,00 10
6,00 10
1,00 10
F
s
A −
×
≡ ≡ ≡ ×
×
8 8
1 23 10 6 10s s≡ × ∧ ≡ ×
c) Calculando las deformaciones,
s s
L L
L
s sL
Y L
Y
L
e
≡ ≡
∆ ∆
∆ ≡→≡
( )( )8
31 1
1 10
1
3 10 1,40
3,81 10
11 10
s L
L
Y
−
×
∆ ≡ ≡ ≡ ×
×
( )( )8
32 2
2 10
2
6 10 1,27
3,81 10
20 10
s L
L
Y
−
×
∆ ≡ ≡ ≡ ×
×
3
1 2 3,81 10L L −
∆ ≡∆ ≡ ×

d
S1P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108
, el acero se rompe.
Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b)
hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.
SOLUCION:
a) Determinación de la fuerza de corte,
F
De la ecuación del esfuerzo de corte,
2
2
44
4
F s d
s F
A
F
F
dπ
π
≡ → →≡ ≡≡
( ) ( )
28 2
10 1 10
4
π −
× ×
31,4F kN≡
Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.
b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,
w
D F

( )
F
d w
F
s F s d w
A π
π≡ →≡ ≡
( ) ( )( )8 2 2
4 10 1 10 0,5 10F π − −
→ ≡ × × ×
62,8F kN≡
S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y,
gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y
pivoteando en uno de sus extremos.
Determine:
a) La deformación producida en la barra
b) En donde se produce el esfuerzo máximo
SOLUCION:
L,M
dm w
dFcp
r dr
O
180

a) { } 2
cpdF dF dm w r≡ ≡
M
dm dr
L
 
≡  
 
( )
2
Mw
dF r rdr
L
≡
( )
2
2
: " "
2
cp
Mw
F r r dF
L
≡ ≡∫
2
2
2
2
( )
2
2
Mw
r dr
L Mw
Y dL r dr
AdL LAY
FL
Y
A L
 
 
 → ≡ → ≡≡
∆
2
2
0 0 2
L L Mw
L dL r dr
LAY
→ ∆ ≡ ≡∫ ∫
→
2 2
6
Mw L
L
AY
∆ ≡

b) De
2
2
2
22( )
2
Mw
r
F MwLs r r
A A LA
= ≡ ≡
,
por lo tanto, en r=L,
}
2
( )
2
Mw L
s L
A
≡

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