-En la siguiente apreciaremos todo lo referente al álgebra vectorial y como este a su vez nos ayuda a introducirnos en el mundo de las ecuaciones metrificaras

2. Es una parte de las matemáticas que estudia vectores, matrices, ecuaciones lineales y espacios
vectoriales. Dichos estudios y practicas son de gran utilidad en arreas de calculo como por ejemplo la
ingeniería
El algebra vectorial nos permite saber cosas muy útiles como la proyección de un vector o las
operaciones con vectores, las cuales son de gran utilidad no solo para resolver problemas
matemáticos, si no también para resolver problemas físicos

3. El algebra vectorial se origino a partir de los estudios de las dimensiones i, j y k (x, y, z) del plano
cartesiano, y mas que todo de la geometría cartesiana en general
A partir de dichos estudios se elaboraron 3 fundamentos del algebra de vectores:
-1 Geometría: esto se debe a que Los vectores son representados por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas
a través de métodos geométricos.
-2 Analítica: descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados
componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se
utiliza un sistema de coordenadas.
-3Axiomática: se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica. El estudio de figuras en el espacio
se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más
dimensiones.

4. Es un punto físico que utilizamos para hacer referencia a un punto que describe la ubicación y
movimiento que mantiene un cuerpo. Este se plasma a través de un conjunto de coordenadas, las
cuales son generalmente cartesianas pero que también pueden ser coordenadas polares
Sistema
unidimensional
Sistema
bidimensional
Sistema
Tridimensional
Sistema
Polar

5. Es la medida que tiene un vector en el espacio que se mide a través de valores numéricos, a veces se
hace falta describir algunas magnitudes sin que sean numéricas por esto existen dos formas de expresar
las magnitudes
• Magnitud escalar: Son aquellas cantidades que se
definen y representan de forma numérica; es decir, por
un módulo junto con una unidad de medida
Magnitud vectorial: Son aquellas
cantidades que son definidas y
representadas por un módulo
junto con una unidad, así como
también por un sentido y dirección

6. Los Vectores son segmentos de recta en el espacio que parten desde un punto a otro, estos
mantienen dirección y sentido. Se utilizan para representar magnitudes vectoriales.
Partes de un Vector
- Modulo: Distancia existente entre el origen y el final
- Dirección: Angulo que mantiene
- el vector el cual indica hacia
- donde va direccionado
- Sentido: Punta de la flecha que indica hacia
- donde se mueve el vector

7. Según las propiedades vectoriales los vectores se dividen de la siguiente manera:
Vectores equipolentes: vectores libres que
tienen igual módulo, dirección y sentido que un
vector deslizante o un vector fijo.
Vectores equivalentes: Ocurre cuando dos vectores tienen
la misma dirección (o son paralelas), el mismo sentido, y a
pesar de tener diferentes módulos y puntos de aplicación,
estos provocan efectos iguales.
Vectores opuesto: Son aquellos que tienen el
mismo módulo y dirección, pero su sentido es
opuesto
Igualdad de vectores: tienen igual módulo, dirección y
sentido, aun cuando sus puntos de partida son
diferentes, lo que permite que un vector paralelo se
traslade a sí mismo sin afectarlo.
Vector unitario: Es aquel en el que el módulo es igual a
la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por su
módulo y es utilizado para determinar la dirección y
sentido de un vector, bien sea en el plano o en el
espacio, utilizando los vectores base o unitarios
normalizados.
• Vectores nulos: Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es decir, su
punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto..

8. Suma y Resta de Vectores: para sumar o restar elementos vectoriales solo hay que realizar las
operaciones entre los elementos correspondientes,
𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2)
𝑢 − 𝑣 = (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2)
Producto escalar
Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), el producto
escalar (denominado también producto punto o producto
interno) de dos vectores se define como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
Ahora, otra forma de expresar el producto escalar es:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ es el
ángulo entre ambos vectores. El producto escalar de dos
vectores da como resultado un número real.
Producto vectorial
Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), , el producto
vectorial (denominado también producto cruz) de
dos vectores se define como:
A × B = (AyBz – AzBy) î + (AxBz – AzBx) ĵ + (AxBy
– AyBx) k
Ahora, si multiplicamos las magnitudes de A y B y
las multiplicamos por el seno del ángulo que
forman ambos vectores (< 180 ⁰), la magnitud del
producto vectorial es:
A × B = |A| |B| sinθ
Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ es el
ángulo entre ambos vectores. La dirección del
vector del producto vectorial se determina por la
regla de la mano derecha.

9. son aquellas que nos permiten expresar una curva o superficie en el espacio, a través de valores que
corren sobre un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

10. Las ecuaciones paramétricas se grafican en el sistema de coordenadas polares y se ven
representadas gráficamente de la siguiente manera
• Circunferencia: Sea la circunferencia de centro en O y
radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y
Θ=ángXOM.
• Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la
circunferencia: 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
Cicloide:Es la curvatura descrita por un punto fijo de una
circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una
recta fija. Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la
cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y
sea M el punto fijo que describe la curva.
𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 −
𝑟 cos 𝜃 ; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃); 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ; que
son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

11. El primer paso para realizar el cambio del sistema polar al rectangular es despejar de cualquiera de
las ecuaciones paramétricas la variable t, luego de eso procedemos a sustituirla en la otra ecuación
paramétrica
𝑥 = −2 + 𝑡
𝑦 = 5 + 7𝑡
t = x + 2
𝑦 = 5 + 7(x + 2)
𝑦 = 5 + 7x + 14)

12. Si queremos expresar la longitud de un arco en ecuaciones
paramétricas debemos seguir la siguiente formula
Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
(excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada
por:
𝑠 =
𝑎
𝑏
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 2 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)2 𝑑𝑡
Los elementos de la formula se derivan dando como resultado:
𝑠 =
𝑎
𝑏
[𝑓′ 𝑡 ]2+[𝑔′ 𝑡 ]2 𝑑𝑡
Esto se resuelve y el resultado obtenido será la longitud del arco en cuestión.