1. GUÍA DE APRENDIZAJE No. 3
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Colegio
Nombre del Estudiante: Curso DD MM AA
2009
Asignatura: Matemática – Geometría U.E.M. Período: Tercero Administrador (es) de Programa:
Tema: Función y Ecuación Cuadrática – Semejanza y Proporcionalidad  Juan Andrés Galindo Cepeda
 Nidia Stella Martínez Melo
TIEMPO: 14 UNIDADES PARA MATEMÁTICA
7 UNIDADES PARA GEOMETRÍA (U.E.M.)
INDICADORES DE LOGRO
COMPETENCIA: INDICADOR DE LOGRO DESEMPEÑOS
301 Comunicación Matemática:  Explicar relaciones entre las gráficas de funciones cuadráticas y la solución de ecuaciones
Reconoce la función cuadrática en sus distintas cuadráticas.
representaciones y establece relaciones entre  Encontrar soluciones para la ecuación cuadrática a través de la gráfica de la misma.
MATEMÁTICA
éstas.  Interpretar y resolver gráficamente problemas haciendo uso de ecuaciones cuadráticas.
302 RazonamientoyDesarrollodeProcedimientos:
Argumenta procedimientos propios del estudio  Proponer ecuaciones y funciones cuadráticas que modelen situaciones dadas.
 Identificar las soluciones de una ecuación cuadrática a partir del análisis del discriminante.
de la función cuadrática como: tabular, repre-
 Solucionar ecuaciones cuadráticas.
sentar en el plano cartesiano y solucionar ecua-  Identificar máximos y mínimos de una función cuadrática
ciones de segundo grado.
 Identificar ángulos y triángulos congruentes mediante movimientos.
 Reconocer triángulos congruentes mediante los criterios LLL – LAL – ALA.
GEOMETRÍA
303 Comunicación Matemática:  Comprender los criterios de semejanza y utilizarlos en la solución de problemas.
Identifica, conjetura y justifica relaciones, pro-  Reconocer y aplicar el teorema de Tales en la solución de problemas.
piedades y formulas relativas a la congruencia y  Obtener conclusiones sobre relaciones de proporcionalidad y semejanza de polígonos a
semejanza de figuras, y del teorema de Tales. partir de la manipulación de objetos geométricos mediante el uso del programa Cabri.
 Emplear el concepto de proporcionalidad para explicar el concepto de semejanza de trián-
gulos rectángulos.
 Representar mediante flujogramas los procedimientos utilizados para resolver un ejercicio
AUTONOMÍA
Estrategias de aprendizaje: problema.
Identifica, se apropia y evalúa estrategias de  Elaborar conjeturas y verificarlas o refutarlas mediante el uso de los programa Cabri o
aprendizaje para potenciar la construcción de su Derive.
conocimiento.  Organizar su tiempo para entregar con calidad y cumplimiento los trabajos propuestos.
 Participar de forma activa y responsable en el trabajo individual, de grupo y extraclase.
ACTIVIDAD PREVIA: SAY IT IN ENGLISH
1. Realice de manera individual la siguiente lectura tomada de http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html.
THE GOLDEN RATIO
Euclid, in The Elements, says that the line AB is divided in extreme and mean ratio by C if AB:AC = AC:CB.
Although Euclid does not use the term, we shall call this the golden ratio. The definition appears in Book VI but there is a construction given in
Book II, Theorem 11, concerning areas which is solved by dividing a line in the golden ratio. As well as constructions to divide a line in the golden
ratio, Euclid gives applications such as the construction of a regular pentagon, an icosahedron and a dodecahedron. Here is how the golden ratio
comes into the construction of a pentagon.
First construct an isosceles triangle whose base angles are double the vertex angle. This is done by taking a line AB
and marking C on the line in the golden ratio. Then draw a circle with centre A radius AB. Mark D on the circle so
that AC = CD = BD. The triangle ABD has the property that its base angles are double its vertex angle.
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2. Now starting with such a triangle ABD draw a circle through A, B and D. Then bisect the angle ADB with the line DE
meeting the circle at E. Note that the line passes through C, the point dividing AB in the golden ratio. Similarly
construct F and draw the pentagon AEBDF.
Of course nobody believes that Euclid's Elements represents original work so there is the question of who studied
the golden ratio before Euclid. Now some historians believe that Book II of The Elements covers material originally
studied by Theodorus of Cyrene while others attribute the material to Pythagoras, or at least to the Pythagoreans.
Proclus, writing in the fifth century AD, claims:-
Eudoxus ... multiplied the number of propositions concerning the section which had their origin in Plato, employing the method of analysis for
their solution.
Many believe that by 'section' Proclus means 'golden ratio'. Eudoxus certainly attended lectures by Plato so it is entirely reasonable that he
might work on topics suggested during these lectures. Heath writes in his edition of Euclid's Elements:-
This idea that Plato began the study of [the golden ratio] as a subject in itself is not in the least inconsistent with the supposition that the prob-
lem of Euclid II, 11 was solved by the Pythagoreans.
Heath claims later in the same work that the construction of a pentagon using the isosceles triangle method referred to above was known to the
Pythagoreans so there is a fair amount of evidence to suggest that this is where the study of the golden ratio began.
Hypsicles, around 150 BC, wrote on regular polyhedra. He is the author of what has been called Book XIV of Euclid's Elements, a work which
deals with inscribing regular solids in a sphere. The golden ratio enters into the constructions.
Up to this time the golden ratio seems to have been considered as a geometrical property and there is no obvious sign that an y attempt was
made to associate a number with the ratio. Of course if AB has length 1 and AC = x where C divides AB in the golden ratio, then we can use sim-
ple algebra to find x.
2
1/x = x/(1 - x) gives x + x - 1 = 0 so x = (√5-1)/2.
Then the golden ratio is 1/x = (√5 + 1)/2 = 1.6180339887498948482...
Heron certainly begins to compute approximate ratios, and in his work he gives approximate values for the ratio of the area of the pentagon to
the area of the square of one side. With Ptolemy trigonometric tables, at least in terms of chords of circles, begin to be computed. He calculates
the side of a regular pentagon in terms of the radius of the circumscribed circle.
With the development of algebra by the Arabs one might expect to find the quadratic equation (or a related one) to that which we have given
above. Al-Khwarizmi does indeed give several problems on dividing a line of length 10 into two parts and one of these does find a quadratic
equation for the length of the smaller part of the line of length 10 divided in the golden ratio. There is no mention of the golden ratio, however,
and it is unclear whether al-Khwarizmi is thinking of this particular problem.
Abu Kamil gives similar equations which arise from dividing a line of length 10 in various ways. Two of these ways are related to the golden ratio
but again it is unclear whether Abu Kamil is aware of this. However, when Fibonacci produced Liber Abaci he used many Arabic sources and one
of them was the problems of Abu Kamil. Fibonacci clearly indicates that he is aware of the connection between Abu Kamil's two problems and
the golden ratio. In Liber Abaci he gives the lengths of the segments of a line of length 10 divided in the golden ratio as √125 -5 and 15 - √125.
Pacioli wrote Divina proportione (Divine proportion) which is his name for the golden ratio. The book contains little new on the topic, collecting
results from Euclid and other sources on the golden ratio. He states (without any attempt at a proof or a reference) that the golden ratio cannot
be rational. He also states the result given in Liber Abaci on the lengths of the segments of a line of length 10 divided in the golden ratio. There is
little new in Pacioli's book which merely restates (usually without proof) results which had been published by other authors. Of course the title is
interesting and Pacioli writes:
... it seems to me that the proper title for this treatise must be Divine Proportion. This is because there are very many similar attributes which I
find in our proportion - all befitting God himself - which is the subject of our very useful discourse.
He gives five such attributes, perhaps the most interesting being:-
... just like God cannot be properly defined, nor can be understood through words, likewise this proportion of ours cannot ever be designated
through intelligible numbers, nor can it be expressed through any rational quantity, but always remains occult and secret, and is called irrational
by the mathematicians.
Cardan, Bombelli and others included problems in their texts on finding the golden ratio using quadratic equations. A surprising piece of infor-
mation is contained in a copy of the 1509 edition of Pacioli's Euclid's Elements. Someone has written a note which clearly shows that they knew
th
that the ratio of adjacent terms in the Fibonacci sequence tend to the golden number. Handwriting experts date the note as early 16 century so
there is the intriguing question as to who wrote it. See [6] for further details.
The first known calculation of the golden ratio as a decimal was given in a letter written in 1597 by Michael Maestlin, at the University of Tübin-
gen, to his former student Kepler. He gives "about 0.6180340" for the length of the longer segment of a line of length 1 divided in the golden
ratio. The correct value is 0.61803398874989484821... . The mystical feeling for the golden ratio was of course attractive to Kepler, as was its
relation to the regular solids. His writings on the topic are a mixture of good mathematics and magic. He, like the annotator of Pacioli's Euclid,
knows that the ratio of adjacent terms of the Fibonacci sequence tends to the golden ratio and he states this explicitly in a letter he wrote in
1609.
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3. The result that the quotients of adjacent terms of the Fibonacci sequence tend to the golden ratio is usually attributed to Simson who gave the
result in 1753. We have just seen that he was not the first give the result and indeed Albert Girard also discovered it independently of Kepler. It
appears in a publication of 1634 which appeared two years after Albert Girard's death.
In this article we have used the term golden ratio but this term was never used by any of the mathematicians who we have noted above contri-
buted to its development. We commented that "section" was possibly used by Proclus although some historians dispute that his reference to
section means the golden ratio. The common term used by early writers was simply "division in extreme and mean ratio". Pacioli certainly intro-
duced the term "divine proportion" and some later writers such as Ramus and Clavius adopted this term. Clavius also used the term "proportion-
ally divided" and similar expressions appear in the works of other mathematicians. The term "continuous proportion" was also used.
The names now used are golden ratio, golden number or golden section. These terms are modern in the sense that they were introduced later
than any of the work which we have discussed above. The first known use of the term appears in a footnote in Die reine Elementar-Matematik
by Martin Ohm (the brother of Georg Simon Ohm):-
One is also in the habit of calling this division of an arbitrary line in two such parts the golden section; one sometimes also says in this case: the
line r is divided in continuous proportion.
The first edition of Martin Ohm's book appeared in 1826. The footnote just quoted does not appear and the text uses the term "continuous
proportion". Clearly sometime between 1826 and 1835 the term "golden section" began to be used but its origin is a puzzle. It is fairly clear from
Ohm's footnote that the term "golden section" is not due to him. Fowler, in [9], examines the evidence and reaches the conclusion that 1835
marks the first appearance of the term.
The golden ratio has been famed throughout history for its aesthetic properties and it is claimed that the architecture of Ancient Greece was
strongly influenced by its use. The article [11] discusses whether the golden section is a universal natural phenomenon, to what extent it has
been used by architects and painters, and whether there is a relationship with aesthetics.
Article by: J J O'Connor and E F Robertson , July 2001 , MacTutor History of Mathematics
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html]
2. Desarrolle la siguiente sopa de letras con 39 palabras clave de la lectura, y luego escriba su significado contextual.
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3. Prepare en pequeño grupo una corta exposición en inglés acerca del contenido del texto.
DESARROLLO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
Para algunas unidades se realiza talleres sobre los conceptos a trabajar. En ellos podrás hacer uso de los conocimientos previos
que te ayudarán a construir el nuevo conocimiento.
 Taller No 8: Gráfica de la Función Cuadrática.
 Taller No 9: Semejanza y Congruencia.
 Taller No 10: Razón entre dos segmentos, segmentos proporcionales y polígonos semejantes.
 Taller No 11: Exploración de proporciones mediante el uso del programa CABRI.
 Taller No 12: La argumentación y la demostración en matemáticas.
 Taller No 13: Construcción Cohete de Agua.
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4. 1. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE:
Durante este periodo usaremos básicamente las siguientes estrategias de aprendizaje: Elaboración de diagramas de flujo, obser-
vación de ejemplos de ejercicios desarrollados en el texto con tu explicación propia, elaboración y verificación conjeturas ya sea
mediante la manipulación de objetos geométricos utilizando el programa Cabri o mediante la observación de la gráfica de una
función cuadrática y la correspondiente expresión algebraica y elaboración de ejercicios por iniciativa propia para profundizar los
conceptos o procedimientos que no quedaron claros o para ampliar conocimientos.
Además puedes hacer uso de las estrategias sugeridas en las anteriores guías de aprendizaje (guías de aprendizaje No 1 y 2 de
grado noveno 2009): lectura autorregulada, conversatorio explicativo, elaboración de esquemas conceptuales, diario de aprendi-
zaje uso de la tecnología y organización del tiempo, haz conciencia también de cómo te beneficiaras del trabajo individual y del
trabajo de grupo como estrategias para aprender a aprender. En lo que se refiere a uso de la tecnología (TICS), consulta las si-
guientes páginas en internet:
 www.eduteka.org.co  www.matematicafamnoveno.blogspot.com
 www.descartes.cnice.mecd.es  Software – Cabri
 www.pensadoresmatematicos.com  Software – Derive
2. CUADRO DE ACTIVIDADES
En los siguientes cuadros se presentan los temas a desarrollar del texto (DELTA 9º, Grupo Editorial Norma) en cada una de las
lecciones de matemática y unidad especial y se explicitan las actividades de aprendizaje a realizar en forma individual, grupal y
extra clase. Ten presente que aquí te presentamos un mínimo y que como estrategia de aprendizaje teniendo en cuenta tus ne-
cesidades individuales, debes desarrollar otros para aclarar conceptos y procedimientos o para ampliar conocimientos.
MATEMÁTICA
APRENDIZAJE EXTRA-
LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO
CLASE
Función Cuadrática
Pág. 113
1 Dos Unidades de Clase Taller No 8 - Grafica de la Función Cuadrática
Fecha:
2009
.
Solución de Ecuaciones Cuadráticas Elabore un diagrama de flujo Verifiquen la solución del los
por Factorización sobre el procedimiento que se ejercicios del trabajo individual Resuelva los ejercicios 3c,
Pág. 166 sigue para solucionar una con el propósito de que a todos 3h, 3i, 4g, 4i y ejercicios
2 Dos Unidades de Clase ecuación cuadrática y desarro- les quede claro el procedimien- para profundizar.
Fecha: lle los ejercicios: 1, 2, 3a, 3b, to y solucionen los problemas
2009 3d, 4a, 4b, 4c y 5a 5b, 5c y 5d.
.
Solución de la Ecuación Cuadrática Verifiquen la solución de los
Completando Cuadrado ejercicios del trabajo individual
Pág. 171 Resuelva los ejercicios 3d,
Desarrolle los ejercicios 1, 3a, con el propósito de que a todos
3 Dos Unidades de Clase 3e, 4c, 4e, 4h y ejercicio
3b, 3c, 4a, 4b y 4d. les quede claro el procedimien-
Fecha: para profundizar.
to. Y resuelvan los ejercicios 5,
2009 6, 10 y 11.
.
Fórmula Cuadrática Desarrolle los ejercicios 1a, 1b, Solucione tres ecuaciones
Pág. 176 hallando la solución de estas Revisen y corrijan el trabajo cuadráticas de la lección
4 Dos Unidades de Clase ecuaciones y represente me- individual y resuelvan los pro- anterior, utilizando la
Fecha: diante ecuaciones cuadráticas blemas 8, 9, 11 y 16. fórmula cuadrática y resuel-
2009 los problemas 8 y 9. va los problemas 10 y 15.
.
Sistema de los Números Complejos
Pág. 31 Desarrolle los ejercicios 1, 2,
Dos Unidades de Clase 3a, 3d, 8a, 8b, 8d, 10a, 10b Desarrollen los ejercicios 1g, Resuelva los ejercicios 1e,
5
Fecha: (Pág.34) y los ejercicios: 1a, 1b, 1h, 1j, 2c, 2d, 5a y 5d (Pág. 37) 1f, 3a y 3b. (Pág. 37)
2009 1c, 2a y 6b (Pág. 37)
.
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5. MATEMÁTICA
APRENDIZAJE EXTRA-
LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO
CLASE
Aplicaciones de la Ecuación Cuadrá-
tica
Pág. 182 Resuelva el problema 3 y los
Resuelvan los problemas 6, 8 y
6 Dos Unidades de Clase Resuelve los problemas 2 y 4. ejercicios que selecciones
10.
Fecha: para ampliar o profundizar.
2009
.
Desigualdades, Máximos y Mínimos Resuelva los ejercicios 1e, 1f
de Funciones Cuadráticas y 1h, escriba el significado
Pág. 186 Desarrolle los ejercicios 1a, 1b, Desarrollen los ejercicios 2, 3a, de las expresiones que se
7 Dos Unidades de Clase y 1c. 3b, 4a, 4b, 5, 6, 7, y 8 presentan en el punto 11 y
Fecha: resuelva los ejercicios 11a,
2009 11b y 11e.
.
GEOMETRÍA U.E.M.
APRENDIZAJE EXTRA-
LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO
CLASE
Proporcionalidad y
Semejanza
Pág. 300 Taller No 9 - Congruencia y Semejanza.
1 Una Unidad de Clase
Fecha:
2009
.
Segmentos Proporcionales
Pág. 320
Dos Unidades de Clase Taller No 10 - Razón entre dos segmentos, segmentos proporcionales y polígonos seme-
2
Fecha: jantes, exploración en la realidad concreta.
2009
.
Teorema de Tales y Semejanza de
Triángulos
Pág. 304
3 Dos Unidades de Clase Taller No 11 - Exploración de proporciones mediante el uso del programa CABRI.
Fecha:
2009
.
Semejanza en Triángulos Rectángulos
Pág. 311
4 Dos Unidades de Clase Taller No 12 - La argumentación y la demostración en matemáticas.
Fecha:
2009
.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
En todas las actividades que desarrollamos diariamente encontramos facilidades y dificultades, aciertos y errores, fortalezas y
debilidades. En la medida en que nos demos cuenta de ello, podemos encontrar estrategias para ser mejores. Con la auto evalua-
ción el estudiante ve lo que ha alcanzado en cada indicador y lo que debe mejorar según su reflexión. Con la coevaluación puede
tener el aporte de sus compañeros para reconocer sus fortalezas y superar sus dificultades, y con la heteroevaluación, el profe-
sor, desde su visión profesional ayuda a mejorar o alcanzar los logros propuestos.
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6. HETEROEVALUACIÓN
Si durante cada clase el estudiante realiza su autoevaluación y determina los aciertos y errores y los corrige a tiempo, en el mo-
mento en que le practiquen las pruebas orales o escritas tendrá mayor probabilidad de éxito.
Registra en el siguiente cuadro las valoraciones obtenidas en cada uno de los indicadores de logro:
Indicador Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10 Nota 11 Definitiva
301
302
303
COEVALUACIÓN
El trabajo de grupo constituye el espacio principal para la coevaluación. Mediante ésta, el grupo te ayudará y a la vez tú les ayu-
darás a tus compañeros para que identifiquen los aciertos y errores presentados en el desarrollo del trabajo personal. Pídele a
tus compañeros que te evalúen siguiendo como parámetro la siguiente rejilla:
Estudiantes que me evalúan:
Frecuentemente
Ocasionalmente
Algunas veces
1. __________________________________ 2. _________________________________________
Siempre
Nunca
3. __________________________________ 4. _________________________________________
¿Participo activamente en las discusiones grupales?
¿Acepto los puntos de vista de mis compañeros, aún cuando a veces no estoy de acuerdo con ellos?
¿Digo cosas originales e interesantes?
¿Trabajo con ahínco y no tomo a la ligera las actividades de la unidad?
¿Colaboro para que las clases tengan éxito?
¿Me gusta aprender muchas cosas más sobre la matemática?
¿Hago reflexión en cuanto a si se cumplieron los objetivos de la unidad?
¿Colaboro para que el grupo se mantenga unido?
¿Mantengo buenas relaciones con los compañeros?
¿Me enojo rápidamente cuando otros no están de acuerdo con mi opinión?
¿Procuro no desperdiciar el tiempo?
¿Doy oportunidad a otros compañeros para expresar sus puntos de vista?
¿Se cuáles son mis tareas?
¿Dispongo de información suficiente?
¿Aporto mis trabajos para la tarea en común?
AUTOEVALUACIÓN
A continuación encuentras los formatos para que desarrolles tu auto evaluación. Para esto revisa los desempeños que corres-
ponden a cada indicador y explica cuáles lograste y cuáles te falta trabajar. De acuerdo con la reflexión hecha determina el por-
centaje de alcance de cada indicador de logro.
Indicador 301: Reflexión sobre el logro de los desempeños: Indicador 302: Reflexión sobre el logro de los desempeños:
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________
Valoración del nivel de logro: Valoración del nivel de logro:
301 302
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
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7. Indicador 303: Reflexión sobre el logro de los desempeños: Con respecto a las estrategias de aprendizaje:
_________________________________________________
_________________________________________________ ¿Qué estrategias de aprendizaje aprendiste y cuáles debes
_________________________________________________ mejorar?
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________
Valoración del nivel de logro: _________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
303
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% _________________________________________________
_________________________________________________
Explica las razones, relacionadas con tus actitudes y hábitos, por las cuales lograste estos porcentajes y a continuación plantea
metas claras y acciones de mejoramiento para el siguiente periodo:
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Firma Estudiante
SEGUIMIENTO Y CONTROL
Es importante realizar acciones de mejora continua y oportuna; por esta razón realizaremos seguimiento periódico al buen desa-
rrollo de esta guía: el docente y los padres de familia, diligenciando el siguiente cuadro:
Primer Seguimiento (Fecha): Segundo Seguimiento (Fecha): Tercer Seguimiento (Fecha):
Comentarios: Comentarios: Comentarios:
Firma: Firma: Firma:
Nombre: Nombre: Nombre:
Vo. Bo. Docente: Vo. Bo. Docente: Vo. Bo. Docente:
BIBLIOGRAFÍA:
 Serie DELTA 9º, Grupo Editorial Norma
 Serie ESPIRAL 9º , Grupo Editorial Norma
 Fundamentos de geometría Analítica, Vásquez Sánchez Agustín, Edit. Thomson
 Álgebra Intermedia, Allen R. Ángel, Edit. Pearson
 http://www.eduteka.org.co
 http://www.descartes.cnice.mecd.es
 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html
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