El documento define conjuntos y sus propiedades según varios matemáticos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego, presenta ejemplos de operaciones combinadas con conjuntos y números. Finalmente, introduce conceptos como números reales, desigualdades, valor absoluto y sus propiedades.
2. Definición de Conjuntos
Los conjuntos son una colección de objetos o elementos que se agrupan de
acuerdo a una característica común. Según los matemáticos George Cantor y
Richard Dedekind, un conjunto es una agrupación de elementos unidos por una
relación de pertenencia, comúnmente denotada con la palabra "es". Por ejemplo,
los números pares se pueden escribir como {2, 4, 6, 8, 10, ...}, donde los dos puntos
significan que la lista continúa.
Según Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, un conjunto es una
colección de elementos acerca de los cuales se hace un juicio de pertenencia. Esto
es una distinción importante. Esto significa que un conjunto es algo más que una
simple lista de elementos. Implica que hay una cierta descripción de la relación de
pertenencia que une a los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los
números enteros positivos se puede describir como aquellos números mayores que
cero.
Por último, según el matemático John von Neumann, un conjunto es una
colección bien definida de elementos que se identifican por una relación de igualdad.
Esta definición es un poco diferente a las anteriores, pero aun así muestra que un
conjunto es una colección de elementos en la que hay una relación de igualdad
entre ellos.
Ejercicio con representación gráfica de conjuntos:
En la casa musical hay 48 alumnos, de los cuales 24 les gusta tocar la
guitarra, a 17 les gusta tocar el cuatro y a 15 les gusta tocar ambos instrumentos.
¿Cuántos alumnos no les gusta tocar ningún instrumento?
A 22 alumnos no les gusta tocar ningún instrumento
¿A cuántos alumnos les gusta tocar solo un instrumento?
11 alumnos les gusta solamente tocar un instrumento
G C
9 15 2
22
U
3. Operaciones con conjuntos
Los conjuntos son estructuras de datos fundamentales en la teoría de
conjuntos. Debido a su importancia, los autores han desarrollado diferentes
operaciones para manejar estas estructuras. A continuación, se describen algunas
de las operaciones más importantes:
➢ Unión: Una unión es una operación en la que dos conjuntos se combinan
para formar un conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos
originales. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4},
entonces la unión de estos conjuntos es A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
➢ Intersección: La intersección es una operación en la que dos conjuntos se
combinan para formar un conjunto que contiene solo los elementos que están
presentes en ambos conjuntos originales. Por ejemplo, si tenemos los
conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}, entonces la intersección de estos
conjuntos es A ∩ B = {2, 3}.
➢ Diferencia: La diferencia de dos conjuntos consiste en un conjunto que
contiene todos los elementos que se encuentran en el primer conjunto
(conocido como conjunto A) y no se encuentran en el segundo conjunto
(conocido como conjunto B). Por ejemplo, si tenemos los conjuntos A = {1, 2,
3} y B = {2, 3, 4}, entonces la diferencia de estos conjuntos es A B = {1}.
4. ➢ Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos es un conjunto
de todos los posibles pares de elementos de los dos conjuntos
➢ La complementariedad: se refiere a la comparación de los elementos de un
conjunto con los elementos de los otros conjuntos.
➢ La relación de orden: se refiere a la relación entre los elementos de los
conjuntos donde el orden de los elementos es relevante.
5. Los autores de teoría de conjuntos más influyentes son Georg Cantor, Ernst
Zermelo y Abraham Fraenkel. Estos autores desarrollaron las teorías de conjuntos
que se usan actualmente en matemáticas modernas.
Ejercicios de Operaciones con conjuntos (Operaciones combinadas)
A= {1,2,3,4,5,6}
B = {2,4,6,8,10}
C = {5,6,7,8,9}
Ejercicio1:
(AnB) u C = {2,4,6}
(AnB) u C = {2,4,5,6,7,8,9}
Ejercicio2:
(AnC) n (BuC)
AnC = {5,6}
BuC = {2,4,5,6,7,8,9,10}
(AnC) n (BuC) = {5,6}
Números Reales
Los números reales son un conjunto de números que se extienden de -∞ a
+∞. Esta definición fue propuesta por primera vez por el matemático René Descartes
en 1637 y fue más tarde ampliada por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1673. Esto
significa que los números reales incluyen a los números enteros, fraccionarios y los
números irracionales, como la raíz cuadrada de dos (√2). Estos números son los
que se utilizan en tareas matemáticas cotidianas, como realizar una suma o
multiplicar dos números. Por ejemplo, el número 3,1415 es un número real conocido
como pi.
Los autores más importantes que contribuyeron al desarrollo de la teoría de
los números reales incluyen a Euclides, René Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz
y Richard Dedekind. Además, los trabajos de otros matemáticos como Alfred Tarski,
André Weil, Stanislaw Ulam y Kurt Gödel también contribuyeron de manera
significativa al desarrollo de la teoría de los números reales.
6. Ejercicios de Operaciones combinadas con números enteros/reales
Ejercicio1:
5 + 2 * 3
= 5 + 6
= 11
Ejercicio2:
-6 *( -4+ 9) + 3
= -6 *(+5) + 3
= -30 + 3
= -27
Los números reales pueden ser clasificados en números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Además, otro resultado menciona las propiedades del
orden y la transitividad de los números racionales según el autor Dedekind.
También se mencionan las propiedades de la suma y multiplicación de números
enteros, así como la representación decimal de los números racionales.
Las propiedades de los números reales son características que se aplican a
los números que pertenecen a dicho conjunto numérico. Algunas de estas
propiedades son:
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación: El orden de los
números no afecta el resultado de la suma o la multiplicación. Es decir, a + b = b +
a y a x b = b x a.
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación: La forma en que se
agrupan los números no afecta el resultado de la suma o la multiplicación. Es
decir, (a + b) + c = a + (b + c) y (a x b) x c = a x (b x c).
Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: La multiplicación
se distribuye sobre la suma. Es decir, a x (b + c) = a x b + a x c
Propiedad de la existencia del elemento neutro: Existe un elemento neutro
(0 para la suma y 1 para la multiplicación) tal que a + 0 = a y a x 1 = a.
Propiedad de la existencia del elemento opuesto: Cada número tiene un
elemento opuesto (-a para la suma) tal que a + (-a) = 0.
7. Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo: Cada número
distinto de cero tiene un elemento inverso multiplicativo tal que a x (1/a) = 1.
Propiedad de la transitividad del orden: Si a < b y b < c, entonces a < c.
Ejemplo de las propiedades de los números reales:
X [4(x⁵ - 3)] + 12x
X [4x⁵ - 12] + 12x
4x⁶ – 12x + 12x
4x⁶ + 0
4x⁶
En este ejercicio se aplicó la propiedad Distributiva, Elemento Opuesto y
también Elemento Neutro.
Desigualdades
Las desigualdades según los autores matemáticos se refieren a relaciones
entre variables numéricas. Por ejemplo, la desigualdad de Cauchy, descubierta por
Augustin-Louis Cauchy, se utiliza para demostrar el teorema fundamental del
cálculo. Esta desigualdad especifica que, si una función continua se limita por dos
líneas y si la integral de una función está entre las dos líneas, entonces hay un punto
en el intervalo donde la función alcanza su valor máximo.
Otra desigualdad importante es la desigualdad de Jensen, descubierta por el
matemático danés Johan Jensen. Esta desigualdad se utiliza para calcular el valor
medio de funciones continuas, y especifica que el valor medio de una función en un
intervalo es menor que el valor de la función en el punto medio del intervalo.
Por último, la desigualdad de Chebyshev, descubierta por el matemático ruso
Pafnuty Chebyshev, afirma que existe un número arbitrario de valores en un
intervalo que están a una distancia mínima de la media aritmética. Esta desigualdad
se utiliza para controlar la variación de los datos.
Desigualdades Lineales
Las desigualdades lineales son declaraciones matemáticas en las que una
expresión lineal es mayor o menor que otra expresión lineal. Estas desigualdades
están compuestas por expresiones lineales con al menos una variable, y pueden
ser usadas para representar restricciones en problemas de programación lineal y
para graficar regiones en el plano coordenado. En una desigualdad lineal con dos
variables, esta divide el plano en dos medios planos y para graficar la desigualdad
es necesario graficar la ecuación del límite. Además, las desigualdades lineales se
8. pueden resolver utilizando distintos métodos, como deshacer la suma o la resta
primero.
Ejercicio1:
(-3x – 2) +2 ≥ - x – 2 (-2x+6)
-3x – 2 +2 ≥ - x – 2 (-2x+6)
-3x – 2+2 ≥ - x + 4x – 12
-3x ≥ - x + 4x – 12
-3x ≥ 3x - 12
-3x – 3x ≥ - 12
- 6x ≥ - 12
X ≤ 2
Ejercicio2:
2x + 3 ≤ 5x – 1
2x – 5x ≤ -1 -3
-3x ≤ - 4
x ≥
4
3
Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto es un concepto matemático que indica el módulo de un
número. Esto significa que el valor absoluto de un número es su distancia absoluta
desde cero, sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de -4 es 4,
y el valor absoluto de 4 es 4.
Se puede considerar el valor absoluto como una forma de medir el "tamaño"
de un número. Esto ha sido definido por diferentes autores de la siguiente manera:
➢ Para Gottfried Leibniz, el valor absoluto era el más pequeño de los dos
números entre los cuales se establece una relación de igualdad.
➢ Para Karl Weierstrass, el valor absoluto era el resultado de la resta entre el
número y cero.
➢ Para Bernhard Riemann, el valor absoluto era el tamaño o el grado de un
número.
9. ➢ Para Hermann Grassmann, el valor absoluto era el valor máximo que se
podía alcanzar restando un número de cero.
Por tanto, el valor absoluto de un número es su distancia absoluta desde cero,
independientemente de su signo. Esta distancia indica el tamaño o el grado de un
número, y se puede calcular mediante la resta entre el número y cero.
Ejemplos de valor absoluto:
Calcular el valor absoluto
a) |-3|
|-3|= 3
El valor absoluto de -3 es 3.
b) |X2|
|X2|= X2
El valor absoluto de X2 es X2 porque el cuadrado de cualquier número real es no
negativo.
c) |X2 +1|
d) |X2 +1|= X2 +1
e) El valor absoluto de X2 +1 es X2 +1 porque X2 +1 siempre es mayor o igual que
1.
Propiedades del valor absoluto
Según Carla Giani el valor absoluto tiene distintas propiedades, las más
importantes son:
• No negatividad. El valor absoluto siempre es positivo o igual a cero (|x| ≥ 0).
Por ejemplo: |8| = 8 y |-8| = 8.
10. • Definición positiva. El valor absoluto de un número es 0 solo si este número es
igual a 0 (|x| = 0 ⇔ x = 0).
Por ejemplo: |0| = 0.
• Propiedad multiplicativa. El valor absoluto del resultado de una multiplicación es
igual al resultado de la multiplicación de los valores absolutos de los números que
la componen (|x * y| = |x| * |y|).
Por ejemplo: |-4 * 5| = |-20| = 20 es igual a |-4| * |5| = 4 * 5 = 20.
• Desigualdad triangular. El valor absoluto del resultado de una suma es menor o
igual al resultado de la suma de los valores absolutos de los números que la
componen (|x + y| ≤ |x| + |y|).
Por ejemplo: |-7 + 6| = |-1| = 1 y |-7| + |6| = 7 + 6 = 13, entonces 1 < 13 (1 es
menor que 13).
• Simetría. Un número positivo (por ejemplo, 15) y el mismo número, pero negativo.
Por ejemplo |-15| tienen el mismo valor absoluto: 15 (|-x| = |x|).
• Identidad de indiscernibles. El valor absoluto del resultado de una resta es igual
a cero si esos sus números son el mismo (|x – y| = 0 ⇔ x = y).
Por ejemplo: |8 – 8| = |0| = 0, porque 8 = 8.
• Preservación de la división. El valor absoluto del resultado de una división es
igual al resultado de la división de los valores absolutos de los números que la
componen solo si el divisor no es igual a cero (|x / y| = |x| / |y| si y ≠ 0).
Por ejemplo: |4 / 2| = |2| = 2 es igual a |4| / |2| = 4 / 2 = 2, porque 2 ≠ 0.
Desigualdades con Valor Absoluto
Las desigualdades con valor absoluto según distintos autores tienen
diferentes definiciones, pero en su esencia se relacionan con la misma idea: un
concepto matemático que se usa para encontrar el valor absoluto de una cantidad.
El valor absoluto es un número sin signo, es decir que no indica si es positivo o
negativo.
11. Definición de Desigualdad con Valor Absoluto de John Von Neumann
John Von Neumann fue uno de los primeros teóricos en proporcionar una
definición formal para las desigualdades con valor absoluto. El propuso que el valor
absoluto de una cantidad es la distancia entre este número y cero. Esta definición
se puede ilustrar de la siguiente manera:
➢ Si a es una cantidad entonces |a| = 0 - a
Esto significa que cuando a es un número negativo, aun así, el resultado será
un número positivo.
Definición de Desigualdad con Valor Absoluto de G. H. Hardy
Otro teórico matemático, G. H. Hardy, propuso que el valor absoluto de una
cantidad es la distancia mayor entre esta cantidad y los números positivos y
negativos. Esta definición se puede ilustrar de la siguiente manera:
➢ Si a es una cantidad entonces |a| = max(a, -a)
Esto significa que cuando una cantidad puede ser positiva o negativa, el valor
absoluto devolverá el número mayor.
Desigualdades de valor absoluto (>):
Ejemplo 1
La desigualdad | x | > 4
significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
12. Ejemplo 2
|X| ≤ 4
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide
resolver x, quieres encontrar los valores de x que están a 4 unidades o menos de
0 en la recta numérica. Podrías empezar imaginando la recta numérica y los
valores de x que satisfacen esta ecuación.
4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 también son
soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del
0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un número infinito de
valores de x que satisfacen la desigualdad.
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en −4. La
distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul
porque estos son los valores que satisfacen la ecuación.
La solución se puede escribir de esta manera: −4 ≤ x ≤ 4.
-5 -4 -3 2 -1 0 1 2 3 4 5
