Conjunto de ejercicios para desarrollar y ejercitar las diferentes propiedades que conllevan las funciones. Éxitos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
FACULTAD DE FILOSOFIA, HUMANIDADES Y ARTES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CARRERA: PROFESORADO Y LICENCIATURA EN MATEMATICA
CATEDRA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - ANALISIS MATEMATICO I
A ˜NO: 2018
PRACTICO 2: FUNCIONES
Ejercicio 1 Demuestre que las siguientes relaciones son funciones:
a) f : R → R definida por: f(x) = 5x − 3
b) f : R − {1} → R definida por f(x) =
x2
− 2x + 1
x − 1
c) f : R → R definida por: f(x) = 3
√
−x + 6
Ejercicio 2 Dadas las siguientes funciones,
i) f : R0
+
→ R; con f(x) =
√
x − 2
ii) f : R → R; con f(x) = cos x
iii) f : R → R; con f(x) = ex
iv) f : R → R; con f(x) = x3
+ 2
se pide:
a) Realice una gr´afica aproximada de cada una.
b) Clasif´ıquelas en inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva. Demuestre e interprete gr´aficamente.
c) Modif´ıquelas (en caso de ser posible) para que resulten biyectivas.
Ejercicio 3 Dadas f(x) = x2
+ 4; g(x) =
√
x − 3 se pide:
a) Calcule las composiciones posibles entre f(x) y g(x).
b) Halle el dominio de dichas composiciones.
Ejercicio 4 Descomponga las siguientes funciones en dos o m´as funciones; verifique haciendo las com-
posiciones respectivas.
a) f(x) = (x2
+ 2)( 1
3
)
b) g(x) = sen3
|x + π|
c) h(x) = e
√
x4+1
1

2. Ejercicio 5 Realice las siguientes gr´aficas y determine:
1. Dominio e imagen.
2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. Si es par o impar.
4. Ejes de simetr´ıa para las funciones que lo permitan.
5. Intersecci´on con los ejes coordenados e indicar las ra´ıces.
6. Para los apartados a) de cada ´ıtem verifique inyectividad y sobreyectividad.
1) a)y = x b)y = x + 1
c)y = x − 2 d)y = 5
2
x
e)y = −2
5
x f)y = −2
5
x − 1
2) a)y = x2
b)y = x2
− 3
c) y = x2
+ 3 d) y = (x − 2)2
e) y = (x + 3)2
f) y = − (x − 2)2
− 3
g) y = x2
− 4x
3) a)y = x3
b)y = x3
− 3
c) y = x3
+ 3 d) y = (x − 1)3
e) y = (x + 2)3
f) y = −x3
+ 3
4
4) a)y = |x| b)y = |x| − 3
c) y = |x + 1| d) y = −3 |x + 3| − 2
5) a) y = ln x b)y = ln x + 3
c) y = ln x − 2 d) y = ln (x − 5)
e) y = − ln (x + 3) f) y = |ln x|
g) y = ln |x| h) y = |ln |x − 1||
6) a) y = 1
x
b) y = 1
x−2
c) y = 1
x
− 3 d) y = −1
x
+ 2
e) y = x+3
x+2
7) a) y = 1
x2 b) y = 1
x2 − 3
c) y = 1
x2 + 2 d) y = 1
(x+2)2
8) a) y = ex
c) y = ex
+ 1
c) y = e3x
d) y = ex−2
e) y = |e3x
− 1|
9) a) y =
√
x b) y = −
√
x
c) y =
√
x + 2 d) y =
√
x − 1
10) a) y = 3x
b) y = 3x
+ 2
c) y = 3x−1
d) y = 32x
− 2
e) y = log3 x + 2
2

3. 11) a) y = sin x b) y = sin x + π
c) y = sin (x − π) d) y = sin 2x
e) y = −2 sin x
12) a) y = cos x b) y = cos (x + π)
c) y = cos x − π
2
d) y = − cos (x − 1)
e) y = cos 2x + 2
13) a) y = tan x b) y = tan x + π
2
c) y = |tan x| − π
2
14) a) y =



x2+3
2
si x ≤ 1
−x + 2 si 1 < x < 2
−3 si x ≥ 2
b) y =



|x − 1| si x ∈ ER (1, 1)
x2
− 4x + 2 si |x − 3| < 1
1
x−4
si x > 4
c) y =



1
x2 si x ∈ E(1, 1)
|x − 1| + 1 si x ∈ [0, 1)
(x − 1)2
+ 1 si x > 1
Ejercicio 6 El rendimiento (en %) de un generador de placas solares en funci´on de la temperatura,
viene dado por una funci´on polin´omica de grado dos. Es m´aximo (100 %) para una temperatura de 50o
C y
es nulo para 10o
C y 90o
C.
1. Realice una gr´afica que represente aproximadamente esta situaci´on.
2. Encuetre la expresi´on de dicha funci´on.
Ejercicio 7 La forma de crecimiento de la poblaci´on de una colonia de c´elulas viene dado por: P = P0ekt
,
con P0 el n´umero de c´elulas en el instante cero y k una constante positiva. Si en un cultivo la poblaci´on es
de 300 despu´es de 2 minutos y de 1400 despu´es de 5 minutos. Estime la poblaci´on para la colonia despu´es
de 20 minutos.
Ejercicio 8 La intensidad del sonido que nos llega procedente de un foco sonoro est´a dada por: I (d) = 9
d2
, con d la distancia en metros, que nos separa de ´el.
1. ¿Qu´e tipo de funci´on es?.
2. Grafique I(d).
3. D´e dominio e imagen de I(d).
4. Determine si I es par o impar.
5. ¿A qu´e distancia deber´a colocarse una persona que s´olo oye sonidos de intensidad superior a 9
unidades?
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