2. Suma, Resta y Valor
Numérico de expresiones
algebraicas
SUMA
Para sumar dos o mas
expresiones algebraicas con
uno o mas términos, se
deben reunir todos los
términos semejantes que
existan, en uno solo. Se
puede aplicar la propiedad
distributiva de la
multiplicación con respecto
de la suma.
Ejemplo 1:
5x – 11y – 9 + 20x - 1 – y
Solución: agrupamos términos
5x + 20x – 11y – y - 9 – 1
Sumamos y restamos los términos
25x – 12y - 10
Ejemplo 2:
-81x + 19y - 30z + 6y + 80x + x – 25y
Solución: agrupamos términos semejantes
-81x + 80x + x + 19y + 6y – 25y – 30z
Sumamos y restamos los términos
0x + 0y – 30z
Resultado final es
-30z
RESTA
Con la resta algébrica
sustraemos el valor de
una expresión
algébrica de otra. Por
ser expresiones.
3. Valor
numérico
El valor numérico de una
expresión algebraica, para
un determinado valor, es el
numero que se obtiene al
sustituir en esta por el
valor numérico dado y
realizar las operaciones
indicadas.
Ejemplo 1:
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para:
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, m = ½, n = 2/3, p = ¼
2(
1
2
) + 3(
2
3
) 4(
1
4
) + (2)2
=
2
2
+
6
3
4
4
+ 4
Solución: sustituimos valores
𝑏 − 𝑚 𝑐 − 𝑛 + 4𝑎2 = 2 −
1
2
3 −
2
3
+ 4(1)2 =
4 − 1
2
9 − 2
3
+ 4(1)
=
3
2
7
3
+ 4 =
21
6
+ 4
=
21 + 24
6
𝑏 − 𝑚 𝑐 − 𝑛 + 4𝑎2
2𝑚 + 3𝑛 4𝑝 + 𝑏2
Ejemplo 2:
Resolvemos:
=
45
6
= 1 + 2 1 + 4 = 3 5 = 15
4. multiplicación
Es una operación
matemática que consiste
en obtener un resultado
llamado producto a partir
de dos factores
algebraicos llamadas,
multiplicando y
multiplicador.
Multiplicación y división de
expresiones algebraicas
Ejemplo 1: multiplicar − 4𝑎2𝑏 𝑝𝑜𝑟 − 𝑎𝑏2
Solución: −4𝑎2
𝑏 𝑥 −𝑎𝑏2
= 4𝑎2+1
. 𝑏1+2
= 4𝑎3
𝑏3
Ejemplo 2: multiplicar 8𝑥2
𝑦 − 3𝑦2
𝑝𝑜𝑟 2𝑎𝑥2
Solución: 8𝑥2
𝑦 − 3𝑦2
𝑥 2𝑎𝑥3
= 8𝑥2
𝑦 2𝑎𝑥3
− 3𝑦2
2𝑎𝑥3
= 16𝑎𝑥2+3
𝑦 − 6a𝑥3
𝑦2
= 16𝑎𝑦𝑥5
− 6𝑎𝑦2
𝑥3
5. División
La división de expresiones
algebraicas consta de las mismas
partes que la división aritmética,
así que hay dos expresiones
algebraicas, P(x) dividiendo, Q(y)
siendo el divisor, de modo que el
grado de P(x) sea mayor o igual a 0
siempre hallaremos a dos
expresiones algebraicas
dividiéndose.
Ejemplo 1: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 14𝑎3
𝑏4
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 2𝑎𝑏2
Solución:
14𝑎3
𝑏4
−2𝑎𝑏2
= −7𝑎3−1𝑏4−2 = −7𝑎2𝑏2
Ejemplo 2: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 6𝑚8
− 8𝑚2
𝑛 + 20𝑚𝑛2
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 2𝑚
Solución:
6𝑚8
− 8𝑚2
𝑛 + 20𝑚𝑛2
−2𝑚
=
6𝑚8
−2𝑚
−
8𝑚2
𝑛
−2𝑚
+
20𝑚𝑛2
−2𝑚
= −3𝑚8−1
+ 4𝑚2−1
𝑛 − 10𝑚1−1
𝑛2
= −3𝑚7 + 4𝑚𝑛 − 10𝑛2
6. Producto
notable
Es el nombre que reciben multiplicaciones
con expresiones algebraicas cuyo resultado
se pueden escribir mediante simple
inspección, sin verificar la multiplicación
que cumple ciertas reglas fijas.
Cada producto notable corresponde a una
forma de factorización
Simplificación
de fracciones
algebraicas
Para simplificar una
fracción algebraica se
divide el numerador y el
denominador de la fracción
por un polinomio que sea
factor común de ambos.
2𝑥 + 3𝑦 2
Ejemplo 1: escribir el resultado de
Solución:
2𝑥 + 3𝑦 2 = 2𝑥 2 + 2 2𝑥 3𝑦 + (3𝑦)2
= 22
𝑥2
+ 4𝑥 3𝑦 + 32
𝑦2
= 4𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 32
𝑦2
Ejemplo 2: desarrollar (𝑛 − 4)3
Solución: (𝑛 − 4)3
= 𝑛3
− 3𝑛2
4 + 3𝑛 4 2
− 43
= 𝑛3
− 12𝑛2
+ 48𝑛 − 64
3𝑎𝑏
2𝑎2𝑥 + 2𝑎3
=
3𝑎𝑏
2𝑎2(𝑥 + 𝑎)
=
3𝑏
2𝑎(𝑥 + 𝑎)
Solución:
Ejemplo 1: Simplificar
𝑚2
+ 𝑛2
𝑚4 − 𝑛4
Solución:
Ejemplo 2: Simplificar
𝑚2
+ 𝑛2
𝑚2 2 − 𝑛2 2
=
(𝑚2
+ 𝑛2
)
(𝑚2 + 𝑛2)(𝑚2 − 𝑛2)
=
1
𝑚2 − 𝑛2
7. Suma y resta
de fracciones
algebraicas
Para sumar o restar fracciones
algebraicas se procede de igual
manera que con las fracciones
aritméticas: se encuentra el
mínimo común denominador y
se realizan las operaciones de
forma similar.
Ejemplo 1:
1
𝑎 + 1
+
1
𝑎 − 1
Solución:
𝑎 − 1 + (𝑎 + 1)
(𝑎 + 1)(𝑎 − 1)
=
𝑎 − 1 + 𝑎 + 1
(𝑎 + 1)(𝑎 − 1)
=
2𝑎
𝑎 + 1 𝑎 − 1
=
1
𝑎 + 1
+
1
𝑎 − 1
=
2𝑎
𝑎2 − 1
Ejemplo 2:
2
𝑥 + 4
+
1
𝑥 − 3
2
𝑥 + 4
+
1
𝑥 − 3
=
2 𝑥 − 3 + (𝑥 + 4)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
=
2𝑥 − 6 + 𝑥 + 4
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
=
3𝑥 − 2
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
=
2
𝑥 + 4
+
1
𝑥 − 3
=
3𝑥 − 2
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
Solución:
9. Multiplicación
de fracciones
División de
fracciones
Para multiplicar 2 fracciones algebraicas se
multiplican numerador con numerador y
denominador con denominador con cada una
de ellas. Para no manipular expresiones tan
largas, si es posible se debe simplificar cada
una de las fracciones antes de efectuar los
productos. Como en las sumas y en las
restas, hay que tener en cuenta los (0) en los
denominadores.
Para dividir fracciones
algebraicas se intercambia
el numerador y el
denominador de la fracción
que este a la derecha del
signo de división se
procede como en la
multiplicación.
2𝑎2
3𝑏
𝑥
6𝑏2
4𝑎
Ejemplo 1:
2𝑎2
3𝑏
𝑥
6𝑏2
4𝑎
=
𝑎
1
𝑥
𝑏
1
Solución:
2𝑎2
3𝑏
𝑥
6𝑏2
4𝑎
= 𝑎𝑏
𝑥2𝑦
5
𝑥
10𝑎3
3𝑚2
𝑥
9𝑚
𝑥3
=
𝑦
1
𝑥
2𝑎3
𝑚
𝑥
3
𝑥
=
𝑥2
𝑦
5
𝑥
10𝑎3
3𝑚2 𝑥
9𝑚
𝑥3 =
6𝑎3
𝑦
𝑚𝑥
Ejemplo 2:
Ejemplo 1: 𝑥2
3𝑦2 ÷
2𝑥
𝑦3
Solución: 𝑥2
3𝑦2
÷
2𝑥
𝑦3
=
𝑥2
3𝑦2
𝑥
𝑦3
2𝑥
𝑥2
3𝑦2
÷
2𝑥
𝑦3
=
𝑥
3
𝑥
𝑦
2
𝑥2
3𝑦2 ÷
2𝑥
𝑦3 =
𝑥𝑦
6
Ejemplo 2:
3𝑎2
𝑏
5𝑥2
÷ 𝑎2𝑏3
Solución:
3𝑎2𝑏
5𝑥2
÷ 𝑎2𝑏3 =
3𝑎2𝑏
5𝑥2
×
1
𝑎2𝑏3
3𝑎2
𝑏
5𝑥2
÷ 𝑎2𝑏3 =
3
5𝑥2
×
1
𝑏2
3𝑎2
𝑏
5𝑥2
÷ 𝑎2𝑏3 =
3
5𝑏2𝑥2
11. Factorización
por Ruffini
Este método consiste en
seleccionar una posible raíz de
polinomio dado y formar una tabla;
en el momento en el que el
resultado de la tabla sea 0
habremos culminado; si no ocurre
esto, entonces debemos intentarlo
con otra posible raíz.
Ejemplo 1: 𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 − 1
Solución:
𝐸𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 1
𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 𝑠𝑜𝑛 1 𝑦 − 1
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑃 1 = 13 + 12 − 1 − 1 = 1 + 1 − 1 − 1 = 0: 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎;
𝑥 − 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑃(𝑥)
𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎:
1 1 − 1 − 1 1
1 2 1
1 2 1 0
𝑥2
+ 2𝑥 + 1 ∶ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜}
𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 (𝑥 + 1)2
12. Suma y resta
de radicales
Para sumar o restar
radicales es necesario que
tengan el mismo índice y
el mismo radicando,
cuando esto ocurre se
suman o restan los
coeficientes y se deja el
radical.
Radicación
Es el proceso de hallar
raíces de orden (n) de un
numero (a) de modo que
se verifica que
𝑛
𝑎 = x,
donde (n) es llamado
índice u orden, (a) es
llamado radicando y (x)
es una raíz enésima.
Ejemplo 1:
Solución:
Solución:
Ejemplo 2:
18
18 = 32𝑥2 = 32 × 2
18 = 3 2
3 48
3 48 = 3 42 × 3 = 3 42 × 3 = 3 × 4 3
3 48 = 12 3
3
54 −
3
24 −
3
16
Descomponemos las
cantidades subradicales en
sus factores primos; t los
escribimos en potencias cuyos
exponentes sean múltiplos del
grado del radical (índice de la
raíz):
Se sacan los factores cuyos exponentes sean múltiplos del
índice de la raíz, dividiendo el exponente por el índice:
3
54 −
3
24 −
3
16 = 3
3
2 − 2
3
3 − 2
3
2
2
54 −
3
24 −
3
16 =
3
2 − 2
3
3 reduciendo los
radicales
semejantes
3
54 −
3
24 −
3
16 =
3
2 × 33 −
3
23 × 2 −
3
23 × 2
Ejemplo 1:
Solución:
13. Ejemplo 2:
Solución:
3
40 +
3
1029 −
3
625 =
3
23 × 5 +
3
73 × 3 −
3
53 × 5
Descomponemos las cantidades subradicales en sus
factores primos, y los escribimos en potencias cuyos
exponentes sean múltiplos del grado del radical (índice de
la raíz):
Se sacan los factores cuyos exponentes sean múltiples del
índice de la raíz, dividiendo el exponente por el índice:
3
40 +
3
1029 −
3
625 = 2
3
5 + 7
3
3 − 5
3
5
3
40 +
3
1029 −
3
625 = 7
3
3 − 3
3
5
reduciendo los
radicales
semejantes
3
40 +
3
1029 −
3
625
