Extremos condicionados

1. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 1 de 12
Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de Laplace
Ejercicios seleccionados de los textos:
• Cálculo, Trascendentes tempranas – J. Stewart – 6° edición
• Calculus – T. Apostol – Vol II
• Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba – 3° edición
1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r .
2) Calcule los valores extremos de xy
eyxf 
),( en la región descripta por la desigualdad
14 22
 yx .
3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función
xyzzyxf ),,( sujeta a la restricción 632 222
 zyx .
4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1222
 zyxyx y
122
 yx que están más próximos al origen.
5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de
un punto de la elipse 44 22
 yx a la recta 4 yx .
6) Considerar la función 22
),( yxyxyxf  en el disco unitario  1/),( 22
 yxyxD .
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo
para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos
de f en D.
Soluciones
1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r
Comencemos con un esquema. Llamemos con a, b y c a las dimensiones de la caja rectangular
inscripta en la esfera. Cómo la esfera de radio r y la caja rectangular son simétricas respecto al origen,
podemos dibujar un corte con un plano que pase por el origen de coordenadas y obtenemos el esquema
siguiente (el eje x está saliendo de la hoja):
La función volumen queda expresada por xyzzyxV 8),,(  con 0,0,0  zyx
Llamemos 222
),,( zyxzyxg  . Nuestro problema queda expresado así:
La función que debemos maximizar es el
volumen de la caja, es decir, a.b.c, sujeto a la
restricción de que los vértices de la caja estén
sobre la esfera.
Una vez ubicado el sistema de coordenadas,
observamos que
zc
yb
xa
2
2
2



Y la restricción está dada por la ecuación
2222
rzyx 
b
c
r

2. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 2 de 12
Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange a éste problema. El sistema que debemos
resolver es:





2
),,(
),,(),,(
rzyxg
zyxgzyxV 












2222
28
28
28
rzyx
zxy
yxz
xyz



Como x , y y z son positivos, λ es no nulo y podemos multiplicar la primer ecuación por x, la segunda
por y y la tercera por z y dividir por λ para obtener el sistema equivalente:











2222
2
2
2
/4
/4
/4
rzyx
zxyz
yxyz
xxyz



Las primeras tres ecuaciones nos dicen que 222
zyx  y reemplazando en la última ecuación
obtenemos
0
34,3/3 22


x
ryrxrx 
Además
3
0,0,0
222
rzyx
zyx
zyx






Luego el volumen máximo es  33/8),,( 3
333
rV rrr
33
9
8
r
2) Calcule los valores extremos de xy
eyxf 
),( en la región descripta por la desigualdad
14 22
 yx
 Buscaremos los puntos críticos de f resolviendo el sistema )0,0(f y nos quedaremos sólo
con aquellos puntos que sean interiores a B (puntos que verifican 14 22
 yx ).
Observemos que la región
 14/),( 222
 yxRyxB
es una región cerrada y acotada, por lo
tanto la función f alcanzará en B su
máximo y mínimo en el interior o en la
frontera.
Para hallarlos, trabajaremos en dos etapas:
Maximizar ),,( zyxV
Sujeto a g(x,y,z) = r2

3. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 3 de 12
 Buscaremos valores extremos en la frontera de la región B (elipse de ecuación 14 22
 yx )
mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
Busquemos los valores extremos interiores a la región B:
2
),(0)0,0(),(
0
0
)0,0(),(
),(),(
Ryxepuesyx
ex
ey
yxf
exeyyxf
yx
yx
yx
yxyx













Punto crítico: (0,0)  B.
Analizaremos ahora si es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla, mediante la prueba
de la segunda derivada:
1)0,0(
),(),(
0)0,0(,),(
0)0,0(,),(
2
2







xy
yx
yxyx
xy
yy
yx
yy
xx
yx
xx
f
yxfeeyxyxf
fexyxf
feyyxf
1
01
10
)0,0()0,0(
)0,0()0,0(




yyyx
xyxx
ff
ff
D < 0
Como D < 0, f(0,0) no es un máximo relativo ni un mínimo relativo.
(0,0) es un punto silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (0,0, f(0,0))
Si representamos la superficie de ecuación yx
ez 
 podemos ver que en el punto crítico (0,0) no hay
máximo ni mínimo:
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
x
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
y
0.96
0.98
1
1.02
1.04
z
0.96
Busquemos los valores extremos en la frontera de la región B:
La frontera de B está formada por los puntos de la elipse de ecuación 14 22
 yx . Nuestro problema
ahora es hallar los máximos o mínimos de la función f sujeta a la condición 14 22
 yx .
Sea 22
4),( yxyxg  .
La condición 14 22
 yx equivale a 1),( yxg .
Nuestro problema queda expresado:
Claramente se ve que en el
punto (0,0) la función no posee
un extremo

4. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 4 de 12
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar valores extremos, tenemos que
resolver el siguiente sistema:





1),(
),(),(
yxg
yxgyxf 











)3(14
)2(8
)1(2
22
Eyx
Eyex
Exey
yx
yx


El sistema con incógnitas yx, y  no es lineal.
• Sabemos que 0 yx
e y podemos deducir que 0 , dado que en caso contrario de las ecuaciones
E1 y E2 obtendríamos que x = 0 e y = 0 pero estos valores no verifican E3.
• Razonando de manera muy similar obtenemos que 0x e 0y .
¿Por qué razonamos primero de esta manera, en vez de empezar a resolver el sistema? Porque ahora
tenemos la libertad de dividir por cualquiera de estas expresiones, dado que ninguna es nula!
Ahora vamos a resolver el sistema. La forma de resolver este tipo de sistemas (no lineales) no es única,
dependerá del sistema y de la forma particular en que cada persona decida como comenzar. Dividiendo
miembro a miembro la ecuación E2 por la E1 obtenemos:
22
4
4
2
8
yx
x
y
y
x
x
y
ey
ex
yx
yx







(*)
Reemplazando x2
en la ecuación E3 por la expresión obtenida en (*) tenemos:
4
2
4
218
14
4
21
2
22
22







yoyy
yx
yx
La expresión (*) también puede expresarse así: yx 2 , por lo cual obtenemos cuatro puntos en
los que evaluar la función:
































4
2
,
2
2
,
4
2
,
2
2
,
4
2
,
2
2
,
4
2
,
2
2
Para saber cual es el máximo y el mínimo, evaluamos f en cada uno de estos puntos:
),( yx ),( yxf Conclusión
)0,0( 1 Punto silla









4
2
,
2
2 ,









4
2
,
2
2
41
e
Máximo Absoluto








4
2
,
2
2 ,









4
2
,
2
2
41
e
Mínimo Absoluto
Maximizar / Minimizar f (x,y)
Sujeta a g (x,y) = 1

5. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 5 de 12
Veamos el problema desde el punto de vista geométrico. Grafiquemos la superficie de ecuación
yx
eyxfz 
 ),( y la restricción:
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
0
1
2
3
4
z
0
1
2
Superficie
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-0.5-0.250
0.250.5
y
0
1
2
3
z
-1
-0.5
0
0.5
1
x
0
1
2
Restricción: cilindro elíptico
Observación: es importante destacar la diferencia entre el valor máximo o mínimo y el punto
donde se alcanza ése valor:
- el mínimo de f en la región B vale 4
1
e y lo alcanza en los puntos
















4
2
,
2
2
4
2
,
2
2
y
- el máximo de f en la región B vale 4
1
e y lo alcanza en los puntos

















4
2
,
2
2
4
2
,
2
2
y
IMPORTANTE: no debemos olvidar que el sistema tiene tres incógnitas: x, y y  . Al resolver el
sistema debemos hallar ternas ),,( yx que verifiquen TODAS las ecuaciones. En este ejercicio, si
despejamos  de la primer ecuación tenemos
y
ex yx
8


 y reemplazamos con los valores
obtenidos para x e y anteriormente llegamos a las soluciones
),( yx 








4
2
,
2
2 4
1
4
1 
 e









4
2
,
2
2 4
1
4
1
e









4
2
,
2
2 4
1
4
1
e









4
2
,
2
2 4
1
4
1 
 e
En el contexto del problema nos interesan los puntos ),( yx por eso no hacemos énfasis en los
valores de  , pero no debe olvidarse que las ternas deben verificar el sistema.

6. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 6 de 12
Juntemos ahora ambas superficies en un mismo gráfico:
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
0
1
2
3
z
-1
-0.5
0
0.5
1
x
0
1
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0.5
1
1.5
2
-0.5
0
0.5
1
0.5
1
1.5
3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función
xyzzyxf ),,( sujeta a la restricción 632 222
 zyx
Llamemos ),,( zyxg 222
32 zyx 
El problema queda expresado por:
Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, el sistema que debemos resolver es
El ejercicio resuelto previamente
nos dio los extremos de la función
(hojuela) en el interior y la frontera
del cilindro elíptico.
Si graficamos ahora la
curva intersección del
cilindro y la superficie
junto con la superficie
veremos algo así:
El método de los
multiplicadores de
Lagrange nos dio los
extremos de la función
sobre dicha curva.
Maximizar / Minimizar ),,( zyxf
Sujeta a g(x, y, z) = 6

7. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 7 de 12





6),,(
),,(),,(
zyxg
zyxgzyxf 












)4(632
)3(6
)2(4
)1(2
222
ezyx
ezxy
eyxz
exyz



Caso 1: si suponemos que x, y y z son no nulas, podemos multiplicar la primera ecuación por x, la
segunda por y y la tercera por z obtenemos una relación entre los cuadrados de las variables:
222
2
2
2
32
6
4
2
zyx
zzxy
yyxz
xxyz












Reemplazando en la cuarta ecuación tenemos
 263 22
xx 2x 
3
2
,1  zy
Los puntos críticos son 8. Para evaluar la función en cada punto, es útil ver que el valor absoluto va a
ser el mismo para todos los puntos (porque se multiplican las coordenadas) y lo único distinto va a ser
el signo, de acuerdo a la cantidad de factores positivos o negativos. De esta manera tenemos que:
•  32,1,2f   32,1,2f   32,1,2f   32,1,2f
3
32
3
2

En todos estos puntos
6
3
32
1
2

x
zy

•   32,1,2f   32,1,2f   32,1,2f   32,1,2f
3
32
3
2

En estos otros cuatro puntos
6
3
32
1
2

x
zy

Caso 2: ¿Qué sucede si alguna de las variables es nula?
Supongamos que x = 0. El sistema quedaría:











)4(632
)3(60
)2(40
)1(0
22
ezy
ez
ey
eyz


De (e1) tenemos:
000  zyyz y no simultáneamente nulas pues sino no se verificaría (e4).
2,00  zy 
3,00  yz 
Obtenemos los puntos )0,3,0()2,0,0(  y
Razonando de manera similar con y = 0 o z = 0 se pueden obtener los puntos )0,0,6(

8. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 8 de 12
La función f evaluada en cada uno de estos puntos da 0.
Resumiendo todo lo razonado anteriormente:
• Valor máximo de f:
3
32
3
2
 =  32,1,2f   32,1,2f
=   32,1,2f  32,1,2 f
• Valor mínimo de f:
3
32
3
2
 =   32,1,2f   32,1,2f
=   32,1,2f  32,1,2 f
4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1222
 zyxyx y
122
 yx que están más próximos al origen.
Para resolver este problema no es necesario que busquemos la curva intersección de las superficies,
sino que podemos comprender que imponen dos restricciones al problema: que los puntos más
próximos al origen pertenezcan a las dos superficies.
Sean ),,( zyxg 222
zyxyx  y ),,( zyxh 22
yx 
La función a minimizar es la distancia al origen:
222
zyxd  , pero trabajaremos con el
cuadrado de la distancia por ser más sencillos los cálculos: ),,( zyxf 222
zyx 
Nuestro problema queda expresado:
Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange, teniendo ahora dos restricciones:








1),,(
1),,(
),,(),,(),,(
zyxh
zyxg
zyxhzyxgzyxf 
, R














1
1
100)1(0.)2(2
2)2(2
2)2(2
22
222
yx
zyxyx
zzzzzz
yxyy
xyxx



Minimizar ),,( zyxf
Sujeto a ),,( zyxg 1
),,( zyxh 1

9. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 9 de 12
1° CASO: 0z
Analizando las dos últimas ecuaciones del sistema, obtenemos 000  yxxy y no
simultáneamente nulas, pues sino no se verificaría la última ecuación.
10  yx , 1,0   (verificar)
10  xy , 1,0   (verificar)
Obtenemos los puntos   )0,1,0(0,0,1  y . Evaluando la función distancia tenemos:
1)0,1,0()0,0,1(  dd
2° CASO: 1
Reescribimos el sistema:





























1
1
)24(
)24(
1
1
0.)2(2
2)2(2
2)2(2
22
222
22
222
yx
zyxyx
zz
xy
yx
yx
zyxyx
zz
yxyy
xyxx





La expresión 024   pues en caso contrario, de la primer ecuación obtendríamos y=0 y de la
segunda x=0, pero esos valores no verifican la ultima ecuación del sistema.
Trabajemos con las dos primeras ecuaciones (y luego veremos si los resultados obtenidos verifican
las restantes ecuaciones):











1240)24(
)24(
)24(
)24(
2




xxx
yx
xy
yx
 
0y yx 
pues no verifica la última
ecuación del sistema
Reemplazando la igualdad obtenida en la última ecuación del sistema, obtenemos
2
1
 yx
Reemplazando estos valores en la ecuación 1222
 zyxyx , vemos que no existe solución
real para este caso:
•
2
1
1
2
1
2
1 22
 zzyx no tiene solución real.
• La misma situación se obtiene para
2
1
 yx
Conclusión: la mínima distancia vale 1 y se alcanza en los puntos   )0,1,0(0,0,1  y

10. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 10 de 12
5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un
punto de la elipse 44 22
 yx a la recta 4 yx
La función que vamos a maximizar y minimizar es la distancia de un punto de la elipse a la recta dada.
Recordando lo aprendido en Algebra I, si tenemos la recta dada en la forma 0 cbyax , la
distancia de un punto ),( oo yxP a la recta está dada por la expresión
2
2
ba
cbyax oo
d


 .
Sean
2
4
),(


yx
yxd , 22
4),( yxyxg 
Nuestro problema puede expresarse:
Como para aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange necesitamos las derivadas parciales
de f, nos será útil prescindir del valor absoluto, analizando el problema primero.
Resolveremos el problema
El sistema esta expresado por:












44
8
2
1
2
2
1
22
yx
y
x


De las dos primeras ecuaciones podemos deducir que 00,0  yyx
Maximizar / minimizar d(x,y)
Sujeta a g(x,y) = 1
Como se puede observar en el
gráfico, los puntos que estamos
buscando están ubicados en el
semiplano definido por
inecuación 04  yx .
Entonces podemos trabajar
con la función
2/)4(),(  yxyxf
en vez de la expresión de
d(x,y) con el valor absoluto.
Maximizar / minimizar
2
4
),(


yx
yxf
Sujeta a 44 22
 yx
mínima distancia
máxima distancia

11. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 11 de 12
Igualando las dos primeras ecuaciones obtenemos la relación yx 4 que junto con la tercer ecuación
nos da los valores
5
4
x









16
10
0,
16
10
0  daxdax
Los puntos encontrados son: 











5
1
,
5
4
5
1
,
5
4
y
Finalmente,
distancia mínima: 247,1
2
54
5
1
,
5
4








f
distancia máxima: 409.4
2
54
5
1
,
5
4








f
que corresponden a las longitudes de los segmentos perpendiculares a la recta de color rosa y azul
respectivamente.
6) Considerar la función 22
),( yxyxyxf  en el disco unitario  1/),( 22
 yxyxD .
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la
f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D
Para buscar los extremos en el interior del disco unitario, procedemos a resolver la ecuación
)0,0(),(  yxf para buscar los puntos críticos de la función, y nos quedaremos con aquellos que
estén dentro del círculo.
)0,0(),(
02
02
)0,0(),(
)2,2(),(








yx
yx
yx
yxf
yxyxyxf
Para saber si la función tiene un máximo, mínimo o punto silla en (0,0) evaluamos:
02)0,0(
03
21
12
)0,0()0,0(
)0,0()0,0(


xx
yyyx
xyxx
f
ff
ff
D
Más aún, 0)0,0( f
Busquemos los extremos en la circunferencia unitaria 122
 yx utilizamos el método de los
multiplicadores de Lagrange. Sea 22
),( yxyxg  . Debemos resolver el problema
El sistema que debemos resolver es
 f (0,0) es un mínimo relativo
Maximizar / Minimizar f ( x , y )
Sujeta a g ( x , y ) = 1

12. Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 12 de 12














)3(1
)2(22
)1(22
1),(
),(),(
22
eyx
eyyx
exyx
yxg
yxgyxf



Reescribiendo el sistema:








1
)1(2
)1(2)1(2
22
yx
xy
xyyx


Observemos que 1 pues sino de las dos primeras ecuaciones obtenemos x = 0, y = 0 y no se
verifica la tercer ecuación.
Reemplazando la expresión para y obtenida en la primer ecuación en la segunda tenemos:
    4
1222
)1(001)1(4)1(4)1()1(22   xxxxxx
Caso 1: 00  yx por la primer ecuación del sistema pero 10)0,0( g . Se descarta este
caso.
Caso 2: 2
3
2
1
4
12
)1(  
• 









122
2
1
yx
xy
yx

2
1
 yx
Obtenemos los puntos y






2
1
,
2
1







2
1
,
2
1
• 









122
2
3
yx
xy
yx

2
1
 yx
Obtenemos los puntos y





2
1
,
2
1







2
1
,
2
1
Resumamos todo el análisis en una tabla:
),( yx ),( yxf Conclusión
( 0,0 ) 0 Mínimo absoluto







2
1
,
2
1
½ Mínimo relativo







2
1
,
2
1
½ Mínimo relativo






2
1
,
2
1
3/2 Máximo absoluto







2
1
,
2
1
3/2 Máximo absoluto