Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Informe matemática
1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Estado Lara
INFORME
Nombres y Apellidos: Joselyn Gabriela Hernández
Rojas
C.I:30173187
Trayecto inicial
Sección: PNFT0100
Unidad Curricular: Matemática
2. INDICE
Introducción………………………………………………………………1
Suma de expresiones algebraicas…………………………………..2,3
Resta de expresiones algebraicas…………………………………...4
Valor numérico de una expresión algebraica…………………………5
Multiplicación algebraica................................................................................6
Productos notables y factorización.....................................................7
Simplificación de fracciones algebraicas……………………………….8
Suma y resta de fracciones algebraicas………………………………………………… 9
Multiplicación y división de fracciones algebraicas…………………..10
Factorización por el método Ruffini…………………………....11, 12,13
Radicales suma y resta………………………………………………….14
Multiplicación y división de radicales……………..…………………….15
Expresiones conjugadas….................................................................16
Ejercicios……………………………………17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24
Conclusión……………………………………………………………..…...25
Bibliografía…………………..………………………………………………26
3. INTRODUCCION
El presenté informe permite dar a conocer tanto en teoría como en práctica, el uso
de las expresiones algebraicas factorización y redacción. Encontrando
operaciones en letras, símbolos y números, los cuales se encuentran expresados
en:
-Sumas
-Restas
-Valor numérico
-Multiplicación
-Producción notable y factorización
-Simplificación de fracciones algebraicas
Así aprender a construir expresiones algebraicas lo que permitirá resolver
problemas
4. SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas son aquellas expresiones donde encontramos
variables denotados generalmente por letras, esto es, la parte literal, como
también coeficientes números, aunque también pueden representarse por letras, y
una serie de operaciones matemáticas combinadas como la suma, resta,
multiplicación división, potenciación y radicación donde se incluyen también signos
de agrupación. Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos
cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo termino,
si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja
expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos. Generalmente en
álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele
usar signos agrupación y es cierto que el operador suma (+) acompañada de los
signos de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará
que es una pérdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa
cambia cuando tratemos con el operador diferencia (-)
Cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de
agrupación y el operador suma (+), los signos de agrupación se pueden ignorar
sin afectar los signos operacionales de cada termino del polinomio encerrado entre
los signos de agrupación.
Ejemplos:
Sea la expresión a + (b - c + d) se eliminas los signos de expresion
=
a + b - c + d los signos de cada termino de mantienen
Si en este caso eliminamos el valor de α, los signos de cada termino quedan
inalterables al retirar los paréntesis esto es:
+ (b – c + d) = + b – c + d
Esto es, la suma de 2α y -5b es 2α – 5b, significa que el signo suma (+) no afecta
el signo -5b, naturalmente la suma entre 2α y -5b es:
2α – 5b
5. Si en una suma algebraica encontramos términos semejantes, lo único que se
suma son los coeficientes, dando como resultado una expresión algebraica con el
mismo término semejante y el nuevo coeficiente que resulta de la suma de los
términos semejantes iniciales. Esto es, si sumamos: ( )
Si sumamos y resulta: ( ) + ( ) ( )
No siempre se pueden sumar dos términos no semejantes, por lo general, se deja
la explicita la expresión, por ejemplo, si queremos sumar los
términos y , simplemente se expresa así:
Si sumamos ( ) +( ) ( )
6. RESTA ALGEBRAICA
Restar números naturales es fácil, siempre y cuando el minuendo sea mayor que
el sustraendo, el resultado disminuía, pero desde que se introdujo los números
enteros, esto es, se añadió a la recta de los números naturales los números
enteros, existían casos donde la diferencia de dos números enteros aumentaba,
cosa contraria con la resta de números naturales.
De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica,
debemos tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único
termino semejante, para dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual
es. Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de los términos
entre paréntesis, la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos
operacionales de cada termino luego de eliminar los paréntesis,
Ejemplo:
a – (b – c + d) si eliminamos los signos de agrupación.
=
a – b + c – d los signos de cada termino cambian.
Este resultado es independiente de la variable α, podríamos escribirlo de la misma
manera y el resultado sería el mismo así: (b – c + d) = b + c d.
Ejemplos con monomios:
(4α) ( - 2α) ( -3b) ( -5b) (2c) (-c) .
Eliminando los paréntesis resulta:
4α +2α +3b +5b 2c c
Reduciendo términos semejantes:
6α +8b 3c
Ejemplos con polinomios:
(8m + 6n) (2m - 5n) (-p).
Eliminando paréntesis se cambian los signos de 2m 5nα 2m +5ny p a p
8m +6n 2m +p
6m +11n +p
7. VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA
Calcular el valor numérico de una expresión algebraica es obtener la cifra que
resultaría después de realizar todas las operaciones indicadas en la expresión
cuando damos un valor a la variable o variables. Cuando queremos realizar el
cálculo del valor numérico de una expresión algebraica debemos realizar las
operaciones en un orden específico pues de no ser así, incluso con el uso de una
calculadora, podríamos obtener resultados erróneos. En el caso de un monomio,
se resuelve primero el exponente, después el producto entre la potencia obtenida
y el coeficiente.
Ejemplo:
1. Calcular el valor numérico del monomio para x = 5
En este monomio el coeficiente es 7 y la variable tiene como exponente 3,
resolvemos primero el exponente
( )
Ahora que tenemos el valor de , lo multiplicamos por el coeficiente:
( )
El valor numérico del monomio para x = 5 es 189 .
2. Calcular el valor numérico del monomio para
En este caso tenemos en el monomio dos variables, por ellos para calcular el valor
numérico debemos conocer el valor de ambos
Procedemos a calcular el valor de las potencias:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Cuando el valor de la variable es negativo y debemos elevarlo a un exponente
es necesario aplicar ley de signos, para ello se analiza si el exponente es par o
impar. Cuando el exponente es par la potencia que se obtiene es positiva, cuando
es impar la potencia es negativa. En este caso específico el valor de la variable
“y” es negativo (– 4), y su exponente es impar (3), por ello el valor que se obtuvo
es negativo. Después de calcular el valor de las potencias completamos el
proceso multiplicando por el coeficiente (12).
( ) ( ) ( ) ( )
El valor numérico del monomio para es:
8. MULTIPLICACION ALGEBRAICA
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en
otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicanda y
multiplicador. Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las
propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente estudiadas. Por tratarse de
multiplicación entre polinomios, usaremos las 3 principales leyes de la
potenciación para la multiplicación y son:
Multiplicación de potencias de bases iguales:
Potencia de un producto: ( )
Potencia de potencia: ( )
Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente en la
multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice
que:
La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa
Multiplicación de signos iguales: (+) (+)= + (-) (-)= +
Multiplicación de signos diferentes: (-) (+)= (+) (+)=
Por ejemplo, si queremos multiplicar los números 3 y 2, debe entenderse
que el signo del número 3 =+ 3 es positivo, es decir, se sobre entiende, realizando
la multiplicación:
(+2)(-3)=-6
Se multiplica los signos (+) (-) = - según la tabla elaborada y luego los números 2
x3=6, tenemos como resultado el numero -6
Si tenemos un número par de factores a multiplicar de números con signos
negativos, el producto será positivo:
()()()…() = +
()()()…() =
9. PRODUCTO NOTABLES Y FACTORIRAZION
En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar
una multiplicación. Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o
destaca entre un grupo de cosas.
Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales
entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás
multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es
que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante
una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación
paso a paso.
Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de
factorización, por lo que su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de
diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas
complejas.
Veamos un ejemplo:
( ) ( )( )
Demostración:
( )( ) ( ) ( )
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica:
Obtenida del producto entre: ( )( )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x) (x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)
x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2) (7) = 14
Así, tenemos: x2
+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7)
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2
+ (a + b) x + ab debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
10. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar fracciones algebraicas, se factorizan numerador y denominador y
se simplifican los factores comunes. La fracción algebraica así obtenida es
equivalente a la de partida. Si dividimos numerador y denominador por su máximo
común divisor se obtiene una fracción algebraica irreducible.
Lo primero es hallar un factor común en el numerador o en la parte superior de la
fracción, simplificar cada parte de la fracción. Comienza desde arriba y factoriza
tantos números como puedas. Como ejemplo, esta ecuación:
9x-315x+6
En el numerador 9x-3 hay un factor común que es el 3, así que factorizarlo todo lo
que puedas, lo que da como resultado 3 (3x-1). En cuanto al denominador, halla
un factor común siguiendo el mismo ejemplo. Quedaría así:
3(3x-1)
3(5x+2)
Para poder simplificar la fracción algebraica en este punto, elimina los términos
que están en el numerado y en el denominador, en este caso el 3:
3(3x-1) → (3x-1)3(5x+2) → (5x+2)
Hay veces en las que no será posible simplificar por completo una ecuación, que
será cuando ya no hay factores comunes ni en la parte superior ni en la inferior. El
ejemplo es uno de estos casos, que quedaría resuelto con esta respuesta:
(3x-1)
(5x+2)
11. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEABRICAS
El procedimiento es el mismo que para sumar o restar fracciones numéricas, es
decir, necesitamos tener el mismo denominador para sumar y restar fracciones y
cuando no lo tenemos, tenemos que reducir las fracciones a denominador común,
con la diferencia de que con las fracciones algebraicas, en vez de números,
trabajamos con polinomios.
Vamos a verlo paso a paso.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Empezamos con la suma y resta de fracciones algebraicas que tienen el mismo
denominador, como por ejemplo esta:
En este caso, se mantiene el denominador y se opera con los numeradores.
Podemos dejar una sola fracción con el denominador común y con los términos de
ambos numeradores: = =
Y después agrupar términos semejantes en el numerador:
Sumar y restar fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador es así de
sencillo. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado en la resta de fracciones
algebraicas, ya que el signo menos, afecta a todos los términos del numerador de
la fracción que tenga detrás.
Ejemplo con resta de fracciones algebraicas:
Tenemos el mismo denominador y por tanto, podemos unir todos los numeradores
en uno sólo. Pero ahora, delante de la última fracción tenemos un signo menos y
como te comentaba antes, afecta a los dos términos del numerador de la fracción
que tiene detrás. Por tanto, para que siga siendo así, los términos afectados por el
signo menos deben ir encerrados entre paréntesis: =
( )
=
En el siguiente paso, eliminamos el paréntesis, cambiando de signo a los términos
que tiene dentro:
Y por último, agrupamos términos semejantes en el numerador:
12. MULTIPLICACION Y DIVISON DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones algebraicas se multiplican igual que las fracciones numéricas, es
decir, se multiplican en línea: numerador por numerador y denominador por
denominador, solo que en este caso, en vez de números tenemos polinomios
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Hay que tener en cuenta también otra pequeña diferencia. En la multiplicación de
fracciones numéricas, se multiplican los números en línea y al final se simplifica la
fracción. Con fracciones algebraicas, podemos hacerlo igual, pero las operaciones
se complicarían demasiado.
Así que, lo que lo que se recomienda es que antes de multiplicar se
descompongan los polinomios y eliminemos los factores que se repitan en el
numerador y el denominador, es decir, que simplifiquemos antes de multiplicar.
Una vez hemos eliminado todos los factores repetidos, ya podemos multiplicar
tanto en el numerador como en el denominador, para mostrarlo en el resultado. Es
decir, multiplicamos al final.
Tenemos la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas: =
Al ser una multiplicación de fracciones, multiplicamos en línea:
( ) ( )
( ) ( )
Antes de multiplicar, vamos a descomponer los polinomios que se puedan
descomponer. Empezamos por el polinomio correspondiente al numerador de la
primera fracción: ( ) ( ) ( )
Descomponemos también el polinomio del denominador de la primera
fracción: ( ) >los otro dos polinomios n se pueden descomponer
al ser ya de grado 1. <
Sustituimos los polinomios por sus correspondientes descomposiciones:
( ) ( ) (
( ) ( )
Ahora simplificamos la fracción algebraica, eliminando los factores que se repiten
en el numerador y en el denominador y el resultado es: ( )
13. FACTORIZACION POR EL METODO RUFFINI
Una vez que hemos definido la división entre polinomios, si consideramos
particularmente un polinomio ( ) de grado n y un polinomio ( ) ( ) de
grado uno, presentaremos un método alternativo para podemos calcular la división
entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma
( )
( )
utilizando un
método alternativo conocido como el método Ruffini. El método Ruffini se utiliza
para.
Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor
Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-α
Factorizar polinomios de tercer grado o mayor
Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3
Veamos un ejemplo:
Dividir: ( )
1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que
faltan con ceros. ( )
2. Colócanos los coeficientes del dividendo en una línea
1 0 -3 0 2
3.Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del termino independiente del divisor
3(3)=3
1 0 -3 0 2
4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1)
1 0 -3 0 2
5. Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (3) y lo colocamos debajo del
siguiente término (0).
1
14. 1 0 -3 0 2
3 3
1
6. Sumamos los dos coeficientes. (0 +3)
1 0 -3 0 2
3 3
1 3
7. Repetimos el proceso anterior 3.3=9 et -3+9=6
1 0 -3 0 2
3 3 9
1 3 6
Volvemos a repetir el proceso 3. 6 et 0 + 18 =18
1 0 -3 0 2
3 3 9 18
1 3 6 18
Volvemos a repetir 3.18=54 et 2+54=56.
1 0 -3 0 2
3 3 9 18 54
15. 1 3 6 18 56
8El último número obtenido, 56, es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
Cociente:
Resto: 56
16. RADICALES SUMA Y RESTA
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados
dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que,
elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en
hallar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b,
que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2
= a.
Cuando se habla de sumar y restar radicales, realmente se trata de sumar o restar
términos con raíces. Para realizar sumar y restar radicales semejantes, lo que
hacemos es mantener el radical semejante y sumar y restar
los coeficientes (número que está multiplicando a la raíz).
Por ejemplo, vamos a sumar los tres radicales semejantes del apartado anterior:
√ √ √
En primer lugar comprobamos si los radicales son semejantes y vemos que sí,
porque tienen todos el mismo índice y el mismo radicando. Aunque esta vez, ya
sabíamos que eran semejantes. Lo que se suma y resta son los coeficientes de
cada uno de los términos y se mantiene el radical semejante:
√ √
17. MULTIPLICACION Y DIVISION DE RADICALES
Después de ver cómo sumar y restar radicales ahora será multiplicación y división
de radicales Para multiplicar radicales con el mismo índice hay que aplicar la
primera propiedad de las raíces:
√ √ √
Vamos a verlo mejor con un ejemplo:
Tenemos una multiplicación de dos raíces. Pues en primer lugar, las unimos en un
único radical aplicando la primera propiedad:
Ya hemos multiplicado las dos raíces. A partir de aquí tenemos que operar para
simplificar el resultado. Para ello, multiplicamos las potencias dentro del radical
sumando los exponentes:
Y finalmente, extraemos factores fuera de la raíz:
El cociente de radicales con el mismo índice se resolvería de forma similar,
aplicando la segunda propiedad de las raíces
18. EXPRESIONES CONJUGADAS
La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite
extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un
monomio o un binomio.
La conjugada de una expresión radical monomica es un radical con el mismo
índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera que los
exponentes d estos factores son:
La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de ser este último
mayor, o la diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al
exponente del factor y este último, en caso de ser el índice menor.
Veamos un ejemplo:
Halar la conjugada de: √
Observa que en la expresión √ los exponentes de ´´x´´ y´´ y ‘son 3 y 2
respectivamente y en la conjugada se eligen como exponente de x y y a 1 y 2
respectivamente, es decir el exponente de x es igual a 4 – 3 =1 y el exponente de
y es igual a 4 – 2=2
Luego la conjugada de √ es √ , ya que al multiplicar las dos expresiones
se eliminan de raíz
√ . √ Multiplicación de radicales
La expresión conjugada de √ es √
27. CONCLUSION
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras, números y signos de
operaciones. Este nos permiten traducir el lenguaje matemático, expresiones del
lenguaje habitúa.
Se pueden realizar mediante:
Sumas: en donde dos términos semejantes se pueden reducir a uno, si son
diferentes quedan igual. Realizar sumas entre polinomios, los signos de
agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos de operaciones, lo que no
ocurre con la resta ya que inmediatamente al quitar los signos de agrupación ellos
cambian, por ejemplo si están en suma pasará a resta y viceversa
En las expresiones algebraicas nos piden calcular el valor numérico que no es
más que la cifra obtenida al finalizar la operación. Realizándola operación en
orden especifico.
Para la multiplicación se utiliza las propiedades de teoría de exponentes por
tratarse de multiplicación de polinomios, se multiplica numerador por numerador y
denominador por denominador. Una vez obtenido el conocimiento de las
operaciones podemos usar el método de Ruffini como alternativa para calcular la
división entre 2 polinomios.
En las expresiones algebraicas encontramos la suma, resta., multiplicación y
división de raíces, la cual es la operación inversa de la potenciación, en el vual se
debe hallar la raíz. Por ultimo las expresiones conjugadas las cuales tienen las
mismas expresiones pero diferentes signos medios.
La habilidad para manipular las expresiones algebraicas es un requisito para
progresar satisfactoriamente en su aplicación y solo se puede adquirir por medio
de la práctica
28. BIBLIOGRAFIAS
Suma de expresiones algebraicas: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-algebraica/
Resta de expresiones algebraicas: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/resta-algebraica/
Valor numérico de una expresión algebraica: https://www.soydeciencias.com/wp-
content/uploads/2017/02/Valor-Numerico-de-Expresiones-Algebraicas.pdf
Multiplicación algebraica: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion-
algebraica/
Productos notables y factorización:
http://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Licenciatura/TallerMate_UAM_CUAJIM
ALPA//scorm_player/1192/content/index.html
https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/productos-
notables-1
Simplificación de fracciones algebraicas: https://okdiario.com/howto/como-
simplificar-fracciones-algebraicas-paso-paso-2079709
Suma y resta de fracciones algebraicas: https://ekuatio.com/suma-y-resta-de-
fracciones-algebraicas-ejercicios-resueltos/
Multiplicación y división de fracciones algebraicas: https://ekuatio.com/como-
multiplicar-y-dividir-radicales-paso-a-paso-ejercicios-resueltos/
Factorización por el método Ruffini: https://totumat.com/2019/11/16/el-metodo-de-
ruffini/ https://ekuatio.com/la-regla-de-ruffini/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ruffini.ht
ml
Radicación suma y resta:
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/radicacion.html
https://ekuatio.com/sumar-y-restar-radicales/
Multiplicación y división de radicales: https://ekuatio.com/como-multiplicar-y-dividir-
radicales-paso-a-paso-ejercicios-resueltos/
