Distribución normal presentación

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• Estadística

Características de la distribución
probabilística normal
• La curva normal tiene forma de campana con
un solo pico justo en el centro de la
distribución.
• La media, mediana y moda de la distribución
aritmética son iguales y se localizan en el pico.
• La mitad del área bajo la curva está a la
derecha del pico, y la otra mitad está a la
izquierda.
7-3

Características de la distribución
probabilística normal
• La distribución normal es simétrica respecto a
su media.
• La distribución normal es asintótica - la curva
se acerca cada vez más al eje x pero en realidad
nunca llega a tocarlo.
7-4

- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f ( x
r a l i t r b u i o n : m = 0 , s2 = 1 Características de una distribución normal
La media, mediana y
moda son iguales
La curva
normal es
simétrica
En teoría,
la curva se
extiende hasta
infinito
a

Distribución normal estándar
• Una distribución normal que tiene media
igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se
denomina distribución normal estándar.
• Valor z: la distancia entre un valor
seleccionado, designado como X, y la
población media m, dividida entre la
desviación estándar de la población s,
z =X -m
s
7-6

EJEMPLO 1
• El ingreso mensual que una corporación
grande ofrece a los graduados en IPN tiene una
distribución normal con media de $2000 y
desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor
z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno
de $1700?
• Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200
= 1.
7-7

EJEMPLO 1 continuación
• Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200
= - 1.5
• Un valor z igual a 1 indica que el valor de
$2200 es mayor que la desviación estándar de
la media de $2000, así como el valor z igual a
-1.5 indica que el valor de $1700 es menor que
la desviciación estándar de la media de $2000.
7-8

Áreas bajo la curva normal
• Cerca de 68% del área bajo la curva normal
está a menos de una desviación estándar
respecto a la media.
m ±1s
• Alrededor de 95% está a menos de dos
desviaciones estándar de la media.
• 99.74% está a menos de tres desviaciones
estándar de la media.
m ±2s
m ± 3s
7-9

- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f ( x
r a l i t r b u i o n : m = 0 , s2 = 1 Áreas bajo la curva normal
m
m +1s
m + 2s
m - 2s
m -1s m + 3s
m - 3s
Entre:
1.68.26%
2.95.44%
3.99.74%

EJEMPLO 2
• El consumo de agua diario por persona en el
Distrito Federal tiene una distribución
normal con media de 20 galones y
desviación estándar de 5 galones.
• Cerca de 68% del consumo de agua diario
por persona en New Providence está entre
cuáles dos valores.
• . Esto es, cerca de 68% del
m consumo ± 1s = 20 diario ± 1 (5).
de agua está entre 15 y 25
galones.
7-11

EJEMPLO 3
• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de
en el D.F. seleccionada al azar use menos de
20 galones por día?
• El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así,
P(X<20) = P(z<0) = .5
• ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones?
• El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X
= 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) =
P(0<z<.8) = 28.81%
7-12

- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f ( x
r a l i t r b u i o n : m = 0 ,
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(0 < z < .8)
= .2881
EJEMPLO 3
0 < X < .8

EJEMPLO 3 continuación
• ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre
18 y 26 galones?
• El valor z asociado con X = 18 es z = (18
-20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 =
1.2. Así, P(18<X<26)
= P(-.4<z<1.2) = .
1554 + .3849 = .5403
7-14

7-15
EJEMPLO 4
• La profesora Aura determinó que el promedio final
en su curso de estadística tiene una distribución
normal con media de 72 y desviación estándar de
5. Decidió asignar las calificaciones del curso de
manera que 15% de los alumnos reciban una
calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo
que un alumno puede tener para obtener una A?
• Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de
manera que P(X > X) = .15. El valor z
correspondiente es 1.04. Así se tiene
(X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2

-
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f ( x
r a l i t EJEMPrLbOu 4i o n : m = 0 , s 2 = 1
Z=1.04
15%
0 1 2 3 4

7-17
EJEMPLO 5
• La cantidad de propina que un mesero recibe por
turno en un restaurante exclusivo tiene una
distribución normal con media de $80 y desviación
estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal
srvicio si el total de sus propinas del turno es menor
que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya
dado un mal servicio?
• Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con
X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P(X<65) =
P(z<-1.5) =.5 - .4332 = .0668.

Aproximación normal a la binomial
• Utilizar la distribución normal (una distribución
continua) como sustituto de una distribución
binomial (una distribución discreta) para valores
grandes de n, parece razonable porque conforme
n aumenta, una distribución binomial se acerca
más a una distribución normal.
• La distribución de probabilidad normal, en
general, se considera una buena aproximación a
la binomial cuando
• n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.
p p
7-18

Aproximación normal continuación
• Recuerde el experimento binomial :
· existen sólo dos resultados mutualmente excluyentes
(éxito o fracaso) en cada ensayo.
· una distribución binomial es el resultado de contar el
número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.
· cada ensayo es independiente.
· la probabilidad es fija de un ensayo a otro, y el
número de ensayos n también es fijo.
7-19

Distribución binomial para n igual a 3 y 20,
donde p =.50
7-20
n=20
0.2
0.15
0.1
0.05
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
n ú m e r o d e e v e n t o s
P(x)

Factor de corrección por continuidad
• El valor .5 se resta o se suma, dependiendo
del problema, a un valor seleccionado cuando
una distribución de probabilidad binomial
(una distribución discreta) se aproxima por
una distribución de probabilidad continua (la
distribución normal).
7-21

EJEMPLO 6
• Un estudio reciente de una compañía de
investigación de mercados mostró que 15% de
las casas en la Delegación Benito Juárez, D.F.
poseen una cámara de video. Se obtuvo una
muestra de 200 casas.
• De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se
espera que tengan una cámara de video?
m = np = (.15)(200) = 30
7-22

s2 =np(1-p) =(30)(1-.15) =25.5
s= 25.5 =5.0498
EJEMPLO 6
• ¿Cuál es la varianza?
• ¿Cuál es la desviación estándar?
• ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40
casas de la muestra tengan cámara de video?
Se necesita P(X<40) = P(X< 39). Así, Al usar
la aproximación normal,
P(X<39.5) »
P[z (£
39.5-30)/5.0498] =
P(z £
1.8812) P(z<1.88)=.5+.4699 +.9699
7-23

- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f ( x
r a l i t r b u i o n : m = 0 , s2 = 1 EJEMPLO 6
0 1 2 3 4
P(z = 1.88)
.5 + .4699
= .9699
z = 1.88

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