The presentation material for my lecture at the open campus, 22nd Sep. 2018

情報学を
理解するための
基礎数学
国際情報学部オープンキャンパス
中央大学国際情報学部
開設準備室教授飯尾淳

国際情報学部 Copyright © Jun Iio 2
数学は役にたたない？（１）
A
B
C

数学は役にたたない？（２）
3m
4m
B
A C

数学は役にたたない？（３）
●
山の標高（BC）はどう測る？
– 測れるもの：AB，∠BAC
– 測れないもの：AC，BC
B
A C

数学と芸術（１）
●
黄金比
– およそ5:8
– 1:1.618
●
フィボナッチ数
– 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

数学と芸術（２）
●
数式の美しさ
– 例：オイラーの公式

情報学を学ぶために必要な数学
●
統計学（確率・統計）
– 社会の出来事をデータ化して情報学で分析できるよ
うにするために必須の知識
– ビッグデータ，データサイエンティスト
●
代数幾何学（線形代数）
– 多変量解析を理解するためには必須の知識
– 社会の出来事は，複雑な要素からできている
●
解析学
– モデル化した空間の状況把握に必須の知識
– 最適解をいかに求めるかなどでも利用

ところで「情報」とは？
●
「隣の太郎さんちに男の子が生まれたよ！」
●
「明日Aスーパーでバーゲンセールやるって」
●
「来月から〇〇駅の改札が自動化されるそう」
●
「B社のXっていう車がモデルチェンジする」
●
「売れ残りのお弁当は17時から半額だって」
●
「試験ダメでも全出席なら単位出るってさ」

これは「意味のある情報」か？
●
ケース1
– 裏表，それぞれ1/2の確率※で出るコインを振った
⇒「表が出た」
●
ケース2
– 裏が出る確率が0，表が出る確率が1 ※（つまり，
どうやっても表しか出ない）のコインを振った
⇒「表が出た」
※ これらの確率は事前に知っているものとする

エントロピー（１）
●
「不確かな情報が明らかになる」⇒ ありがたい
●
情報の優劣を定量的に比較するには？
– 「情報の不確かさを定義する指標」が必要
●
定義：（なぜこう定義するかは以降のスライドで…）
H (p) = - Σi
( pi
log (pi
) )
●
p = {Pr(表が出る)=½, Pr(裏が出る)=½}なら，
H (p) = - ( ½ log (½) + ½ log (½) ) = - log (½)
= log (2) = 1

エントロピー（２）
● 確率 pi
で発生する「i 」という事象が明らかに
なったときの「ありがたさ」
– 情報の不確かさを定義する量 ⇒ f (pi
)
● { p0
, p1
, …, pi
, …, pn
} の全体についての
「ありがたさ」を定義したい ⇒
「f (pi
)の期待値」を計算すればよい
– 期待値：p0
・f (p0
) + p1
・f (p1
) + …+ pn
・f (pn
)
● pi
に対する「f の定義」：f (pi
) = - log (pi
)

エントロピー（３）
●
- log (p)のグラフ →
●
p の範囲… 0≦ p ≦１
●
p が1.0に近い事象
– 頻繁に出る …
価値は低い
●
p が0.0に近い事象
– 頻繁に出ない …
価値は高い
● - log (pi
) の期待値を
エントロピーとする 0.0 1.0 p

エントロピー（４）
●
コインの表裏に関するエントロピーのグラフ
0.0 1.00.5 p

情報圧縮
●
情報量を保ちつつ，データサイズを小さくする
→ 可逆圧縮．元に戻すことができる
●
zip, データを圧縮してメールでの送付（添付）をやりや
すくするなど
●
情報量は減るがデータサイズをより小さくする
→ 不可逆圧縮．元には戻せない
●
JPEG画像や，音声，動画のコーデックなど
●
少しぐらい劣化しても人間の目や耳には見分けがつかな
い

可逆圧縮の基本原理
元データ復号した元データ
圧縮データ
圧縮：全体が小さく
なるように最適な
コードの割付を行う
展開：割り付けた
コードを元に戻す

情報圧縮のアイデア（１）
●
コンピュータの中では，全ての情報は0と1で表
現される
– 「A」（Aという文字） … 0100 0001
– 「B」 … 0100 0010
– 「C」 … 0100 0011
…
– 「Z」 … 0101 1010
●
ただし，やみくもに短くするわけにはいかない
– 全てのコードは何らかの文字に割り当てられている
から
どの文字にも
均等なコードが
割り振られる

情報圧縮のアイデア（２）
1.コードの長さを可変にしよう
2.そのうえで，頻繁に出てくる文字ほど，短い
コードを割り当てるようにしよう（あまり使わ
ない文字は長いコードでもいいことにしよう）
• ハフマン符号：最も基本的な可逆圧縮方法
• 可変長コードの例
• 「1が続けて出てきたら（11が出たら）コードの区
切りとする」
• 11, 011, 1011, 0011, 01011, 10011, …

情報圧縮と確率
●
問：英語で最も使われている文字は何か？

（参考）シーザー暗号は簡単に破られる
●
シーザー暗号（カエサル暗号）：
– 平文を構成する文字を，アルファベットで何文字分
かずらしただけの単純な暗号
●
暗号化と復号化
– 一定のルール（鍵）にのっとり，文を暗号にする
password passwordqbttxpse
平文平文暗号文
暗号化復号化

（参考）シーザー暗号の解き方
●
大量の暗号文があれば，簡単に解読可能！
– 統計の応用
●
方法：
– 元の言語が分かれば，言語特有のクセが利用可能
– 例：英文であれば，文字の出現頻度は決まっている
●
具体的なやり方：
– 暗号文を構成する文字の出現頻度を計測，
– 英文の文字出現頻度に関する統計表と突き合わせ，
– キー（文字をどれだけずらしたか）を推測する

人工知能を理解するための数学
●
現在の「人工知能」※は「数理モデル」である
※ 弱いAI，特化型AIのこと
●
キーワード
– 特徴量（特徴ベクトル）と多次元空間
– パラメータの「学習」… 最適化（最急勾配法）
– 大量データ（ビッグデータ）
– コンピュータ処理能力の格段な向上

機械学習による判別器の生成
y = ax + b

ニューラルネットワーク
x1
x2
x3
x4
x5
w11
w21
w31
w51
yi
= f(∑xi
wji
)
入力層
中間層
出力層
ノード

ニューラルネットの動作イメージ
答えはA
A
B
C
x1
x2
x3
x4
x5
観測されたデータ（特徴量）
x1
= 0.5
x2
= -2.1
x3
= -0.82
x4
= 0.1
x5
= 3.2

ニューラルネットワークの学習
●
教師データ：ある学習データを入力したときの
「こう出力されるべきだ」という正解データ
●
学習：出力と教師データの誤差を減らす
– ある学習データを入力したときの出力と，教師デー
タとの「誤差」に基づき，パラメータを調整する
A = 1.0
B = 0.1
C = -0.1
x1
x2
x3
x4
x5
教師データ
A' = 1.0（正解）
B' = 0.0
C' = 0.0

社会の問題と人工知能（機械学習）
社会問題
・自然科学
・社会科学
・人文科学
人工知能による
問題解決装置
（機械学習）
コーディング
問題解決処理結果
問題を定式化
して特徴量で
記述すること

機械学習を学ぶために必要な数学
●
機械学習ライブラリを使うだけの人
– 特徴量設計に必要な知識 … 変数の独立性など基本
的な代数幾何学
– うまく動作しないときのチューニングに必要な知識
… 動作原理に関する様々な数学的知識
●
機械学習の判別器そのものを作る人
– 統計，線形空間，解析（最適化，偏微分）など

今日お話できなかったこと
●
符号理論や通信路容量など情報理論の基本的か
つ面白い様々な話題
●
計算量理論，計算可能性，アルゴリズムの複雑
さなど，計算に関する理論的な話題
●
計算誤差の取扱い，効率的な計算方法など，コ
ンピュータで計算する際に必要となる話題
●
その他，さまざまな情報学と数学のはなし

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