Ecuaciones paramétricas, vectores en el espacio

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARCELONA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CATEDRA: MATEMÁTICAS III
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
INTEGRANTE:
JUAN CARLOS RENGEL
CI: 12.415.462
JUNIO, 2019

2. INTRODUCCIÓN
En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o
varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores
arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de una
variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable
dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un
parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
En el caso del uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables
(dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son
consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la
variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen
de la función cuando los restantes valores son sus parámetros indicados en
cualquier problema propuesto.

3. GENERALIDADES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

4. 2.- VECTORES. CAMPOS VECTORIALES

5. 3. OPERACIONES CON VECTORES
a) SUMA O ADICIÓN DE VECTORES.

6. EJEMPLO DE SUMA O ADICIÓN DE VECTORES

7. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES.

8. b) PRODUCTO ESCALAR

9. 4. COMPONENTES DE UN VECTOR

10. EJEMPLOS DE COMPONENTES RECTANGULARES

11. 5. PRODUCTO VECTORIAL

12. EJEMPLOS DE PRODUCTO VECTORIAL

13. ECUCACIONES PARAMÉTRICAS
FIGURA 11.1 La curva
o trayectoria trazada
por una partícula que
se mueve en el plano
xy no siempre
es la gráfica de una
función o de una sola
ecuación.

14. EJEMPLO 1 Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x = t2, y = t + 1, -q 6 t 6 q.
Solución
Elaboramos una pequeña tabla de valores (tabla 11.1), graficamos los
puntos (x, y) y trazamos una curva suave que pase por ellos (figura 11.2). A
cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva; por ejemplo, a
t = 1 le corresponde el punto (1, 2) registrado en la tabla 11.1. Si pensamos
que la curva es la trayectoria de una partícula en movimiento, entonces, la
partícula se desplaza a lo largo de la curva en la dirección de las flechas
que se muestran en la gura 11.2. Si bien los intervalos de tiempo son
iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva
no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que
la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de
la rama inferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de
alcanzar el eje y en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior.
Como el intervalo de valores para t está compuesto por números reales, no
existe un punto inicial ni uno final de la curva. n
GRÁFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

15. SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1

16. EJEMPLO 2 Grafique las curvas paramétricas
a) x = cos t, y = sen t, 0 … t … 2p.
b) x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p.
Solución
a) Puesto que x2 + y2 = cos2 t + sen2 t = 1, la curva paramétrica se
encuentra en la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1.
Conforme t aumenta de 0 a 2p, el punto
(x, y) = (cost,sen t) inicia su recorrido en (1, 0) y traza la circunferencia completa
una sola vez en sentido opuesto al de las manecillas del reloj (FIgura 11.3).
b) Para x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p, tenemos que x2 + y2 = a2 cos2 t
+ a2 sen2 t = a2.
La parametrización describe un movimiento que inicia en el punto (a, 0), recorre
una vez la circunferencia x2 + y2 = a2 en sentido opuesto al de las manecillas
del reloj y regresa a (a, 0) en t = 2p. La gráca es un círculo de radio r = a con
centro en el origen y cuyos puntos tienen coordenadas (a cos t, a sen t).
GRÁFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

17. FIGURA 11.3
Las ecuaciones
x = cos t y y = sen t
describen el movimiento
sobre la circunferencia
x2 + y2 = 1. La flecha
indica la dirección en la
que aumenta t
(ejemplo 3).
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 2

18. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES
PARAMÉTRICAS.
Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y
C no se corta a sí misma en el intervalo a ≤ t ≤ b
(excepto quizá en los puntos terminales), entonces la
longitud de arco de C en ese intervalo está dada
por:

19. Problema 1. Hallar la longitud de arco mediante las
ecuaciones paramétricas:
x= 5 cos t – cos 5t ; y = 5 sen t – sen 5t en (0, 2π)
Solución. Derivando la ecuación paramétrica “x”:
EJEMPLOS DE LONGITUD DE ARCO EN
ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

20. Derivando la ecuación paramétrica “y”:
EJEMPLOS DE LONGITUD DE ARCO EN
ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

21. Entonces los parámetros a utilizar en la
fórmula de la longitud de arco:
Sustituyendo

22. EJEMPLOS DE LONGITUD DE ARCO EN
ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

23. EJEMPLOS DE LONGITUD DE ARCO EN
ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
Donde “u” representa
“unidades”.

24. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD
DE ARCO DE LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS DADAS.

25. CONCLUSIÓN
Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas
vectoriales. En matemática se define vector como un elemento de
un espacio vectorial, es decir, de una manera un poco abstracta
por lo que no es posible para muchos espacios vectoriales
representar sus vectores mediante el módulo y dirección.
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar
una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante
valores que recorren un intervalo de números reales, mediante
una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada
de un punto como una función dependiente del parámetro.
Cuando se nos pida una ecuación paramétrica se nos esta
pidiendo una ecuación para X y una ecuación para Y si hablamos
de un plano bidimensional.

26. ANEXOS
video del artículo de superficies paramétricas que muestra cómo
cierta función transforma un cuadrado en un toro (forma de dona):

27. El siguiente video muestra cómo podría verse un espacio vectorial
de tres dimensiones de este tipo, con colores cercanos al rojo que
indican vectores más largos y colores cercanos al azul que indican
vectores más cortos.
ANEXOS