Este documento presenta un resumen de un curso de Análisis Numérico. Explica la importancia de los métodos numéricos para resolver problemas que no tienen soluciones algebraicas exactas. Luego, detalla los objetivos generales y específicos del curso, e incluye varios ejemplos de problemas y sus posibles soluciones numéricas, como la interpolación polinomial, la solución de ecuaciones y sistemas, y la integración y diferenciación numérica. Finalmente, concluye destacando los principales temas que se cubrirán, como

1. Análisis Numérico
José Fuentes
Ciudad Universitaria, 7 de febrero de 2023

3. Outline
Contenidos
Importancia de los métodos numéricos
Teorı́a del Error
Conceptos básicos limite y convergencia.

4. Objetivo general
Reconocer el error numérico como un elemento inevitable en el uso de calculadoras y
computadoras.
Teorı́a del Error 24/75

5. Objetivos Especı́ficos
• Conocer los distintos sistemas de numeración los cuales sirven para contar, medir
y ordenar.
• Representar números reales en notación de punto flotante.
• Determinar la fuente de error en la aritmética de computadoras.
• Analizar el error de redondeo en la representación de cantidades dadas y su
propagación.
Teorı́a del Error 25/75

6. Ejemplos particulares.
Example (Encontrar el área)
Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y = sen(x), y = e( x)
con x 2 [0, ⇡]
Solution
Es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas de y = sen(x),
y = e( x), para lo cual debemos resolver la ecuación
2sen(x) = exp( x)
pero no disponemos de un método algebráico para hacerlo.
Teorı́a del Error 26/75

7. Teorı́a del Error 27/75

8. Ejemplos particulares.
Example (Cálculo de raı́ces)
Encontrar las raı́ces de la ecuación polinómica
x5
+ 11x4
21x3
10x2
21x 5 = 0
Solution
se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5, y como sabemos, solo se
conocen métodos algebraicos generales para encontrar raı́ces de ecuaciones
polinómicas de grado menor o igual que 4.
Teorı́a del Error 28/75

9. Teorı́a del Error 29/75

10. Ejemplos particulares.
Example (Sistemas lineales y no lineales)
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: El sistema lineal AX = b con
A =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
y b =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
3
2
2
2
1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Teorı́a del Error 30/75

11. Ejemplos particulares.
Example (Sistemas lineales y no lineales)
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
x2 + xy3 = 9
3x2y y3 = 4
Teorı́a del Error 31/75

12. Solution
tenemos 2 sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal y conocemos métodos de
solución (por ejemplo, el método de eliminación gaussiana), sin embargo para sistemas
de tamaño mayor, no solo es conveniente sino necesario implementar tales métodos a
través de la computadora (método numérico). En la parte b) tenemos un sistema no
lineal (Véase Figura 1.3) y no conocemos métodos algebraicos generales para resolverlo.
Teorı́a del Error 32/75

13. Teorı́a del Error 33/75

14. Ejemplos particulares.
Example (Interpolación)
Dada la siguiente tabla correspondiente a y = f (x),
xk -2 -1 0 1 2 3
f (xk) -5 1 1 1 7 25
encontrar el polinomio de menor grado que pase a través de los puntos dados.
Solution
se puede resolver analı́ticamente (por interpolación), sin embargo para determinar los
coeficientes de dichos polinomios existen técnicas que permiten encontrarlos
rápidamente y que pueden implementarse en la computadora (Véase Figura 1.4)
Teorı́a del Error 34/75

15. Teorı́a del Error 35/75

16. Ejemplos particulares.
Example (Evaluar Integrales)
1.
Z 1
0
sen(x)
x
dx
2.
Z 1
0
exp(x2
)dx
3.
Z ⇡/2
0
r
1
sen2(x)
4
dx
4.
Z 3
2
1
ln(x)
dx
Solution
Son ejercicios los cuales el integrando tiene anditderivada no elemental.
Teorı́a del Error 36/75

17. Ejemplos particulares.
Example (Solución de ED con valores iniciales )
Resolver el problema de valor inicial
d2✓
dt2
+
d✓
dt
+ 16sen(✓)
✓(0) =
⇡
4
, ✓0
(0) = 0
Solution
la ecuación diferencial ordinaria
2
Teorı́a del Error 37/75

18. Conclusiones acerca de la importancia del Análisis Numérico
Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de cinco grandes
temas en un primer curso de métodos numéricos:
• solución numérica de una ecuación no lineal en una variable,
• solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales,
• interpolación polinomial,
• diferenciación e integración numérica y
• solución numérica de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Teorı́a del Error 38/75

19. Gracias