Este documento presenta información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos como unión e intersección, propiedades de los números reales, resolución de desigualdades lineales y de valor absoluto, y define el valor absoluto. Cubre temas matemáticos fundamentales como conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto.
1. NOMBRE: JUANA INÉS PIMENTEL
VERGARA
CARRERA: LIC. EN DEPORTE
CONJUNTO, NÚMEROS
REALES
Y VALOR ABSOLUTO
2. CONJUNTO
Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados
por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser
posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan
especificados como una lista, por tanto A={3,1,2,5,4}. En una definición explícita no
se pueden repetir elementos, así que {1,1,2,3,4,5} sería una manera incorrecta de
expresar el conjunto A.
3. OPERACON CON CONJUNTOS
UNION
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
4. INTERSECCION
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los
elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de
estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
5. Los Números reales son el conjunto numérico compuesto por I, Q, Z y N.
Propiedades de los números reales
1. Los números reales tienen la propiedad de que con ellos se pueden
hacer dos operaciones básicas que se conocen como suma y producto (o
multiplicación), y cumplen lo siguiente:
2. La suma de dos números reales tiene como resultado otro número real,
a esto se le conoce como ser cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b
∈ ℜ.
3. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
4. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
5. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
NUMEROS REALES
6. 6. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su
suma es igual a 0: a+(-a)=0
7. La multiplicación de dos números reales es cerrada: si a y b ∈ ℜ,
entonces a . b ∈ ℜ.
8.La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b.
a.
9. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
10.En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
11.Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real
llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
12. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a (b+c)= (a . b) + (a . c)
NÚMEROS REALES
7. Resolviendo desigualdades lineales de dos pasos
Para resolver una desigualdad de dos pasos, deshaga la
suma o la resta primero, usando las operaciones
inversas , y luego deshaga la multiplicación o la
división.
La operación inversa de la suma es la resta y viceversa.
De forma similar, la operación inversa de la multiplicación
es la división y viceversa.
Dese cuenta que, cuando multiplique o divida ambos
lados de una desigualdad por un número negativo,
revierta la desigualdad.
DESIGUALDAD
8. Resuelva. 2X + 1 < 7
Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado
de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se suma al término
de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la
resta. Así, reste 1 en ambos lados.
2X + 1-1 < 7-1
2X <6
Ahora, tenemos la variable x multiplicada por 2. La operación
inversa de la multiplicación es la división. Así, divide ambos
lados entre 2.
2X/2 < 6/2
X<3
Esto es, la desigualdad es verdadera para todos los valores
de x que sean menores que 3.
Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son todos los
números menores que 3.
DESIGUALDAD
9. En matemáticas, existe una definición de valor absoluto que se
expresa:
|x| = {x, si x ≥ 0
{-x, si x < 0
Esta definición se explica de la siguiente manera:
x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo (x
> 0). Por ejemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si el
número es 0 (x = 0), el valor absoluto será cero: |0| = 0, porque
0 = 0.
-x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número es negativo
(x < 0). Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0),
entonces el resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.
Respecto a la notación del valor absoluto, el número siempre se
escribe entre barras verticales:
|8| = 8. Esto significa que el valor absoluto de 8 es igual a 8.
|-8| = 8. Esto significa que el valor absoluto de -8 es igual a 8.
VALOR ABSOLUTO
10. Ejemplos de valor absoluto
1. |-107| = 107 (el valor absoluto de -107 es 107)
2. |2,34353| = 2,34353 (el valor absoluto de 2,34353 es 2,34353)
3. |⅛| = ⅛ (el valor absoluto de ⅛ es ⅛)
4. |43| = 43 (el valor absoluto de 43 es 43)
5. |-¼| = ¼ (el valor absoluto de -¼ es ¼)
6. |-5| = 5 (el valor absoluto de -5 es 5)
VALOR ABSOLUTO
11. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad
que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro.
La desigualdad significa que la distancia
entre X y 0 es menor que 4
Así, y El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto,
hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es negativa.
12. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos
casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y
b si entonces y
Ejemplo.
Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
Por lo que el conjunto solución es el intervalo
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
13. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Por lo que el conjunto solución es el intervalo
CONCLUSIÓN
Si el valor absoluto de la variable es menor que el término constante,
entonces la gráfica resultante será un segmento entre dos puntos. Si
el valor absoluto de la variable es mayor que el término constante,
entonces la gráfica resultante consistirá en dos rayos apuntando al
infinito en direcciones opuestas.
