Este documento explica los métodos romanos para realizar operaciones aritméticas como la resta, multiplicación y división de números romanos. La resta involucra convertir los números a sumas y eliminar símbolos comunes. La multiplicación implica dividir el primer factor entre 2 y duplicar el segundo en una tabla, y luego sumar los valores restantes. Aunque los romanos no entendían las bases matemáticas, estos métodos funcionaban debido a la notación binaria subyacente.

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Ámbito Científico
2 JUDITH GARCÍA PONCE
ARITMÉTICA ROMANA
1
RESTA DE ROMANOS
La resta de números romanos es algo más sencilla que la suma. Los pasos a seguir para A – B son los siguientes:
 1.- Convertimos las restas en sumas
 2.- Eliminamos los símbolos comunes a A y a B
 3.- Para el símbolo más grande que quede en B expandimos tomamos el primer símbolo de A mayor que él y lo expandimos. Después
volvemos a aplicar el paso 2.-. Hacemos esto las veces que sea necesario
 4.- Volvemos a pasar a restas donde sea necesario
Vamos con un ejemplo: 241 – 85. En números romanos: CCXLI – LXXXV
 1.- CCXLI pasa a CCXXXXI. LXXXV queda igual
 2.- Quitamos XXX de cada uno de ellos. Quedan CCXI y LV
 3.- Como L es el símbolo más grande del segundo número expandimos una C del primero como LXXXXX. Quedan CLXXXXXXI y LV. Quitamos L
de los dos y quedan CXXXXXXI y V. Como V es el único símbolo que queda expandimos una X del primero como VIIIII. Quedan CXXXXXVIIIIII y
V. Quitamos V de los dos y nos queda CXXXXXIIIIII. Colocando el número siguiendo las reglas de escritura queda CLVI
 4.- En este caso no hace falta pasar a restas. El resultado es CLVI = 156
PON TUS PROPIOS EJEMPLOS Y PRACTICA
LA ROMANA
La multiplicación de números romanos nos
trae las primeras complicaciones
realmente serias. No hay formas sencillas
de realizarla. En principio podríamos
pensar en lo más evidente: hacer sumas
sucesivas. Pero eso no es demasiado útil si
tenemos números grandes. Vamos a ver
una manera de hacer ese tipo de
multiplicaciones en la que tendremos que
suponer que sabemos multiplicar y dividir
por dos un número romano (calcular el
doble o la mitad de un número es sencillo
sin necesidad de reglas multiplicación y de
división)
Para calcular A·B formamos dos columnas y colocamos A en la
de la izquierda y B en la de la derecha. Pasos a seguir:
 1.- Dividimos A entre 2 y escribimos el cociente de
la división debajo de A. Por ejemplo, si A es 15
escribiremos debajo 7
 2.- Multiplicamos B por 2 y escribimos el resultado
debajo de B
 3.- Repetimos los pasos 1.- y 2.- con los números
que vamos obteniendo hasta que ne la columna de
la izquierda aparezca un 1.
 4.- Tachamos de la tabla resultante todas las filas
en las que el número de la izquierda sea par
 5.- Sumamos los números que nos hayan quedado
en la columna de la derecha. El resultado de esta
suma es el resultado de A·B
Con un ejemplo te
resultará más claro

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Vamos a hacer 45·29. En números romanos XLV·XXIX. Construimos la tabla:
A = XLV (45) B = XXIX (29)
XXII (22) LVIII (58)
XI (11) CXVI (116)
V (5) CCXXXII (232)
II (2) CDLXIV (464)
I (1) CMXXVIII (928)
Tachamos las filas donde el número de la izquierda es par. Nos queda la siguiente tabla:
A = XLV (45) B = XXIX (29)
XI (11) CXVI (116)
V (5) CCXXXII (232)
I (1) CMXXVIII (928)
Sumamos los números que han quedado en la columna de la derecha utilizando la regla de la suma que hemos visto anteriormente:
XXIX + CXVI + CCXXXII + CMXXVIII =
= XXVIIII + CXVI + CCXXXII + DCCCCXXVIII =
= [Concatenamos y ordenamos de mayor a menor valor] =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVIIIIIIIIII =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVVV =
= DCCCCCCCXXXXXXXXXXV =
= DCCCCCCCCV =
= DDCCCV =
= MCCCV
Y nos queda el resultado deseado: MCCCV = 1305(Fuente GAUSSIANOS)
Ahora más
claro, seguro Pon tus
ejemplos
Los romanos desdeñan
los trabajos de
matemáticos y científicos
altamente teóricos (solo
buscan la resolución de
problemas prácticos) y
desacreditan su utilidad.

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Los romanos construyeron “su aritmética” mediante la estrategia del “ensayo_error”. Aunque siempre funcionaba
nunca explicaron matemáticamente el porqué. En general, se negaron a considerar cualquier IDEA que hubiera detrás
de las aplicaciones particulares y concretas, a diferencia de los griegos que se caracterizaron por hacer matemática
abstracta. Los griegos insistieron en las demostraciones deductivas, esto es, establecer conclusiones exclusivamente a
través del razonamiento deductivo lo que contravenía los métodos utilizados hasta entonces (y también después) en
los que el conocimiento fiable se adquiría a través de la experimentación, la analogía etc.
Preguntémonos entonces, ¿por qué funcionaba siempre ese modo de multiplicar? ¿Cuál es el argumento matemático
que lo explica?
DESARROLLAREMOS LA MULTIPLICACIÓN DE 177 X 23
El símbolo x lo hemos añadido. Por supuesto usarían numerales romanos, pero para hacerlo más claro utilizaremos la
notación decimal.
177
x
23
88 46
44 92
22 184
11 368
5 736
2 1472
1 2944
Y así ignoran la forma en la que se han
presentado importantes desarrollos prácticos.
Quizá por eso las matemáticas romanas apenas
si son dignas de mención.
Pero nosotros hemos aprendido y sabemos de
la importancia de conocer el porqué.
Como observarás la idea es ir reduciendo
sucesivamente a la mitad el primer número (si es
número impar se ignora el resto), a la vez que vamos
duplicando el segundo. Ambas operaciones (duplicar y
dar la mitad) las hacían muy rápidamente, debido a su
uso frecuente, y porque su notación las facilitaba
(XXIII>XXXXIIII)

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A continuación, y para la segunda columna, se tachan
aquellos valores en los que en la primera columna haya
un número par.
177 x 23
88 46
44 92
22 184
11 368
5 736
2 1472
1 2944
Finalmente se suman, de la segunda columna, los
valores que nos han quedado sin tachar:
23 + 368 + 736 + 2944 = 4071
Como se puede comprobar el resultado es el correcto.
(Fuente:GAUSSIANOS)
f
¿Por qué será?

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But why did it work?
To find the reason, one must express the numbers in the first column in binary
notation--as a sum of powers of 2. The powers 2^N for N=0,1,2,3,4... are
N 2
N
0 1
1 2
2 4 = 2 x 2
3 8 = 2 x 2 x 2
4 16 = 2 x 2 x 2 x 2
5 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
6 64
7 128
and so forth.
Every number can be written in just one way as the sum of powers of two. In this case
177 = 1 + 16 + 32 +128
When a number is written in binary notation, each digit represents one power of 2.
Reading from right to left, a digit is 0 if that power of 2 is absent in the number, 1 if it is
present. It can only be present once: if twice or more, a higher power of 2 could be
used. This is very similar to the way we write decimal numbers: the digits of 177 tell us
that 10
0
=1 is present 7 times, 10
1
=10 is also present 7 times, and 10
2
=100 is present
once. Since
177 = 1 + 16 + 32 +128
we have in binary notation
177 = 1011 0001
The last digit of any binary number is 1 if it is odd, 0 if even. Lopping off that number
creates a new binary number, with two properties:
1. The same binary number is produced for any odd number and the even
number just below it, e.g.
177 = 1011 0001
and

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176 = 1011 0000
both give
1011 000 = 88
2. In the new number, each digit is demoted one binary level:
the "2" digit in the original number becomes the "1" digit,
the "4" digit becomes the "2" digit
the "8" digit becomes the "4" digit
the "16" digit becomes the "8" digit
and so forth. That means,
If the old number is even, the new number is half its value (no remainder)
If the old number is odd, the new number is half its value (ignore
remainder)
Thus when we "divide by 2 and ignore the remainder" we end up with the number
whose binary representation is obtained by lopping off the last binary digit. Let us
rewrite the earlier table, but add binary representations:
177 (1011 0001) x 23
88 (1011 000) 46
44 (101100) 92
22 (10110) 184
11 (1011) 368
5 (101) 736
2 (10) 1472
1 (1) 2944
Note whenever the left-hand number is odd, the last digit is 1. By singling out the odd
numbers on the left, we identify the non-zero digits in the binary expansion!
Now, how do we multiply two numbers in the decimal system, , say 177 by 23?
The digits of 177 tell us that it contains 7 "ones", 7 "tens" and one "hundred":
177 = (7 x 1) + (7 x 10) + (1 x 100)
Therefore
177 x 23 = ((7 x 1)x23)) + (7 x 10)x23)) + (1 x 100)x23))
or else
177 x 23 = (7 x 23) +(7 x 230) + (1 x 2300),

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or else
This reduces a complicated multiplication to a series of simple multiplications,
followed by a simple addition.
In the binary system, 10, 100, 1000, 10000... are powers of 2
Binary Decimal
1 1
10 2
100 4
1000 8
10 000 16
100 000 32
and so forth. To use a similar strategy for multiplying
1011 0001 x 23
(for clarity, we use decimals to write 23), for every digit "1" in 1011 0001 we multiply
23 by the corresponding power of 2, and then add the result. 1011 0001 contains "1"
four times, so we expect to add 4 powers of 2. Earlier we showed that
177 = 1 + 16 + 32 +128
and each "1" in 1011 0001 corresponds to one of those powers. To start from the
smallest power (as in the above sum) we must look at the digits from left to right. The
first "1" corresponds to "1" which is the same in binary or decimal. The next "1" shows
that 177 contains (once) 10000 (binary) = 16 (decimal), and so on.
The right hand column of our table, where 23 is doubled and redoubled, contains the
number 23 times all powers of 2 = 1,2,4,8... . By adding there the numbers
corresponding to the "1" digits of 177 = 1011 0001, we sum up the product of 23 by only
those powers of 2, contained in 177. The result therefore equals 177 x 23.
The Romans did not know anything about the binary system. They just knew that their
method worked, which was good enough for them. Interestingly, electronic computers,
which use binary numbers, employ a similar method!
Note
Even before the Romans, ancient Egypt used a similar system (see descriptions about
the Rhind Papyrus). More details about ancient mathematics and methods of
calculations are in the book "How Mathematics Happened" by Peter E. Rudman, 314
pp., Prometheus books 2007.