Técnicas de Conteo:

TÉCNICAS DE CONTEO
Son herramientas que utiliza la probabilidad y estadística para enumerar
eventos difíciles de cuantificar. Entre ellas tenemos:
1. Diagrama de árbol.
2. Principio multiplicativo.
3. Permutaciones.
4. Combinaciones.

1. Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento
que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo. El diagrama de árbol consta de
una raíz y seguidamente ramificaciones.
Entonces para realizar un diagrama de árbol ubicamos el primer evento
en la raíz y seguidamente los eventos restantes se ubican en ramas de
acuerdo a la secuencia en que se van dando.

Susana almuerza en el restaurante de su trabajo, y en su menú
tiene, tres variedades de entradas, dos variedades de jugos y 4
variedades de postre. ¿Cuántos menús distintos puede
escoger Susana?

EL MISTERIOSO JARRÓN MULTIPLICADOR
Masaichiro y Mitsumasa Anno
Esta es la historia de un jarrón y de lo que el él había.
En el jarrón había agua, y parecía como si soplara un viento
ligero en su interior, porque el agua formaba un ojalete.
El ojalete se convirtió en un mar ancho y profundo.
En el mar había 1 isla.
En la isla había 2 países.
En cada país había 3 montañas.
Sobre cada montaña había 4 reinos amurallados.
Dentro de cada reino amurallado había 5 aldeas.
En cada aldea había 6 casas.
En cada casa había 7 habitaciones.
En cada habitación había 8 armarios.
Dentro de cada armario había 9 cajas.
Dentro de cada caja había 10 jarrones.
Entonces, ¿cuantos jarrones había en todas las cajas?

EL MISTERIOSO JARRÓN MULTIPLICADOR
Masaichiro y Mitsumasa Anno
Esta es la historia de un jarrón y de lo que el él había.
En el jarrón había agua, y parecía como si soplara un viento
ligero en su interior, porque el agua formaba un ojalete.
El ojalete se convirtió en un mar ancho y profundo.
En el mar había 1 isla.
En la isla había 2 países.
En cada país había 3 montañas.
Sobre cada montaña había 4 reinos amurallados.
Dentro de cada reino amurallado había 5 aldeas.
En cada aldea había 6 casas.
En cada casa había 7 habitaciones.
En cada habitación había 8 armarios.
Dentro de cada armario había 9 cajas.
Dentro de cada caja había 10 jarrones.
Entonces, ¿cuantos jarrones había en todas las cajas?
La respuesta es sorprendente. Había 10! Jarrones.
Pero, ¡cuidado!, 10! No significa solamente 10 jarrones.
10! = 3.628.800

2. Principio multiplicativo
Si un procedimiento puede realizarse de n formas distintas y por cada
una de estas, un segundo procedimiento puede llevarse a cabo de m
formas distintas, entonces los dos procedimientos pueden realizarse
juntos de m por n formas distintas.
𝑃 = 𝑛 𝑥 𝑚

Juan está invitado a un almuerzo y se quiere vestir muy bien
con parte de su ropa favorita, por lo que debe seleccionar entre
3 camisetas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas distintas
puede combinar estas partes de su vestimenta?
El primer procedimiento es seleccionar la camiseta que vestirá;
lo puede hacer de 3 formas.
n = 3
El segundo procedimiento es seleccionar el pantalón que
vestirá; lo puede hacer de 4 formas.
m = 4

Juan está invitado a un almuerzo y se quiere vestir muy bien
con parte de su ropa favorita, por lo que debe seleccionar entre
3 camisetas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas puede
combinar estas partes de su vestimenta?
n = 3
m = 4
Como escribimos en la teoría anterior 𝑃 = 𝑛 × 𝑚 entonces:
𝑃 = 3 × 4= 12
de forma tal que puede combinar de 12 formas diferentes.
Comprueba este resultado con el diagrama de árbol.

Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
1. Si se lanzan al aire tres monedas. ¿Cuántos resultados posibles se pueden
obtener? Construir el diagrama de árbol.
2. Patricia es invitada a un recital de su artista favorito, por lo que debe
seleccionar la ropa que vestirá entre: cinco chalecos, tres jeans y dos
chaquetas, el calzado lo elegirá entre un par de zapatillas o un par de botines.
¿De cuántas formas puede seleccionar las prendas de ropa que usará?
3. ¿Cuántas placas patentes de automóvil se pueden hacer utilizando cuatro
letras diferentes seguidas de dos dígitos diferentes? No se admiten
repeticiones. (Se disponen de 26 letras).

Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de técnicas de
conteo.
https://www.youtube.com/watch?v=ldHOZmXu_do
https://www.youtube.com/watch?v=RYIkOTJ2c2w
https://www.youtube.com/watch?v=_3aOsueffUw

3. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
Las permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n
elementos (de orden n) son los diferentes grupos de n elementos
distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian
únicamente en el orden de colocación, es decir, importa el orden de la
posición de los elementos. Se representa por 𝑃𝑛
Las permutaciones sin repetición, pueden ser de dos tipos,
Permutaciones sin repetición que toman todos los elementos, o
Permutaciones sin repetición que no toman todos los elementos.

3.1. Permutaciones sin repetición que toman todos los elementos
Como su nombre lo indica, son ordenamientos que se nos piden
hacer considerando la totalidad de elementos. Este tipo de
permutaciones usa la formula.
𝑃𝑛 = 𝑛!
Donde n representa el número de elementos a permutar. Y el
símbolo ! representa la operación factorial.

Se recomienda para cada uno de los enunciados responder
estas preguntas:
1. ¿influye el orden de los elementos?
2. ¿se pueden repetir elementos?
3. ¿se toman todos los elementos?
En caso de que la respuesta a estas preguntas sean:
1. Sí
2. No
3. Sí
La permutación será sin repetición que toman todos los
elementos.

Con las letras de la palabra DISCO ¿Cuántas palabras de 5
letras se pueden formar, sin que se repitan letras?
Debemos contestar las siguientes preguntar para verificar si utilizamos la
ecuación de Permutaciones sin repetición que toman todos los elementos
Sí
No
Sí
Al tener estas respuestas, sabemos que podemos utilizar la ecuación:
𝑃𝑛 = 𝑛!
Identificamos quien es n, en este caso n = 5 porque la palabra DISCO
tiene 5 letras. Así que reemplazamos en la ecuación
𝑃5 = 5!
𝑃5 = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
𝑃5 = 120
Con la palabra DISCO se pueden conformar 120 diferentes palabras o
permutaciones sin repetición.

Cuántas diferentes Permutaciones de cuatro elementos. Se
pueden realizar con los números del 1 al 4 𝐴 = 1, 2, 3, 4
Debemos contestar las siguientes preguntar para verificar si utilizamos la
ecuación de Permutaciones sin repetición que toman todos los elementos
Sí
No
Sí
𝑃𝑛 = 𝑛!
Identificamos quien es n, en este caso n = 4 porque hay 4 números.
Así que reemplazamos en la ecuación
𝑃4 = 4!
𝑃4 = 4𝑥3𝑥2𝑥1
𝑃4 = 24
Con estos números se pueden conformar 24 permutaciones sin
repetición.

3. 2. Permutaciones sin Repetición No se Toman Todos Los Elementos
Este tipo de permutaciones, solo se pide conformar permutaciones
tomando una cierta cantidad del total de los elementos a permutar.
La fórmula que se usa para este tipo de permutaciones es:
𝑃𝑛,𝑟 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Donde n representa el número de total elementos, r representa el
número de elementos que se pueden tomar y ! representa la
operación factorial.

Se recomienda para cada uno de los enunciados responder estas
preguntas:
1. Sí
2. No
3. No
La permutación será sin repetición que no se toman todos los
elementos.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 4 premios diferentes
entre un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona
no puede obtener más de un premio?
Debemos contestar las siguientes preguntar para verificar si utilizamos la ecuación
de Permutaciones sin repetición que no se toman todos los elementos
Sí
No
No
𝑃𝑛,𝑟 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Identificamos quien es n, en este caso n = 10 y r = 4. Así que
reemplazamos en la ecuación
𝑃10,4 =
10!
10 − 4 !

𝑃10,4 =
10!
10 − 4 !
𝑃10,4 =
10!
6!
𝑃10,4 =
10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 7𝑥 6!
6!
𝑃10,4 = 10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 7
𝑃10,4 = 5040
Se pueden repartir los 4 premios entre las 10 personas de 5040
maneras diferentes.

Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
1. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos del
1 al 9?
2. En una heladería hay cinco clases diferentes de helados. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden elegir 3 helados?
3. Se tienen 6 frascos con diferentes semillas, ¿de cuántas maneras
diferentes se pueden ordenar en un restante?

ejemplos y explicación acerca de
permutaciones sin repeticiones.
https://www.youtube.com/watch?v=MUu6lZPaBNA
https://www.youtube.com/watch?v=qnZoLWAdIYU
https://www.youtube.com/watch?v=n3zyc3Zmdck

4. COMBINACIONES
Se llama combinación de n elementos sobre r elementos al número de
grupos de r elementos que se pueden hacer con n elementos diferentes.
En este caso no interesa el orden de la posición de los elementos.
En las combinaciones existen dos formas, las combinaciones sin
repeticiones y las combinaciones con repeticiones, en lo concerniente a
nuestro tema de estudio, nos centraremos en las primeras.

4.1. Combinaciones sin Repetición.
Como ya se mencione, las combinaciones son usadas para los
elementos donde no nos interesa el orden, como por ejemplo las
ensaladas de verduras o ensaladas de frutas, no interesa el orden de
sus ingredientes para conformar la receta.
Para encontrar dichas combinaciones usamos la siguiente fórmula:
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
En dicha formula, n representa el número total de elementos a
combinar y r representa el número de grupos o el número de
elementos que se tomarán para la combinación.

Se recomienda para cada uno de los enunciados responder estas
preguntas:
1. No
2. No
3. No
Esta será una combinación sin repetición.

¿Cuántos grupos de 3 letras podemos formar con las 5 vocales,
teniendo en cuenta que ninguna letra se puede repetir?
Debemos contestar las siguientes preguntar para verificar si utilizamos la ecuación
de Combinación sin repetición
No
No
No
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
Identificamos quien es n, en este caso n = 5 y r = 3. Así que
reemplazamos en la ecuación
5𝐶3 =
5!
3! 5 − 3 !

5𝐶3 =
5!
3! 5 − 3 !
5𝐶3 =
5!
3! 2!
5𝐶3 =
5 𝑥 4 𝑥 3!
3! 2!
5𝐶3 =
5 𝑥 4
2 𝑥 1
5𝐶3 =
20
2
5𝐶3 = 10
Se pueden formar con las 3 letras y las 5 vocales 10 grupos.

ejemplos y explicación acerca de
combinaciones sin repeticiones.
https://www.youtube.com/watch?v=xpMpKkYH7G8
https://www.youtube.com/watch?v=jSe3ZPdXrns
https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM

Solución de ejercicios # 1
1. 8.
2. 60.
3. 32.292.000

Solución de ejercicios # 2
1. 3024.
2. 60.
3. 720

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