1. Investigación de
operaciones II
Teorías de cola
Jorge Velasquez
24.414.853

3. • Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS,
son realidades cotidianas:
•Personas esperando para realizar sus transacciones
ante una caja en un banco,
•Estudiantes esperando por obtener copias en la
fotocopiadora,
•Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje
o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,
•Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la
demanda del servicio y la capacidad del sistema para
suministrarlo.
Cola
s

4. • Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad
tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan:
– la longitud de la línea de espera,
– el promedio de tiempo de espera
y otros factores como:
– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,
Los Análisis de Colas ayudan a entender el
comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención
de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento
y reparación de maquinaria, el control de las operaciones
en planta, etc.).
Cola
s

5. • Desde la perspectiva de la Investigación
de Operaciones, los pacientes que
esperan ser atendidos por el odontólogo o
las prensas dañadas esperando
reparación, tienen mucho en común.
• Ambos (gente y máquinas) requieren de
recursos humanos y recursos
materiales como equipos para que se
los cure o se los haga funcionar
nuevamente.
Cola
s

6. COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser
corridos
Proceso de datos
Compañía de
teléfonos
Llamadas Efectuar
comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga
Cola
s

7. Características de una LINEA DE ESPERA
CARACTERISTICAS DE ARRIBOº
• DISTRIBUCION DE POISSON:
• P(x) = Probabilidad de x arribos
• .x= número de arribos por unidad de tiempo
∀ λ = rata promedio de arribo
.e = 2.71828
P(x)=
e−λ
λx
x !
parax=0,1,2,3,4 ,...
Cola
s

8. TEORIA DE COLAS
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRI BUCI ON DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ = 2
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cola
s

9. Proceso de nacimiento y muerte
• Los llamados procesos de nacimiento y
muerte describen una gran diversidad de
situaciones prácticas cuya característica
principal consiste en la aparición y/o
desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.
• Si N(t) expresa el número total de entes que
componen la población al tiempo t, entonces
N(t) puede sufrir cambios crecientes o
decrecientes de magnitud 1 en un instante
infinitesimal de tiempo
Cola
s

10. • Para calcular la probabilidad de estado es
preciso tener en cuenta:
– El proceso de llegada de los paquetes
– La distribución de duración de los paquetes
– La política de servicio
• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)
• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)
Teoría de Colas
Cola
s

11. Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
Cola
s

12. X X , x , X , X, X
PATRON de LLEGADAS
M: Markoviano
G : General
E : Erlang
PATRON del SERVICIO
M: Markoviano
G : General
E: Erlang
NUMERO
SERVIDORES
1: un servidor
s: s servidores
en paralelo
TAMAÑO
POBLACION
: Infinita
P : Finita
8
TAMAÑO COLA
: Infinita
K : Finita
8
DISCIPLINA
DE SERVICIO
DG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
Clasificación de Kendall y Lee
s

13. Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a Distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas de las transacciones
b Distribuciones de probabilidad del tiempo de
servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
D : constante
Ek: distribución Erlang con parámetro k
G : cualquier tipo de distribución
GI: distribución general independiente
H : distribución hiperexponencial
M : distribución exponencial
s

14. Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores
d orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
FIFO : primeras entradas, primeros servicios
LIFO : últimas entradas, primeros servicios
SIRO : orden aleatorio
PR : con base en prioridades
GD : en forma general
e número máximo de clientes que soporta el
sistema en un mismo instante de tiempo
f número de clientes potenciales del sistema de
líneas de espera
Cola
s

15. • Se pueden obtener los valores siguientes:
– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema
– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC
– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema
LES
– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la
cola TEC
– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el
sistema antes de ser atendido TES
– Número promedio de canales en servicio inactivos en el
sistema NCI
– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar
– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola
o en el sistema más de un tiempo t
– Número promedio de paquetes atendidos
Objetivos de los modelos de colas
Cola
s

16. TEORIA DE COLAS
Medición del Rendimiento de las Colas
• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar
decisiones para balancear los costos de servicio deseables
con los costos de espera en la línea.
• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la
cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de
clientes en el sistema.
Cola
s

17. Medidas de desempeño
Medidas de desempeño:
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
s

18. Modelo Monoservidor
• Los paquetes son “clientes” formando
cola en espera del servicio
λ
μ
Llegada de
paquetes
Salida de
paquetes
Servidor
Área de
almacenamiento
temporal
Modelo de cola en un servidor único
Cola
s

19. • Ejemplos de modelos de un solo
servidor:
– Taquilla de Pago CANTV
– Caja de UNITEC
– Cafetin
– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)
Cola
s
Modelo Monoservidor

20. • Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad
promedio de:
λ paquetes/unidad−de−tiempo
Forman una cola en espera de servicio en el área de
almacenamiento temporal y luego, con alguna política
de servicio especificada, son atendidos a razón de un
promedio de
μ paquetes/unidad−de−tiempo
Cola
s
Modelo Monoservidor

21. • La cola empieza a formarse cuando:
λ → μ
λ Llegada de paquetes
μ Capacidad de transmisión del paquete
Para un área de almacenamiento temporal
finita, la cola llegaría a saturación cuando
exceda . Cuando el área de almacenamiento
temporal se satura, se bloquean las llegadas
de todos los paquetes.
λ
μ
Cola
s
Modelo Monoservidor

22. • Un parámetro crítico en el análisis de la
teoría de formación de colas es: Utilización o
intensidad de tráfico en el enlace ρ
Es la razón entre la carga y la capacidad
del sistema
ρ
Para el caso de un solo servidor se presenta
congestión cuando:
ρ
¿ 1¿
ρ→1
ρ≡
λ
μ
Cola
s
Modelo Monoservidor

23. Zapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.
El tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
cliente.
La gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.
Elementos a estudiar en las
COLAS

24. Ejemplo
• Un peluquero atiende sus clientes sin cita
previa, el primero en llegar es el primero en
ser atendido. La llegada de los clientes se
distribuye de acuerdo con un proceso de
Poisson con un promedio de 5/hora. Los
clientes prefieren esperar el tiempo necesario
antes de ser atendidos. El tiempo de corte del
cabello está exponencialmente distribuido
con un tiempo de corte promedio de 10
minutos.
• ¿Cual es el número promedio de clientes en
el negocio y el número promedio de personas
esperando a ser atendidas?
Cola
s

25. Ejemplo Cont...
λ=
5
hora
μ=
1
10 min
X
60min
1hora
=
6
hora
ρ=
λ
μ
=
5
6
LES=
ρ
1−ρ
LES=5
LES=
5
6
1−
5
6
Elementos a estudiar en las
COLAS

26. Ejemplo Cont...
LEC=
λ2
μ(μ−λ)
LEC=
5
6
• La probabilidad de que los clientes no deban
esperar antes de ser atendidos es P0
P0=1−
λ
μ
Elementos a estudiar en las
COLAS

27. • Esta probabilidad es:
P0=1−
5
6
=0.1666
Ejemplo Cont...
Esto indica que el 16.7% de los clientes
son atendidos sin hacer cola y el 83.3%
deben esperar algún tiempo en la cola
antes de pasar a la silla del peluquero.
Elementos a estudiar en las
COLAS

28. • Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y
el dueño desea conocer qué porcentaje
de clientes que esperan deben hacerlo
parados. La probabilidad de no encontrar
silla es:
Ejemplo Cont...
P5+ P6+ P7+ ...+= ∑
n=5
∞
Pn=0.405
Elementos a estudiar en las
COLAS

29. • El 40% del tiempo los clientes no
encuentran silla disponible.
• Cuánto debe el cliente esperar en
promedio en la cola y en el sistema,
está dado por la formulas y LEC y LES
Ejemplo Cont...
LEC=
λ2
μ(μ−λ)
LES=
ρ
1−ρ
En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de
60 minutos respectivamente.
Elementos a estudiar en las
COLAS