1) O documento apresenta um roteiro de estudo sobre conceitos matemáticos como teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 2) Aborda definições e propriedades de conjuntos, operações com diferentes tipos de números, decomposição em fatores primos e mínimo múltiplo comum. 3) Também discute representações geométricas de conjuntos numéricos e introduz conceitos como produto cartesiano, relações binárias e funções.

1. ROTEIRO DE ESTUDO
Curso: TECS Período Letivo: 1º bimestre 2012/2
Série 2° semestre
Disciplina: Matemática
Professor EaD Ivonete Melo de Carvalho
PONTOS IMPORTANTES ABORDADOS NA DISCIPLINA NO DECORRER DO BIMESTRE

2. Teoria dos Conjuntos:
De acordo com Aurélio Buarque de Holanda Ferreira, “conjunto é qualquer coleção de seres
matemáticos” 1.
Ampliaremos esta definição e diremos: conjunto é qualquer coleção de objetos bem definidos.
A partir dessa última definição, podemos dizer que:
 uma caixa de lápis de cor é um conjunto cujos elementos são lápis de cor;
 Uma cesta de frutas é um conjunto cujos elementos são frutas;
 Um álbum é um conjunto de fotografias.
Dizemos que:
 Conjuntos são formados por elementos. Exemplo: A = {a, e, i, o, u}
 Elementos pertencem – ou não – a conjuntos. Exemplo: a  A (o elemento a
pertence ao conjunto A) – b  A (o elemento b não pertence ao conjunto A).
Conjuntos podem ser representados por figuras. Essas figuras chamam-se Diagramas de Venn
(balões). Veja os exemplos:
Podemos dar nomes aos conjuntos. Esses nomes podem ser aleatórios quando estudamos
conjuntos sem rigor matemático: guarda-roupa, cômoda, baú, cesto, entre outros.
Matematicamente falando, conjuntos serão sempre denominados por letras maiúsculas do
alfabeto latino: A, B, C, etc..
Da mesma forma, podemos denominar elementos por nomes comuns: peças de roupas,
brinquedos, frutas; ou matematicamente: sempre utilizando letras minúsculas do alfabeto latino:
a, b, c, etc..
Para determinar um conjunto, podemos fazê-lo de duas maneiras diferentes:
 Citando (ou enumerando) cada um de seus elementos. Exemplo:
A  branco, negro, índio
1
HOLANDA FERREIRA, Aurélio Buarque. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 2. ed.,
Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986, p. 455.

3.  Descrevendo as características dos elementos que o compõe. Exemplo:
A  três principais raças que formaram o povo brasileiro 
Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Chamamos de conjunto universo ao conjunto formado pela totalidade dos elementos de uma
mesma categoria.
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.
Conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Representamos o conjunto vazio por { } ou 
Dados dois conjuntos A e B, pode acontecer que todos os elementos de A sejam também
elementos de B. Nesse caso, dizemos que A está contido em B ( A  B ) ou que B contém A
( B  A ), ou seja, A é subconjunto de B.
São propriedades dos conjuntos:
1. Todo conjunto está contido em si mesmo;
2. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto;
Se A é subconjunto de B, podemos definir que:
 Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que
chamaremos complementar de A em relação a B e representaremos por:
C BA ;
 Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que
também podemos designar como sendo a diferença B – A.
Dados dois conjuntos quaisquer, podemos definir:
 União como sendo o conjunto formado por todos os elementos que formam o
conjunto A e formam o conjunto B;
 Interseção como o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos
A e B.
 Diferença: considerando B  A , diferença é o conjunto formado por todos
os elementos que estão no conjunto A e não estão em B;
 Complementar de A em relação a B: é o conjunto formado por todos os
elementos que estão no conjunto A e não estão em B.
Ao número de elementos de um conjunto A, chamaremos cardinal do conjunto A
representaremos por n(A).
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:

4. n ( A  B)  n ( A)  n ( B)  n ( A  B) .
Conjuntos dos Números Naturais:
Números naturais exprimem a idéia de quantidade e são representados por símbolos especiais.
Os dez algarismos formam a base decimal de numeração.
O conjunto dos naturais é ordenado do menor para o maior elemento. Podemos representá-lo
através de uma reta ordenada:
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. O
conjunto dos números naturais é ordenado do menor para o maior número.
Operações com números naturais:
As operações são: adição, subtração, multiplicação, potenciação e radiciação. Os operadores
especiais são: parênteses, colchetes e chaves.
Por convenção, resolvem-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves.
Pela ordem das operações: primeiro resolvem-se potências e raízes (sempre da esquerda para a
direita), depois multiplicações e divisões (sempre da esquerda para a direita) e, por último,
adições e subtrações (sempre da esquerda para a direita).
Decomposição em fatores primos:
Decompor em fatores primos ou fatorar um número natural significa escrever o número dado
através de um produto onde todos os fatores são números primos.
Divisores de um número natural:
São números naturais que dividem exatamente o número dado. Definiremos o máximo divisor
comum de um conjunto de números naturais como sendo o maior entre os divisores comuns dos
números tomados.
Mínimo Múltiplo Comum:

5. Mínimo múltiplo comum (mmc) é o menor entre os múltiplos de dois, ou mais, números
naturais. Para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) basta decompor os números envolvidos
em fatores primos. O mmc é formado pelo produto de todas as potências, com os maiores
expoentes, que compõem os números dados. Veja os exemplos:
Dispositivo prático: decompor os números dados, simultaneamente:
120, 90, 80, 60 2
60, 45, 40, 30 2
30, 45, 20, 15 2
15, 45, 10, 15 2
15, 45, 5, 15 3
5, 15, 5, 5 3
5, 5, 5, 5 5
1, 1, 1, 1
mmc (120, 90, 80 60) = 24.32.5 = 720
Conjunto dos Números Inteiros:
Números inteiros também exprimem a idéia de quantidade, mas vão mais, além disso, pois
relacionam a quantidade a um determinado referencial.
Historicamente, podemos relacionar o surgimento do conjunto dos números inteiros relativos
aos primeiros livros de registros contábeis; débitos e créditos são um excelente caminho para
esclarecer “negativo” e “positivo”.
Ao conjunto formado pelos inteiros positivos, inteiros negativos e o zero, chamamos conjunto
dos números inteiros e representamos pela letra Z.
Tal qual o conjunto dos números naturais, Z também é ordenado do menor para o maior
elemento.
Comparando o conjunto dos números naturais com o conjunto dos números inteiros, podemo
concluir que N  Z .
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
Z * - inteiros não nulos;
Z  - inteiros não negativos;
Z  - inteiros não positivos;

6. Z * - inteiros positivos;

Z * - inteiros negativos;

Representação geométrica
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. O
conjunto dos números inteiros é ordenado do menor para o maior número.
Módulo de um número inteiro:
Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número inteiro, a distância entre esse número e a
origem (o zero).
Representamos o módulo por duas barras verticais.
a , a  0
Propriedade: a  
 a , a  0
Números opostos ou simétricos:
Dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando possuem o mesmo módulo.
Comparação de dois números inteiros:
Com relação ao conjunto dos números inteiros, podemos dizer que:
 todo número positivo (representado à direita do número zero) é maior do
que zero;
 todo número negativo (representado à esquerda do número zero) é menor
do que zero;
 todo número positivo é maior do que qualquer número negativo;
 entre dois números inteiros positivos, o menor deles é o que apresenta o
menor módulo ou valor absoluto;
 entre dois números inteiros negativos, o menor deles é o que apresenta o
maior módulo ou valor absoluto;
Conjunto dos Números Racionais:

7. p
Um número é dito racional quando é da forma , p e q  Z, q  0 .
q
Tal qual o conjunto dos números naturais e inteiros, Q também é ordenado do menor para o
maior elemento.
Comparando o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros com o conjunto
dos números racionais, podemos concluir que N  Z  Q .
Destacamos os seguintes subconjuntos de Q:
Q * - racionais não nulos;
Q  - racionais não negativos;
Q  - racionais não positivos;
Q * - racionais positivos;

Q * - racionais negativos;

Representação geométrica
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. O
conjunto dos números racionais é ordenado do menor para o maior número.
Operações com números racionais:
Adição: se os números estiverem em forma de fração, calcular o mmc. Se os números estiverem
na forma decimal, colocar vírgula embaixo de vírgula.
Subtração: mesmo que a adição.
Multiplicação: para multiplicar duas frações, multiplicamos numerador por numerador e
denominador por denominado. Para multiplicar dois decimais, multiplicamos os números,
depois contamos as casas decimais dos fatores e aplicamos ao produto.
Divisão: para dividir duas frações, devemos conservar a primeira e multiplicar pelo inverso da
segunda. Para dividir números decimais, primeiro igualamos as casas décimas do divisor e do
dividendo, “cortamos” as vírgulas e dividimos normalmente..
Conjunto dos Números Irracionais:

8. Chamamos de conjunto de números irracionais ao conjunto formado por todos os números cuja
representação decimal é infinita e não periódica.
Nesse nível de aprendizado, não discutiremos as operações dentro do conjunto dos números
irracionais.
Conjunto dos Números Reais:
Chamamos de conjunto dos números reais à união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.
Propriedades de potenciação e radiciação
Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Propriedades:
1
a a a0  1 a m .a n  a m  n
a m : a n  a m n (a m ) n  a mn (a.b) n  a n .b n
n
a an m
a n 
1
   n n m
b b a an an
Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Propriedades:
n a  b  bn  a n a na
a.b  n a .n b n 
b nb
nm
a  n.m a n n.m
a  am n a .m a  n.m a m  n
Funções
Antes de introduzirmos o conceito formal de funções, falaremos sobre as
estruturas matemáticas que suportam tal teoria. Vamos, antes, construir o
conceito de produto cartesiano e relação binária entre os elementos de dois
conjuntos.
Quando tomamos, ao acaso, um elemento de cada um dos conjuntos
estudados, dizemos que formamos um par. Par é todo conjunto formado por dois

9. elementos.
A representação gráfica do par ordenado dá-se através do Plano
Cartesiano.
Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si, no
ponto 0. (Lembre-se: duas retas paralelas ou concorrentes determinam um plano).
Veja a figura:
Entre o conjunto dos pontos P do plano  e o conjunto de pares
ordenados (x P, yP), existe uma correspondência biunívoca, isto é, cada ponto
corresponde a um único par e cada par corresponde a um único ponto.
Produto Cartesiano:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chamamos de produto cartesiano
de A por B ( e indicaremos A x B) ao conjunto formado por todos os pares
ordenados (a, b) onde a  A e b  B.
A x B  {(a , b), a  A e b  B}
Se A ou B forem vazios o produto A x B também será vazio.
Propriedades:
Se A  B  A x B  B x A
Se n(A) = n e n(B)= m  n(A x B) = nm
Se A ou B for infinito e nenhum deles vazio  A x B é infinito.
Relações binárias:
Uma relação binária é um subconjunto do produto cartesiano.
Representamos por R: “R é uma relação binária de A em B se, e somente se,

10. R  A x B .”
Conforme IEZZI e MURAKAMI, “utilizaremos as seguintes nomenclaturas
já consagradas:
A = conjunto de partida ou domínio da relação R.
B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R.
Quando o par (x, y) pertence à relação R, escrevemos xRy (lê-se: ‘x erre
y’).
( x , y)  R  xRy
e se o par (x, y) não pertence à relação R, escrevemos xRy (lê-se: ‘x não
erre y’)
( x , y)  R  xRy
Funções:
Função é uma relação binária onde todo elemento do primeiro conjunto
(domínio) deve formar par, mas cada elemento deve formar um único par.
Para indicar uma função, utilizaremos uma entre as seguintes notações:
f :AB f f : A  B t.q.
A B
ou ou
x  f (x ) x  f (x) y  f (x )
Domínio e Imagem
Chamamos de domínio ao conjunto D dos elementos x  A para os quais
existe y  B tal que ( x , y)  f . Domínio = conjunto de partida.
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y  B para os quais
existe x  A tal que (x , y)  f , portanto. Imagem é o conjunto de chegada.
Em outras palavras: Domínio (D) é o conjunto das abscissas dos postos
tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f,
isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f;
Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos interceptem o gráfico de f, isto é, é o conjunto

11. formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.
Zeros ou Raízes de uma função
Zero de uma função real (ou raiz da função) é todo número x cuja
imagem é nula, isto é, x é o zero de y  f(x) = 0.
Crescimento e decrescimento de funções:
Seja f :A  B
x  y  f ( x)
Diremos que f é crescente se:
Sendo x1 , x 2  A teremos x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 )
Gráfico inclinado para cima (a curva sobe da esquerda para a direita).
Diremos que f é decrescente se:
Sendo x1 , x 2  A teremos x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 )
Gráfico inclinado para baixo (a curva desce da esquerda para a direita).
Composição de funções:
De acordo com SCIPIONE (1979, p. 129)
“Sejam A, B e C conjuntos não vazios dados e mais as funções
f :A  B e g:B  C.

12. A cada elemento x  A está associado um único elemento y  B pela
função f, isto é, y  f ( x ) ; a cada elemento y  B está associado um
único elemento z  C pela aplicação g, isto é, z  g ( y) . Desse
modo, a cada elemento x  A está associado um único elemento
z  C , z  g ( y)  g (f (x )) ; temos, pois uma função h de A em C.
A nova função h : A  C será indicada por g  f (leia-se ‘g círculo f
’), isto é,
h:A C
h : x  (g  f )(x )  g (f ( x )) ”
Função Inversa:
Segundo IEZZI e MURAKAMI (1993, p. 235)
“Definição
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma
função de B em A que denominamos função inversa de f e
indicamos por f 1 .
Observações:
1ª) Os pares ordenados que formam f 1 podem ser obtidos dos
pares ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par,
isto é
( x , y)  f  ( y, x )  f 1
2ª) Pela definição anterior, temos ( x , y)  f  ( y, x )  f 1 . Agora,
se considerarmos a função inversa de f 1 , teremos:
( y, x )  f 1  (x, y)  (f 1) 1 , isto é, a inversa de f 1 é a própria
função f:
(f 1 ) 1  f
1
Podemos assim afirmar que f e f são inversas entre si, ou
melhor, uma é inversa da outra.
3ª) O domínio da função f 1 é B, que é a imagem da função f. A
imagem da função f 1 é A, que é o domínio da função f.
[...]
D(f 1)  B  Im(f )
”
1
Im(f )  A  D (f )
Propriedades: Os gráficos de duas funções inversas entre si são
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Classificação de funções:

13. De acordo com sua lei de formação, podemos classificar funções como:
cons tan te
linear

Função de primeiro grau: 
identidade
afim

Função quadrática ou do segundo grau;
Função modular;
Função exponencial;
Função logarítmica;
Funções trigonométricas, entre outras.
Função do Primeiro Grau
Chamamos de função do primeiro grau a toda expressão da forma
y  ax  b com a , b  R . São exemplos de funções do primeiro grau:
y  3x  4; y  2 x  8;
y   x  3; y  0 ,5 x  3;
3
y x; y4
4
As funções de primeiro grau são classificadas de acordo com os valores
de a e b:
Se a e b são ambos diferentes de zero, dizemos função afim;
Se a é diferente de zero e b igual a zero, dizemos função linear;
Se a é igual a 1 e b igual a zero, dizemos função identidade;
Se a é igual a zero e b diferente de zero, dizemos função constante.
Domínio, Contradomínio e Imagem da função do primeiro grau:
A função do primeiro grau não apresenta restrições naturais, tanto o
domínio como o contradomínio são representados pelo conjunto dos números
reais, ou seja, D  CD  R . Como para todo valor real de x, da função de primeiro
grau, existirá um correspondente y também real, dizemos que a imagem da função

14. de primeiro grau também é real, ou seja, Im  R .
Importante: no caso da função constante embora o domínio seja real a
imagem será dada por Im  b .
Gráfico:
O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta.
Quando o coeficiente a = 0  reta horizontal (paralela ao eixo x)
passando por y  b .
Quando o coeficiente a for positivo (a  0)  reta inclinada para cima.
Quando o coeficiente a for negativo (a  0)  reta inclinada para baixo.
Veja os exemplos:
Construir o gráfico da função y  3x  2 .
Construindo a tabela:
x y
0 2
1 5
Observe, o coeficiente a = 3, ou seja, (a  0)  reta inclinada para
cima.
Construir o gráfico da função y   x  1 .
Construindo a tabela:
x y
0 1
1 0
Observe que o coeficiente a = –1, ou seja, (a  0)  reta inclinada para
a esquerda.

15. Construir o gráfico da função y = 3. Observe que escrever y = 3 é o
mesmo que escrever y = 0x + 3.
Construindo a tabela:
x y
0 3
1 3
Note que o coeficiente a = 0, ou seja, reta horizontal passando por y =
3.
Zeros ou raízes da função de primeiro grau:
Chamaremos de zero ou raiz da função de primeiro grau ao valor de x
que torna y = 0 (f ( x )  0) .
Assim teremos:
b
f ( x)  0  ax  b  0  ax  b  x
a
Exemplo: determine a raiz da função y  2 x  6
6
2x  6  0  2 x  6  x  x  3
2

16. Função do segundo grau
Chamamos de função do segundo grau ou função quadrática a toda
expressão do tipo y  ax 2  bx  c, com a , b, c  R e a  0 .
Exemplos:
y  x 2  3x  4 ; y  0,5x 2  x
Uma função do segundo grau pode ser completa ou incompleta:
Será completa quando os coeficientes a, b e c forem todos diferentes de
zero.
Será incompleta quando os coeficientes b e/ou c forem iguais a zero.
Domínio, Contradomínio e Imagem:
Por não possuir nenhuma restrição, o domínio e o contradomínio da
função quadrática são dados pelo conjunto dos números reais: D  CD  R .
Já o conjunto imagem da função do segundo grau depende do
coeficiente a da expressão que a define.
Se a > 0, teremos Im  {y  R | y  y V }
Se a < 0, teremos Im  {y  R | y  yV }
y V indica o valor de y onde a função inverte o sinal de crescimento.
Gráfico da função de segundo grau:
Ao gráfico da função quadrática, chamamos parábola. Uma parábola é
uma curva que pode estar voltada para cima (no sentido de crescimento do eixo y)
ou para baixo (no sentido de decrescimento do eixo y). Quem determina o tipo de
concavidade (curva voltada para cima ou curva voltada para baixo) é o valor do
coeficiente a:
Se a > 0 a curva é côncava para cima;
Se a < 0 a curva é côncava para baixo;

17. Veja os exemplos:
Determinar o gráfico da função y  x 2  3x  4 . Observe que o
coeficiente a = 1, logo a > 0, portanto teremos parábola côncava para cima.
Determinar o gráfico da função y  0,5x 2  x
Observe que o coeficiente a =  0,5 , logo a < 0, portanto teremos
parábola côncava para baixo.
Tanto quanto para a função de primeiro grau, para obter o gráfico da
função quadrática podemos utilizar o recurso da construção de tabelas, porém,
para que possamos melhor escolher os valores da tabela é indicado, antes, calcular
o vértice da parábola (vértice é o ponto onde a curva inverte o sentido de
crescimento).
b
O vértice da parábola é dado por: Vértice: x V   e yV  f ( x V ) .
2a
Para obter as coordenadas do vértice é necessário relembrar como se
calculam as raízes da função de segundo grau através da fórmula de Báskara:
 b  b 2  4ac
x
2a

18. Lembre-se: “a” é o número que multiplica x 2.
“b” é o número que multiplica x.
“c” é o termo independente.
Exemplo: Em x 2  5 x  6  0 , teremos: a = 1; b = –5 e c = 6. Na Fórmula
de Báskara, os valores de x seriam calculados assim:
 5 1 6
x   3
 ( 5)  ( 5) 2  4.1.6 5  25  24 5  1 5  1  1
 2 2
x    
2.1 2 2 2 x  5 1 4
 2  2
 2 2
Outro exemplo:  2 x 2  4 x  0
Neste caso, temos: a = –2; b = 4; c = 0.
 4  42  4.(2).0  4  16  0  4  0
x    
Resolvendo: 2.( 2) 4 4
40 4
  1
4 4
Observe que, nesse caso, somar zero ou subtrair zero não altera o valor
do numerador.
A expressão b 2  4ac da Fórmula de Báskara é chamada discriminante
da equação e é representada pela letra grega delta:  .
Propriedade:
Se   0 então a equação possui duas raízes diferentes

Se   0 então a equação possui uma raiz
Se   0 então a equação não possui raízes

O gráfico da função de segundo grau é uma curva chamada parábola,
que pode ser uma curva voltada para cima ou voltada para baixo, dependendo do
valor “a” (do número que multiplica x2). Se a > 0, o gráfico será uma curva voltada
para cima. Se a < 0, o gráfico será uma curva voltada para baixo.

19. Não existe gráfico para a = 0 (não existe sequer a função, nesse caso).
Para desenhar o gráfico, sugerimos que também seja elaborada uma
tabela. Todavia, ao contrário do gráfico da função do primeiro grau não vamos
escolher valores aleatórios para x. Antes de construir a tabela vamos calcular as
coordenadas do vértice da parábola. Vértice é o ponto onde a curva muda o
sentido de crescimento. É o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Na parábola
côncava para cima, dizemos que a função é decrescente até o vértice e crescente
a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva).
Na parábola côncava para baixo, dizemos que a função é crescente até o
vértice e decrescente a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva).
Lembre-se: inclinação à direita indica crescimento – inclinação à
esquerda indica decrescimento.
Para calcular as coordenadas do vértice utilizamos a seguinte fórmula:
b
xV   e yV  f (x V ) .
2a
Exemplo: Em y  x 2  5x  6 , teremos:

20.  (5) 5
xV    2,5
2 2
y V  (2,5)2  5.2,5  6  6,25  12,5  6  6,25  6  0,25
Para elaborar a tabela, utilizaremos, pelo menos, 5 pares ordenados,
sendo que o vértice, necessariamente, deverá ser o centro da tabela. Veja o
exemplo:
x y  x 2  5x  6 Cálculo do valor de y
2
1 2 y  1  5.1  6  1  5  6  4  6  2
2 0 y  2 2  5.2  6  4  10  6  6  6  0
2,5 -0,25 Já mostrado acima
3 0 y  3 2  5.3  6  9  15  6  6  6  0
4 2 y  4 2  5.4  6  16  20  6  4  6  2
Observe que, para valores diferentes de x, encontramos valores iguais
para y ( se x = 1 ou se x = 4 então y = 2). Essa característica das funções de
segundo grau chama-se simetria, ou seja, os dois “braços” da parábola são
absolutamente idênticos entre si.
Graficamente: a figura esperada é voltada para cima, pois a = 1.
Os pontos em destaque são os da tabela. A curva é idêntica em ambos os
“lados”. Veja também que a função decresce até o vértice e cresce a partir dele
(veja a inclinação das partes da curva!). Matematicamente, escrevemos:
crescente: x > 2,5 e decrescente: x < 2,5.
No outro exemplo, teríamos: y  2x 2  4x
Neste caso, o gráfico esperado é côncavo para baixo, a = –2.

21. b 4 4
Calculando o vértice: x V     1 . Na tabela:
2 a 2 ( 2 )  4
x y  2 x 2  4 x Cálculo dos valores de y
–1 –6 y  2( 1) 2  4( 1)  2.1  4  2  4  6
0 0 y   2 . 0 2  4 .0   2 .0  0  0  0  0
1 2 y  2.12  4.1  2.1  4  2  4  2
2 0 y  2.2 2  4.2  2.4  8  8  8  0
3 –6 y  2.3 2  4.3  2.9  12  18  12  6
Os pontos em destaque são os da tabela. Veja também que a função
cresce até o vértice e decresce a partir dele (veja a inclinação das partes da
curva!). Matematicamente, escrevemos: crescente: x < 1 e decrescente: x > 1.
No gráfico:
Aplicações de funções
As aplicações mais comuns da teoria de funções para o Curso de
Administração e áreas afins são o estudo de: demanda, oferta, custo, receita,
lucro ou prejuízo e ponto (preço e quantidade) de equilíbrio.
Demanda de mercado:
Por definição, demanda ou procura de mercado de uma utilidade (bem
ou serviço) a um determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos

22. os compradores do mercado estão dispostos (e aptos) a comprar, num determinado
período de tempo.
A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o
mercado pode absorver é chamada de função demanda de mercado. A
representação gráfica desta função é chamada curva de demanda.
Observação importante: como estamos falando de preços e
quantidades, não faz sentido trabalharmos com valores negativos ou com o zero,
logo, preço e quantidade são grandezas estritamente positivas. Para estudarmos a
função demanda, devemos Ter em mente que tanto domínio quanto imagem
devem ser sempre positivos.
Veja o exemplo:
Suponhamos que a demanda de um produto (vendido em pacotes de 1
arroba cada um) seja da por y  4000  50x , onde y representa a demanda e x o
preço de venda. Nestas condições, vamos determinar: o intervalo de variação do
preço desse produto; o intervalo de variação da quantidade demandada. Vamos,
também, elaborar a curva de demanda deste produto e, por fim, determinar a
demanda para um preço igual a R$ 40,00 o pacote e verificar qual o melhor preço
para que sejam vendidos 3500 pacotes do produto. Respondendo o problema por
etapas, teremos:
 intervalo de variação do preço desse produto:
lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos,
podemos afirmar que 4000  50x  0  4000  50x  80  x , ou
seja, o preço não pode ultrapassar R$ 80,00, portanto o intervalo de
variação do preço é dado por: 0  x  80 ;
 intervalo de variação da quantidade demandada:
lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos e
4000  y
invertendo a função demanda, teremos x  , lembrando,
50
ainda, que o preço máximo não deve exceder R$ 80,00 (item
anterior), podemos afirmar que

23. 4000  y
0  80  0  4000  y  4000 (1)  0  y  4000  4000
50
 4000  y  0 , ou seja a quantidade não pode ultrapassar 4000
unidades do produto, portanto o intervalo de variação é dado por:
0  y  4000 ;
 elaborar a curva de demanda:
passo para y: 1000 em 1000, passo para x: 10
em 10
 a demanda para um preço igual a R$ 40,00:
y  4000  50.40  4000  2000  2000
A demanda é de 2000 unidades de produto se o preço for R$ 40,00.
 o preço para que sejam vendidos 3500 pacotes do produto
3500  4000  50x  50 x  500  x  10
Para que sejam vendidas 3500 unidades do produto, o preço deve ser
igual a R$ 10,00.
Oferta de mercado:
Por definição, oferta de mercado de uma utilidade (bem ou serviço) a
um determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos os produtores
do mercado estão dispostos (e aptos) a vender, num determinado período de
tempo.
A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o
mercado deseja oferecer é chamada de função oferta de mercado. A
representação gráfica desta função é chamada curva de oferta.
Tanto quanto preço e demanda, a oferta, por tratar-se de quantidade,
também é função cujo domínio e cuja imagem serão, sempre, positivos.

24. Ponto (preço e quantidade) de equilíbrio
Preço e quantidade de equilíbrio são aqueles para os quais demanda e
oferta coincidem. Graficamente, observamos que o ponto de equilíbrio é ponto de
intersecção entre a curva de oferta e a curva de demanda.
Receita total:
Por definição, receita total é a função dada por RT  qx , onde: RT =
receita total, x = preço de venda, q = quantidade vendida.
Custo total
A função custo total é definida pela soma do preço fixo de produção de
uma determinada mercadoria (ou bem) ao custo variável de sua produção, ou seja,
CT  CF  CV , onde, CT = custo total, CF = custo fixo e CV = custo variável.
Lucro total:
A função lucro total é definida pela diferença entre as funções receita
total e custo total. Se essa diferença for positiva, dizemos tratar-se de lucro
propriamente dito. Caso contrário, recebe o nome de prejuízo.
Ponto de nivelamento:
É aquele para o qual receita total e custo total são iguais entre si.
Função Exponencial:
É toda expressão do tipo y  a f ( x ) , a  0

25. Resumidamente:
D = depende de f(x)
Im = depende de f(x)
Gráfico: sem nome especial
Antes de tratarmos sobre funções exponenciais será útil relembrar o conceito de
potência.
Chamamos de potência de um número ao resultado da potenciação.
Calcular uma potência significada multiplicar um mesmo número uma quantidade
determinada de vezes.
Por exemplo: 2 3  2.2.2  8 . O número 2 (que está “embaixo” do 3) é chamado
de base da potência e indica quem será multiplicado. O número 3 (que está “acima” do 2) é
chamado expoente e indica quantas vezes a base comparece na multiplicação. Observe que
em 23 o número 2 aparece três vezes na multiplicação. Neste caso dizemos que 8 é potência
de 2.
Relembrando as propriedades da potenciação:
1. a n  a.a.a..a
 
  6. (a m ) n  a m.n
n vezes
2. a 0  1 7. (a.b) n  a n .b n
n
a an
3. a 1  1 8.   
b bn
n
1
4. a m .a n  a m  n 9. a  n   
a
m
5. a m n
:a  a mn
10. a n  n a m
Recomendamos que em caso de persistência de dúvidas, os leitores
procurem apoio em livros de matemática referentes à 7ª e 8ª séries do ensino
fundamental para que possam realizar um maior número de exercícios no sentido
de treinar propriedades operatórias. Existe material disponível na Biblioteca.
Para obter o gráfico da função exponencial é necessário compor uma
tabela com, no mínimo, cinco (5) pares ordenados.

26. Veja os exemplos:
1. Faça a representação gráfica de y  2 x .
x y  2x Cálculo do valor de y
2
 1 12 1
–2 0,25 y  2 2     2   0,25
2 2 4
1
 1 11 1
–1 0,5 y  2 1     1   0,5
2 2 2
0
0 1 y 2 1
1 2 y  21  2
2 4 y  22  4
No gráfico:
A função é crescente – o gráfico é inclinado para a direita.
x
 1
2. Faça a representação gráfica de y  2    .
2
x
x  1 Cálculo do valor de y
y  2 
2
2
 1
–2 –2 y  2   2  2 2  2  4  2
2
1
 1
–1 0 y  2   2  21  2  2  0
2
0
0 1  1
y  2     2 1 1
 2

27. 1
1 1,5  1 1 4 1 3
y  2   2    1,5
2 2 2 2
2
2 1,75  1 1 8 1 7
y  2   2    175
,
2 4 4 4
Graficamente:
Logaritmos:
Dado um número real a > 0, o logaritmo de um número x > 0 na base a é
o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que a y  x . Escreve-se y  loga x
e lê-se y é o logaritmo de x na base a.
Vamos usar o sinal  para exprimir que as duas afirmações são
equivalentes (isto é, têm o mesmo significado). Podemos escrever, então:
loga x  y  a y  x .
Ou seja, dizer que y  log a x é o mesmo que afirmar que a y  x .
Desta definição ocorre imediatamente a propriedade fundamental dos logaritmos, que é a
seguinte: log a (ux )  loga u  loga x .
Propriedades de logaritmos:
Com base na definição acima, as demais propriedades operatórias do

28. logaritmo:
a
(a) log b a  log b c  log b  
c
(b) log b a n  n log b a
1
(c) log b n a  log b a
n
log b a
(d)  logc a (mudança de base)
log b c
Exemplo de utilização das propriedades de logaritmos:
Com base no que foi estudado a respeito de logaritmos, discuta os
problemas:
 Uma pessoa deposita R$ 5000,00 a 4% de juros. Quanto ela terá
(principal + juros) após 10 anos: (i) se os juros são pagáveis
anualmente, e (ii) se os juros são pagáveis trimestralmente?
(i) y  x(1  i) n  5000(1  0,04)10
log y  log 5000  10 log1,04  3,6690  (10)(0,0170)  3,8690
y  R $7.396,67
i 0,04 40
(ii) y  x (1  ) nK  5000(1  )
k 4
log y  log 5000  10 log 1,01  3,6690  (40)(0,0043)  3,8710
y  R $7.430,00
 Com base nas vendas esperadas e em dados para companhias
similares, o Diretor de Pessoal das Indústrias Nacionais predisse
que o número de empregados pode ser descrito pela equação
t
N  200(0,04) 0,5 onde N é o número de empregados após t anos.
Admitindo que ele está correto, quantos empregados as Indústrias
Nacionais terão após 3 anos? Quantos empregados a companhia
empregou inicialmente? Quantos empregará quando atingir seu
desenvolvimento máximo?

29. Resolução:
A companhia emprega (200)(0,04) = 8 pessoas inicialmente e 200
quando tiver atingido seu tamanho máximo. Após 3 anos ela
empregará:
3
N  (200)(0,04)0,5
log N  log 200  0,53 log 0,04
 2,3010  (0,0125)(1,3979)  2,1263
N  133,75
ou aproximadamente 134 pessoas.
Logaritmo – reforçando o conceito
Por definição, logaritmo de um número a (positivo) na base b (positiva e diferente
de 1) é o número c, se, e somente se, o número b elevado a c é igual a a. Simbolicamente:
a  0
log b a  c  b c  a , para 
b  0 e b  1
Veja o significado da definição:
log 2 8  3  2 3  8
1
1
log100 10   100 2  100  10
2
Na verdade, um logaritmo é um expoente em condições muito especiais: tanto
base quanto potência devem ser números necessariamente positivos e a base necessariamente
diferente de 1.
A mesma definição nos propicia calcular dados. Veja:
log 4 16  x  4 x  16  4 x  4 2  x  2
log 5 x  3  53  x  125  x
log x 256  2  x 2  256  x  256  x  16
Para resolver expressões que envolvem logaritmos, podemos utilizar as seguintes
propriedades:
log b a  log b c  log b (ac)

30. a
log b a  log b c  log b  
b
log b a n  n log b a
1
log b n a  log b a
n
log b a
 log c a
log b c
Veja os exemplos: Calcule o valor de P em:
1
log 2 P  log 2 5  2 log 2 4  3 log 2 3
2
1
log 2 P  log 2 5 2  log 2 4 2  log 2 33
log 2 P  log 2 5  log 2 16  log 2 27 
log 2 P  log 2 5  (log 2 (16.27))
log 2 P  log 2 5  log 2 432
 5 5
log 2 P  log 2  
 432   P  432
 
Função Logarítmica:
Função logarítmica é toda expressão do tipo:
b  0, b  1
y  logb f ( x ), onde 
f ( x )  0, x  D(f )
Resumidamente:
D = depende de f(x)
Im = depende de f(x)
Gráfico: sem nome especial
Uma das maneiras de trabalhar com função logarítmica supõe que primeiro
devemos transformá-la em função exponencial. Para isso, basta isolar x.
Veja em exemplo:

31. y  log2 ( x  2)  log2 ( x  2)  y  2y  x  2  x  2 y  2
No caso da função logarítmica, ao invés de escolhermos o valor de x e
calcularmos y, fazemos o contrário: escolhemos y e calculamos x.
y x  2y  2 Cálculo do valor de x
1 1 8  7
–2 –1,75 x  2 2  2   2    1,75
4 2 4
1 1 4  3
–1 –1,5 x  2 1  2   2    1,5
2 2 2
0 –1 x  2 0  2  1  2  1
1 0 x  21  2  2  2  0
2 2 x  22  2  4  2  2
Graficamente:
Função crescente, pois o gráfico é inclinado para cima.
Outros exemplos: (lembre-se de construir uma tabela para conferir as
figuras)
Construir o gráfico de y  log( x  3)
Construir o gráfico de y = log3(2 – x)

32. Derivadas
Observe a figura abaixo, que representa o gráfico da função y = f (x),
definida num intervalo real:
Na figura podemos observar que o coeficiente angular da reta secante à
curva nos pontos A e B, tem coeficiente angular dado por:
y f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h )  f ( x )
m  tg    .
x (x  h)  x h
f ( x  h)  f (x )
À expressão m  , chamamos razão incremental.
h

33. A bem da verdade, podemos observar que a razão incremental mede a
variação da função entre dois de seus pontos.
Na mesma figura, quando o incremento h tende a zero, o ponto B tende
a coincidir com o ponto A, ou seja, a reta que era secante à curva tende, agora, a
tangenciá-la. Nessa situação, poderíamos dizer, sem perda de generalidades, que
estaríamos mediante a variação imediata da função.
Nestas condições, podemos definir a derivada da função y = f(x) como
sendo o limite da razão incremental, quando h tende a zero, ou seja, a derivada da
função é determinada pela sua variação instantânea, isto é,
f (x  h )  f ( x)
f ' ( x )  lim .
h 0 h
Geometricamente, dizemos que a derivada de uma função determina o
coeficiente angular da reta tangente a uma curva em cada um dos seus pontos.
Exemplo: Calcular a equação da reta tangente à curva y  x 2 , no ponto
de abscissa x = 1.
Solução:
Para determinar a equação de uma reta é necessário conhecermos dois
de seus pontos ou um de seus pontos e o coeficiente angular da reta. Vamos optar
pela segunda possibilidade:
 ponto de tangência é dado por: se x = 1 então y = 12 = 1, logo Pt = (1,
1)
 para determinar o coeficiente angular vamos utilizar o limite da
razão incremental:
f ( x  h)  f ( x ) ( x  h)2  x 2
mt  f ' (x )  lim  lim
h 0 h h 0 h
2 2 2
x  2 xh  h  x h(2 x  h)
mt  lim  lim  lim (2 x  h)  2 x
h 0 h h 0 h h 0
como o ponto de tangência tem abscissa igual a 1, temos: m t  .1  2
 logo, a equação procurada é dada por:
y  1  2( x  1)  y  2x  1
O exemplo acima nada mais é do que a mais elementar entre as

34. aplicações do cálculo de derivadas.
Regras de derivação
Embora o cálculo apresentado não seja difícil de ser efetuado, por
vezes, pode ser muito trabalhoso. Para evitar trabalho braçal em excesso,
estudaremos as chamadas regras de derivação.
1. Derivada da função constante:
Se f ( x )  K , temos :
f ' (k )  0
2. Derivada da constante multiplicada por uma função qualquer:
Se f ( x )  Kg( x), temos :
f ' ( x )  k * g' (x )
3. Derivada da soma de duas funções:
A derivada da soma é a soma das derivadas.
4. Derivada da diferença de duas funções:
A derivada da diferença é a diferença das derivadas.
5. Derivada do produto de duas funções:
Se f ( x)  g( x ) * p( x ), temos :
f ' ( x )  g( x ) * p' ( x )  p( x ) * g' ( x )
6. Derivada do quociente de duas funções:

35. g( x )
Se f ( x) 
p( x )
g' ( x ) * p( x )  g( x ) * p' (x )
f ' (x ) 
g2 (x )
Portanto, a derivada do quociente de duas funções resulta no produto da
derivada primeira função vezes a segunda função do qual subtraímos o produto da
primeira função pela derivada da Segunda, em seguida, dividimos o resultado
obtido pela Segunda função elevada ao quadrado.
7. Derivada da potência de x:
Se f ( x )  x n , então
f ' ( x )  nx n 1
08. Derivada da função composta:
Sejam y  f (g( x )) .
y '  f ' (g( x )) * g' ( x )
10. Derivada de f(x) = log(f(x):
y  log(f ( x )
f ' (x)
y' 
f (x)
11. Derivada de f(x) = exp(x) = ex:
Se: y  e f ( x ) , então: y '  e f ( x ) * f ' (x )
12. Derivada de f(x) = ax:

36. Se: y  af ( x ) , então: y '  af ( x ) * f ' ( x ) * ln a
Tabela resumo de regras de derivação:
Função Derivada
K Zero
K.f K.f '
f g f 'g '
f .g f '.g  f .g '
f f '.g  f .g '
g g2
xn n.x n 1
f (g ) f ' (g ).g'
eu e u .u '
au ln a. a u .u '
1
log u ou ln u .u '
u
Derivadas de ordem superior
Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeira
de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada
segunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante.
Máximos e mínimos de função:
Os pontos em destaque na figura são chamados pontos extremos da
função.
Os pontos marcados como x1 e x3 são pontos de máximo relativos (ou
locais), enquanto que f(x1) e f(x 3) são valores máximos relativos. Já os pontos x 2 e
x4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou locais), enquanto que f(x 2) e f(x4)
são os valores mínimos relativos.

37. Observando bem a figura, é fácil compreender f é crescente para:
x < x1, x  ]x 2, x3[ e x > x4.
Da mesma forma, observa-se que a função é decrescente para:
x  ]x1, x 2[e x  ]x 3, x4[.
Os pontos extremos da função também podem ser chamados de pontos
críticos.
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x = c (do domínio de
f) para o qual f '(c) = 0.
Teorema de Fermat:
“Se uma função f possui um extremo (máximo ou mínimo) local em x = c
e a função f é derivável neste ponto, então x = c é um ponto crítico, isto é, f '(c) =
0”.
Regra da primeira derivada: seja f uma função derivável sobre um
conjunto S, possuindo um ponto crítico x = c no interior de S, isto é, f '(c) = 0. Se a
derivada de f é positiva à esquerda de x = c e é negativa à direita de x = c, então x
= c é um ponto de máximo para f. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x =
c e é positiva à direita de x = c, então x = c é um ponto de mínimo para f.
Exemplo: dada a função definida por y = 1 – x², definida em D = R, sabe-
se que sua derivada primeira é y' = –2x; anulando a derivada, o único ponto crítico
ocorre em x = 0. Então y' > 0 se x < 0 e y' < 0 se x > 0, nesse caso, x = 0 é um ponto
de máximo local para a função f.
Regra da segunda derivada: Para verificar se um ponto (que anula a
primeira de uma função) representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se
o teste da segunda derivada de segunda, isto é:
a) deriva-se a função;
b) iguala-se a derivada primeira a zero;
c) a regra em si: Seja a função f duas vezes diferenciável no intervalo
aberto I. Então, (i) se y’’ (segunda derivada) > 0 para todo x em I (intervalo),
então f possui mínimo. (ii) se y’’ < 0 para todo x em I, então f possui máximo.
Cálculo de diferenciais:

38. Definição: Se a função f é definida por y = f(x), então a diferencial de y,
no ponto x 0, denotada por dy ou df é dada por df = f’(x0)*∆x onde x0 pertence ao
domínio de f’ e ∆x é um incremento de x0.
Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcular
aproximadamente as variações de f, para pequenos valores de ∆x.
Considere a função: f (x )  3 x 2 , x 0  1 e x 0  x  1,01 . Calcular ∆f e df.
Resolução:
x  1,01  1  0,01 .
f  f ( x 0  x )  f (x 0 )
f  f (1,01)  f (1)
f  3 * 1,012  3 * 12
f  3 * 1,0201  3 * 1
f  3,0603  3
f  0 ,0603
Para calcularmos a diferencial de f no ponto x0 = 1 e ∆x = 0,01, teremos
f ' ( x )  6 x e f ' (1)  6 * 1  6
Assim, df  f ' ( x 0 ) * x  f ' (1) * 0,01  6 * 0,01  0,06
Portanto, f  0,0603 e df  0,06 .
Funções marginais:
Em Administração e Economia, dada uma função f(x), costuma-se
utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por
uma pequena variação de x. Chama-se função marginal de f(x) à função derivada
de f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função
receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
Função custo marginal
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certo
produto, com x ≥ 0 e C(x) ≥ 0. A função C é chamada de função custo total e temos

39. a seguinte definição: Se C(x) é o custo total de produção de x unidades de um
produto, então o custo marginal quando x = x0, é dado por C’(x0), caso exista. A
função C’(x) é chamada função custo marginal.
Suponhamos que C(x) seja o custo total de fabricação de x pares de
calçados da marca “Só no sapatinho” dado pela equação C(x) = 110 + 4x + 0,02x2.
Determinar o custo marginal quando x = 50.
1°) calcular a derivada da função C( x )  110  4 x  0,02x 2 :
C' ( x)  4  0,04 x e fazer x = 50:
C' (50)  4  0,04 * 50  6 .
A taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados são
fabricados, é R$ 6,00 por par fabricado.
O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é
C' (50)  C  C(51)  C(50)
C(51)  C(50)  (110  4 * 51  0,02 * 512 )  (110  4 * 50  0,02 * 50 2 )
C(51)  C(50)  366,02  360
C(51)  C(50)  6,02
Logo, C' (50) é o custo aproximado da produção do qüinquagésimo
primeiro par de calçado.
Portanto, o custo marginal quando x  50 é C' (50)  6 .
Função receita marginal
Suponha que R ( x ) seja a receita total obtida pela venda de x unidades
de um produto. Se R ( x ) é a receita obtida quando x unidades de um produto são
demandadas, então a receita marginal, quando x  x 0 , é dada por R ' ( x 0 ) , caso
exista. A função R ' ( x ) é chamada função receita marginal. R ' ( x 0 ) pode ser
positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação da
receita total quanto x  x 0 unidades são demandadas.
Assim, teremos, R ' ( x 0 )  R  R ( x 0  1)  R ( x 0 ) .
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da

40. receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x0 unidades.
Seja R ( x ) a receita total recebida na venda de x cadeiras, e
R ( x )  4 x 2  2000 x . Calcular a receita marginal para x = 40.
1°) a derivada da função R ( x )  4 x 2  2000x ,
R ' ( x )  8 x  2000 e aplicar ponto de abscissa x = 40:
R ' (40)  8 * 40  2000  1680
Como,
R ' (40)  R (41)  R (40)
R ' (40)  4 * 412  2000 * 41  (4 * 402  2000 * 40)
R ' (40)  75.276  73.600
R ' (40)  1.676
R ' (40) é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira
carteira.Portanto, a receita marginal quando x  40 é R ' (40)  1.680
Função produtividade marginal
Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade
x de um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal do
fator à derivada da função P em relação a x.
Seja P a quantidade (em toneladas) produzida por mês de certo produto
e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função
produção P( x )  1016 x . Determinar a produtividade marginal quando x = 64.
Calcula-se a derivada da função P( x )  1016 x
1
P( x )  1016 x  1016 x 2  1016x 0 ,5
então
508 508
P' (x )  1016 * 0,5 * x (0 ,5 1)  508x  0 ,5  
x 0 ,5 x
Calculando a produtividade marginal quando x = 64, teremos:
508 508
P' (64)    63,5
64 8

41. Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na
produção mensal será, aproximadamente, 63,5 toneladas.
Portanto, a produtividade marginal da função produção
P( x )  1016 x quando x = 64 é 63,5 toneladas.
Elasticidade
De forma geral, elasticidade é o tamanho do impacto que a alteração
em uma variável (ex.: preço) exerce sobre outra variável (ex.: demanda). A
elasticidade pode ser compreendida como sendo a alteração percentual de uma
variável, dada a alteração percentual em outra; elasticidade, então, se torna
sinônimo de “sensibilidade, resposta, reação” de uma variável, em face de
mudanças em outras variáveis.
Os economistas dizem que ma variável elástica responde bastante a
pequenas mudanças de outras variáveis. Já a variável inelástica não responde a
mudanças em outras variáveis.
Elasticidade da demanda:
A Elasticidade-Preço da demanda mede o aumento ou diminuição, em
porcenta- gem, da quantidade demandada devido a uma mudança percentual nos
preços, ou seja, mede o quanto a quantidade demandada por um bem muda devido
a uma mudança no preço daquele bem.
dq p
Para calcular a elasticidade, deve-se fazer: E  * .
dp q
Referências Bibliográficas:
ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 1 – Funções de uma variável. 6. ed., Rio de Janeiro:
LTC, 1994.
BIANCHINI, Edwaldo e PACOOLA, Herval. Matemática 1. São Paulo: Moderna, 1989.

42. BUSHAW, Donald (et. al.) Aplicações da matemática escolar. (trad.: Hygino H.
Domingues). São Paulo: Atual, 1997. (p. 214-5)
HUGHES-HALLETT, Deborah (et. al.). Cálculo e Aplicações. (trad.: Elza F. Gomide)
São Paulo: Edgard Blücher, 1999.
IEZZI, Gelson (et. al.) Matemática, 1ª série, 2º grau. , 14. ed., São Paulo: Moderna, 1991.
IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1:
conjuntos e funções. 7. ed., São Paulo: Atual, 1993.
LIMA. Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1985.
MARQUES, Paulo. [www.terra.com.br/educacão/matemática]
NETTO, Scipione di Pierro (et. al.). Elementos de Matemática – 1ª e 2ª séries –
núcleo comum, 2º grau. São Paulo: Scipione, 1979.
NETTO, Scipione di Pierro e ORSI Filho, Sérgio. Quanta – matemática para o ensino
médio. Volume 1 . 1. ed., São Paulo: Saraiva, 1999.
WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. ed., São Paulo:
Harbra, 1986.
Sites Relacionados
www.exatas.hpg.ig.com.br – o site apresenta diversos trabalhos de vários cursinhos
pré-vestibulares em funcionamento no Estado de São Paulo.
www.inep.gov.br – exercícios do ENEM (exame nacional do ensino médio) – o site
apresenta gabarito.
www.terra.com.br/educação/matemática – o site apresenta trabalho do Professor
Paulo Marques que, há alguns anos, inovou a discussão de testes de vestibular
através de página pessoal.
MÍDIA RELACIONADA
CD – Vestibulando – Editora Abril – Acompanha a revista de mesmo nome.
Ática Multimídia – Disquetes 3,5” – acompanham a Coleção: Matemática para o
segundo grau da Editora Ática.
Prova Simulada de Matemática - Disquetes 3,5” – acompanham a Coleção: De Olho

43. no Vestibular da Editora FTD.