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La matematica 1 , Con el cálculo diferencial para generar impacto en los temas introductorios al cálculo integral, mediante esta presentación observaremos gráficos, notaciones, simbología y explicación demostrativa de temas básicos para ciencias e ingeniería o todo aquello que guste conocer el maravilloso mundo del cálculo diferencial e integral

La matematica 1 , Con el cálculo diferencial para generar impacto en los temas introductorios al cálculo integral, mediante esta presentación observaremos gráficos, notaciones, simbología y explicación demostrativa de temas básicos para ciencias e ingeniería o todo aquello que guste conocer el maravilloso mundo del cálculo diferencial e integral

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  1. 1. Continuidad X Y a b 𝑓 La función 𝒇 es continua en [a ; b] X Y a b 𝑓 X0 La función 𝒇 es discontinua en [a ; b]
  2. 2. Continuidad de una función en un punto Definición 1 Se dice que 𝒇 en una función continua en 𝒙𝟎 si y solo si. ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x   Definición 2 Se dice que 𝒇 en una función continua en X0 si y solo si, cumple las tres condiciones siguientes: está bien definida Existe ; es decir 1. es decir ) ( 0 x f ) ( lim 0 x f x x ) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x x x      ) ( ) ( 0 0 x f Lim x f x x  1) 2) 3) real número un es ) ( 0 x f ) ( lim ) ( lim ) ( 0 0 0 x f x f x f x x x x      
  3. 3. X Y a b 𝑓 X0 L X Y a b 𝑓 X0 L L1 X Y a b 𝑓 X0 L X Y a b 𝑓 X0 L L1 L2 f es continua en X0 f es discontinua en X0 f es discontinua en X0 f es discontinua en X0
  4. 4. Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable o removible Un punto X0 se dice que es de discontinuidad evitable si alguna de las condiciones se cumple : 1) y existe pero 2) y existe ) ( lim 0 x f x x ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x   f D x  0 f D x  0 ) ( lim 0 x f x x X Y 𝑓 X0 L X Y 𝑓 X0 L f(x0)
  5. 5. Discontinuidad no evitable o no removible Un punto X0 se dice que es de discontinuidad no evitable si alguna de las condiciones se cumple : 1) y no existe limite 2) y f D x  0 f D x  0    ) ( lim 0 x f x x X Y 𝑓 X0 L1 L2 +∞ +∞ -∞ f(x0) X +∞ -∞ +∞ -∞ X0 𝑓 f(x0) Y X
  6. 6. Derivada Tambien estudiar la derivada de una función, nos conduce a estudiar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto que pertenece al dominio de la función. Estudiar la derivada de una función, nos conduce a estudiar los siguientes problemas: 1. El problema de la velocidad y aceleración 2. El problema de máximos y mínimos 3. El problema de razón de cambio Notación: o ) (x f dx d  ) (x f 
  7. 7. ∆Y ∆X X0+∆X X0 VEAMOS GRAFICAMENTE
  8. 8. ∆Y ∆X X0+∆X X0 ∆Y
  9. 9. ∆Y ∆X X0+∆X X0 ∆Y
  10. 10. ∆Y ∆X X0+∆X X0 ∆Y
  11. 11. ∆Y ∆X X0+∆X X0
  12. 12. ∆Y ∆X X0+∆X X0
  13. 13. X0 f(x0)
  14. 14. ∆Y ∆X X0+∆X X0
  15. 15. ¿Por que se utiliza la derivada? ◦ Para conocer la variación de una magnitud en función de otra. La derivada nos permite conocer por ejemplo: 1. La variación del espacio en función del tiempo. 2. El crecimiento de una bacteria en función del tiempo
  16. 16. Para conocer la variación de una magnitud en función de otra. La derivada nos permite conocer por ejemplo:  El desgaste de un neumático en función del tiempo  Los beneficios en función del tiempo.
  17. 17. ¿Pero la variación de una magnitud va ser siempre en función del tiempo?. La respuesta en no: Si calculamos la derivada de una función, calculamos la variación de “y” en función de “x”.
  18. 18. La derivada se puede utilizar en cualquier situación de la viada real. Pero en este tema nos centraremos en:  Aplicación a la Contabilidad  Aplicación a la Física  Aplicación a la Medicina  Aplicación a la Ingeniería  Aplicación a la Economía
  19. 19. En el ámbito de la Física: La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la 2º derivada del espacio respecto al tiempo. 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑎𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2
  20. 20. En el ámbito de la Ingeniería: En la Termodinámica: Cuando se estudia la transmisión de los fenómenos del calor.
  21. 21. En la Electricidad: Cuando se estudia el consumo eléctrico de un país en un determinado instante.
  22. 22. En la Electricidad: Cuando se quiere estudiar la dinámica de los fluidos, para conseguir una mejor aerodinámica
  23. 23. En la Medicina: Estudiar el crecimiento de un tumor cancerígeno. La velocidad del contagio de una pandemia.
  24. 24. En la Economía: En este campo existen muchas aplicaciones, ya que el objetivo de cualquier empresa es minimizar los costes y maximizar los beneficios. Estudiar máximos y mínimos, es el objetivo de un problema de optimización, en este problema se determina el máximo y el mínimo sujeto a ciertas condiciones. Estudiar máximo y mínimo implica también utilizar derivada para funciones reales.

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