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PROBABILIDADES




Prof. Johnny Montenegro Molina   www.jmontenegro.wordpress.com
Unidad 2. Teoría Elemental
de Probabilidades
 Con esta teoría se estudia fenómenos
  naturales con el fin de descubrir regularidades
  en la ocurrencia de los mismos.

 Sus fundamentos aunque parezca extraño se
  basó en un inicio en el estudio de los juegos al
  azar (dados, cartas, ruletas, etc), así comenzó
  esta ciencia en la Francia Monárquica.

    Prof. Johnny Montenegro Molina   www.jmontenegro.wordpress.com
 Sus aplicaciones hoy día abundan desde
     ramas de las ciencias como por ejemplo en la
     genética      mendeliana,     genética     de
     poblaciones, análisis de experimentos,
     predicciones del tiempo, predicción de ataque
     de plagas, etc.

    En    nuestra    vida  diaria      aplicamos
     inconscientemente probabilidades cuando
     compramos un billete de lotería o llevamos
     un paraguas cuando vemos el cielo nublado.


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Términos Básicos.
    Experimento: Es el proceso que permite
       obtener una o varias observaciones.

    Espacio Muestral “S” ó “Ω ”: Todos los posibles
       resultados de un experimento.

    Evento “A”: Algún resultado del experimento
       que nos interesa.



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Ejemplos:

        Experimento: tirar un dado.
               Espacio muestral “ Ω”= (1, 2, 3, 4, 5, 6)
               Evento “A” = sale 3.

        Experimento: tirar dos veces una moneda.
               Espacio muestral “ Ω”= (s-s, s-c, c-c, c-s)
               Evento “A” = ocurre (s-c).


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 Probabilidades: La probabilidad de un
     evento “A” se define como la frecuencia
     relativa de “A” en el espacio muestral
     “Ω”y se denota como P(A).



    Por ejemplo, supongamos que en un
     municipio hay 64 trabajadores que
     fabrican adoquines de forma manual y
     16 con una máquina.
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 En este caso hay 2 eventos: Fabricación
   manual y con máquinas y existe la P(ma) y la
   P(mq) asociados a la frecuencia de ocurrencia
   de cada evento.
  La probabilidad que al elegir un adoquín al
   azar y que este fue elaborado de forma
   manual P(ma) es de 64/80 = 0.80 ó 80 %

   P(A) = # casos favorables / # casos Totales de Ω= #A / # elementos de Ω



  Se debe considerar que la P(A) se hace más real en la medida el número de
  elementos de se hace más grande .

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Propiedades de la Probabilidad
 0 ≤ P(A) ≤    1
 El evento A es más probable que B P(A) ≥ P(B)


 Un Evento cierto, que seguramente ocurre,
    tiene probabilidad 1.

 Un Evento imposible, que nunca ocurrirá, tiene
  probabilidad 0.



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Regla del producto.
      Si dos evento “A” y “B” son independientes, si “A” no
         influye de ninguna manera en “B” y viceversa. La
         probabilidad que los eventos independientes “A”y
         “B” ocurran al mismo tiempo es P(A y B) = P(AB) =
         P(A) x P(B)
     
      Por ejemplo si la Probabilidad de obtener cara al
         arrojar una moneda es 0.5, P(cara) = 0.5, la
         probabilidad que al arrojar dos veces la moneda
         salgan dos caras, ya que ambos eventos son
         independientes, uno no influye sobre otro, la P(cara,
         cara) es de “0.5 x .05 = 0.25”

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 Una paradoja es que una persona que
      compra todas las semanas la lotería,
      para un sorteo dado, tiene la misma
      probabilidad de sacar el premio mayor
      que una persona que compró un
      número por primera vez.




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Ejercicio :
  Estimar la probabilidad que al elegir por sorteo dos
     estudiantes del grupo, ambos sean varones.
     Determinar también cuales eventos forman “Ω” es
     este caso.

  Si los sucesos son independientes: P(A) x P (B) es
     igual p(A B)

  Otro enfoque de mirar independencia es, dos
     eventos A y B son independientes si y sólo si:
     P(AB) = P(A) y P (BA) = P(B) o, que es lo mismo:
     P(A B) = P(A) x P(B)
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Regla de la Suma.
   Para que dos eventos “A” y ”B” se puedan sumar
      directamente, estos deben se incompatibles, es
      decir ellos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
      P(A∩B) = 0

   La probabilidad que ocurra “A” ó “B” para eventos
      incompatibles “A” y “B” es P(A ó B) = P (A) + P (B)
      = P(AU B)

   Si los eventos no son incompatibles P(AUB) = P
      (A) + P (B) - P(A∩B). Esta sería la regla general de
      la suma de probabilidades.
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 En el ejemplo de arrojar dos veces una
      moneda al aire, la probabilidad que
      salga una vez cara y el otro sol sin
      importar el orden, es la probabilidad de
      los eventos “cara, sol” y “sol, cara”.

     Debido a que son cuatro los eventos
      posibles “Ω”= cara–cara, sol–cara,
      cara–sol y sol-sol y cada uno con igual
      probabilidad, cada uno de esto eventos
      tiene una P= 0.25, de ocurrencia.
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 Por lo tanto la ocurrencia de
          “cara-sol” más “sol – cara”es de “P
          (c, s) + P (s,c)”), que en valore de
          probabilidades es de P (0.25) + P
          (0.25) = 0.5
                                 CARA          SOL




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Ejercicio
   En la matricula de primer año de la
    universidad, 150 estudiantes son
    originarios del departamento de Estelí,
    60 estudiantes del departamento de
    Nueva Segovia y 100 estudiantes del
    resto del país. ¿Cuál es la probabilidad
    que un estudiante tomado al azar no sea
    del departamento de Estelí?

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Probabilidad condicionada
     Como la probabilidad está ligada a
      nuestra ignorancia sobre los resultados
      de la experiencia, el hecho de que ocurra
      un suceso, puede cambiar la
      probabilidad de los demás. El proceso
      de realizar la historia de un caso,
      explorar y realizar pruebas
      complementarias ilustra este principio.

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 La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha
       ocurrido el suceso B, “P (AB)”, se denomina
       probabilidad condicionada y se define.

                                     Si p (B) ≠ 0

    La condición que P(B) > 0, esto es necesario para
     una buena definición de probabilidad condicional.
     Es de notar que si A y B son sucesos
       independientes, la P(AB) es igual a la P(A).

    De lo anterior se deduce que:
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Ejemplo:
       Se conoce que a los estudiantes de la UNI
          tienen las siguientes preferencias en el
          consumo de gaseosas:
      Consumo de
      Gaseosas por               Varones         Mujeres Total
      semana
      No consume                            30         10         40
      1-5 veces                             50         25         75
      Más de 5 veces                        20         15         35
      Total                                100         50       150

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 Si de un grupo de jóvenes del bar de la
      universidad,   se selecciona al azar un
      estudiante varón ¿Cuál es la probabilidad
      que ese que ese joven halla consumido más
      de 5 gaseosas por semana?

     En este problema ya no es necesario
      conocer el número total de estudiantes,
      porque al seleccionar a un individuo del sexo
      masculino, los individuos del sexo femenino
      no son tomados en cuenta.

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 Entonces se puede definir la probabilidad
         deseada como ¿Qué probabilidad existe de
         que un individuo beba más de 5 gaseosas a la
           semana dado que el individuo seleccionado
           sea varón? Esta es una probabilidad
           condicional y se resuelve de la siguiente
           manera:



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 P(C+5Sv) =                 (20/150) / 100/150) =
  20/100= 0.2, donde “C” es por consumo y “S” por
  sexo.
 Ejercicio
 Si se tiene una escuela de 200 alumnos
  distribuidos en tres aulas y por sexo: mujer M, y
  varón, V; como sigue:
                   Aula/ Sexo        Varón   Mujer
                   A                 20      20

                   B                 30      30

                   C                 56      44

                   Total             106     94
PREGUNTAS:

        ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante,
         sin importar el sexo, sea del aula B?

        ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante
           sea del aula A, si el estudiante es mujer?




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Ejercicio
      En un aula hay 6 estudiantes realizando un
       examen, dos son mujeres y cuatro son varones.
       ¿Cuál es la probabilidad que finalice una mujer
       de segunda dado que el primero en finalizar
       fue un hombre?
      Si la solución es:


      ¿Explicar cómo se construyeron los valores
         8/30 y 4/6?


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GRACIAS Y ÉXITOS




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Probabilidades D9

  • 1. PROBABILIDADES Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 2. Unidad 2. Teoría Elemental de Probabilidades  Con esta teoría se estudia fenómenos naturales con el fin de descubrir regularidades en la ocurrencia de los mismos.  Sus fundamentos aunque parezca extraño se basó en un inicio en el estudio de los juegos al azar (dados, cartas, ruletas, etc), así comenzó esta ciencia en la Francia Monárquica. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 3.  Sus aplicaciones hoy día abundan desde ramas de las ciencias como por ejemplo en la genética mendeliana, genética de poblaciones, análisis de experimentos, predicciones del tiempo, predicción de ataque de plagas, etc.  En nuestra vida diaria aplicamos inconscientemente probabilidades cuando compramos un billete de lotería o llevamos un paraguas cuando vemos el cielo nublado. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 3/24
  • 4. Términos Básicos.  Experimento: Es el proceso que permite obtener una o varias observaciones.  Espacio Muestral “S” ó “Ω ”: Todos los posibles resultados de un experimento.  Evento “A”: Algún resultado del experimento que nos interesa. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 5. Ejemplos:  Experimento: tirar un dado. Espacio muestral “ Ω”= (1, 2, 3, 4, 5, 6) Evento “A” = sale 3.  Experimento: tirar dos veces una moneda. Espacio muestral “ Ω”= (s-s, s-c, c-c, c-s) Evento “A” = ocurre (s-c). Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 6.  Probabilidades: La probabilidad de un evento “A” se define como la frecuencia relativa de “A” en el espacio muestral “Ω”y se denota como P(A).  Por ejemplo, supongamos que en un municipio hay 64 trabajadores que fabrican adoquines de forma manual y 16 con una máquina. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 7.  En este caso hay 2 eventos: Fabricación manual y con máquinas y existe la P(ma) y la P(mq) asociados a la frecuencia de ocurrencia de cada evento.  La probabilidad que al elegir un adoquín al azar y que este fue elaborado de forma manual P(ma) es de 64/80 = 0.80 ó 80 % P(A) = # casos favorables / # casos Totales de Ω= #A / # elementos de Ω Se debe considerar que la P(A) se hace más real en la medida el número de elementos de se hace más grande . Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 8. Propiedades de la Probabilidad  0 ≤ P(A) ≤ 1  El evento A es más probable que B P(A) ≥ P(B)  Un Evento cierto, que seguramente ocurre, tiene probabilidad 1.  Un Evento imposible, que nunca ocurrirá, tiene probabilidad 0. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 9. Regla del producto.  Si dos evento “A” y “B” son independientes, si “A” no influye de ninguna manera en “B” y viceversa. La probabilidad que los eventos independientes “A”y “B” ocurran al mismo tiempo es P(A y B) = P(AB) = P(A) x P(B)   Por ejemplo si la Probabilidad de obtener cara al arrojar una moneda es 0.5, P(cara) = 0.5, la probabilidad que al arrojar dos veces la moneda salgan dos caras, ya que ambos eventos son independientes, uno no influye sobre otro, la P(cara, cara) es de “0.5 x .05 = 0.25” Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 10.  Una paradoja es que una persona que compra todas las semanas la lotería, para un sorteo dado, tiene la misma probabilidad de sacar el premio mayor que una persona que compró un número por primera vez. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 10/24
  • 11. Ejercicio :  Estimar la probabilidad que al elegir por sorteo dos estudiantes del grupo, ambos sean varones. Determinar también cuales eventos forman “Ω” es este caso.  Si los sucesos son independientes: P(A) x P (B) es igual p(A B)  Otro enfoque de mirar independencia es, dos eventos A y B son independientes si y sólo si: P(AB) = P(A) y P (BA) = P(B) o, que es lo mismo: P(A B) = P(A) x P(B) Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 12. Regla de la Suma.  Para que dos eventos “A” y ”B” se puedan sumar directamente, estos deben se incompatibles, es decir ellos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A∩B) = 0  La probabilidad que ocurra “A” ó “B” para eventos incompatibles “A” y “B” es P(A ó B) = P (A) + P (B) = P(AU B)  Si los eventos no son incompatibles P(AUB) = P (A) + P (B) - P(A∩B). Esta sería la regla general de la suma de probabilidades. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 13.  En el ejemplo de arrojar dos veces una moneda al aire, la probabilidad que salga una vez cara y el otro sol sin importar el orden, es la probabilidad de los eventos “cara, sol” y “sol, cara”.  Debido a que son cuatro los eventos posibles “Ω”= cara–cara, sol–cara, cara–sol y sol-sol y cada uno con igual probabilidad, cada uno de esto eventos tiene una P= 0.25, de ocurrencia. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 14.  Por lo tanto la ocurrencia de “cara-sol” más “sol – cara”es de “P (c, s) + P (s,c)”), que en valore de probabilidades es de P (0.25) + P (0.25) = 0.5 CARA SOL Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 15. Ejercicio  En la matricula de primer año de la universidad, 150 estudiantes son originarios del departamento de Estelí, 60 estudiantes del departamento de Nueva Segovia y 100 estudiantes del resto del país. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante tomado al azar no sea del departamento de Estelí? Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 15/24
  • 16. Probabilidad condicionada  Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia de un caso, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 17.  La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B, “P (AB)”, se denomina probabilidad condicionada y se define. Si p (B) ≠ 0  La condición que P(B) > 0, esto es necesario para una buena definición de probabilidad condicional. Es de notar que si A y B son sucesos independientes, la P(AB) es igual a la P(A).  De lo anterior se deduce que: Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 18. Ejemplo:  Se conoce que a los estudiantes de la UNI tienen las siguientes preferencias en el consumo de gaseosas: Consumo de Gaseosas por Varones Mujeres Total semana No consume 30 10 40 1-5 veces 50 25 75 Más de 5 veces 20 15 35 Total 100 50 150 Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 18/24
  • 19.  Si de un grupo de jóvenes del bar de la universidad, se selecciona al azar un estudiante varón ¿Cuál es la probabilidad que ese que ese joven halla consumido más de 5 gaseosas por semana?  En este problema ya no es necesario conocer el número total de estudiantes, porque al seleccionar a un individuo del sexo masculino, los individuos del sexo femenino no son tomados en cuenta. Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 20.  Entonces se puede definir la probabilidad deseada como ¿Qué probabilidad existe de que un individuo beba más de 5 gaseosas a la semana dado que el individuo seleccionado sea varón? Esta es una probabilidad condicional y se resuelve de la siguiente manera: Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com
  • 21.  P(C+5Sv) = (20/150) / 100/150) = 20/100= 0.2, donde “C” es por consumo y “S” por sexo.  Ejercicio  Si se tiene una escuela de 200 alumnos distribuidos en tres aulas y por sexo: mujer M, y varón, V; como sigue: Aula/ Sexo Varón Mujer A 20 20 B 30 30 C 56 44 Total 106 94
  • 22. PREGUNTAS:  ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante, sin importar el sexo, sea del aula B?  ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante sea del aula A, si el estudiante es mujer? Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 22/24
  • 23. Ejercicio  En un aula hay 6 estudiantes realizando un examen, dos son mujeres y cuatro son varones. ¿Cuál es la probabilidad que finalice una mujer de segunda dado que el primero en finalizar fue un hombre?  Si la solución es:  ¿Explicar cómo se construyeron los valores 8/30 y 4/6? Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com 23/24
  • 24. GRACIAS Y ÉXITOS Prof. Johnny Montenegro Molina www.jmontenegro.wordpress.com