1. ΚΙΝΗ΢Η ΜΕ ΑΝΣΙ΢ΣΑ΢Η ΑΝΑΛΟΓΗ ΣΗ΢
ΝΙΟ΢ΣΗ΢ ΔΤΝΑΜΗ΢ ΣΗ΢ ΣΑΦΤΣΗΣΑ΢
Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη
χρονική στιγμή t 0 να βρίσκεται στη θέση x 0 και να έχει ταχύτητα
ˆ
0 i Σο σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής:
F
ˆ
k n i (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της
νιοστής δύναμης της ταχύτητας). Με την είσοδο του σώματος στο μέσο,
θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου.
Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.
ΑΠΑΝΣΗ΢Η
Έχουμε διαδοχικά:
d
dt
F
ή
d
dt
F
m
ή
m
d
dt
k
m
d
k
dt
m
n
d
n
k
t C
m
n
ή
ή
(1)
Α) Τποθέτουμε ότι: n 1 (Η περίπτωση με n 1 , έχει μελετηθεί στην εργασία
με τίτλο: Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας).
Για n 1 , έχουμε:
d
n
k
t C
m
ή

2. 1 n
k
t C
m
1 n
Για t 0 ,
0
(2)
0 , οπότε:
1 n
0
C
(3)
1 n
Από τις (2) και (3) , παίρνουμε:
1 n
k
0
t
m 1 n
1 n
1 n
k
t
m
1
1 n
1 n
0
(
1 n
ή
(4)
)
Α1) Για n 1 , έχουμε:
k
t
m
1
n 1
1 n
(
(n 1)
1 n
0
k
t
m
1
1
)
n 1
n 1
k
t
m
ή
1
ή
n 1
0
n 1
0
n 1
0
t m
n
m 0 1
m (n 1)k
n 1
ή
)
n 1
0
(n 1)k
m
1
n 1
0
1
n 1
1
n 1
1
(n 1)
n 1
1
(
m
0[
m (n 1)k
ή
ή
n 1
0
t
n 1
0
t
]
1
n 1
(5).
Α2) Για n 1, η σχέση:
k
t
m
1
1 n
(1 n)
k
t
m
(
),
1 n
0
1 n
1 n
0
1 n
γράφεται:
ή

3. 1 n
1 n
0
[
ή
(1 n)kt 1 1n
]
m
1 n
0
m
ή
(1 n)kt
m
1 n
0
m
1 n
k
t
m
(1 n)
Προκειμένου στη συνέχεια να βρούμε τη σχέση:
m
m
d
dt
(6)
f ( x) ,
έχουμε:
ή
F
d dx
dx dt
ή
n
k
d
dx
k
m
d
k
dx
m
ή
k
dx
m
ή
k
x
m
ή
n 1
d
n 1
2 n
C
2 n
1
(n 2)
n 2
C
ή
n
k
x
m
, με n 2
(7)
(Η περίπτωση με n 2 έχει μελετηθεί στην εργασία: Κίνηση με δύναμη
ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας)
Για x 0 , έχουμε:
0
, οπότε από την (7) παίρνουμε:
C
1
(n 2)
Από τις σχέσεις (6) και (7) έχουμε:
n 2
0
(8)

4. k
x
m
1
(n 2)
1
1
n 2
[
n 2
0
(9)
]
Β1) Για n 2 , η σχέση (9) γράφεται:
(n 2)
k
x
m
1
n 2
0
1
n 2
1
n 2
1
n 2
0
(n 2)
m (n 2)k
n
m 0 2
1
n 2
n
m 0 2
m (n 2)k
n 2
0[
ή
k
x
m
n 2
0
n 2
0
m
m (n 2)k
ή
x
ή
ή
x
1
n 2
0
x
]n
2
(10)
Β2) Για n 2 , έχουμε:
k
x
m
1
(n 2)
k
x
m
1
2 n
(2 n)
2 n
2 n
[
m
2 n
0
[
[
m
1
n 2
n 2
0
2 n
0
k
x
m
2 n
0
1
2 n
0
(2 n)
2 n
0
2 n
]
]
ή
ή
2 n
ή
k
x
m
ή
(2 n)kx
m
(2 n)kx 21 n
]
m
ή
(11)

5. ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢
1). Για n 1, τόσο ο χρόνος κίνησης, όσο και το διάστημα είναι πεπερασμένα.
΢τη σχέση:
[
Θέτοντας
1 n
0
m
(1 n)kt 1 1n
] ,
m
0 , βρίσκουμε τον ολικό χρόνο της κίνησης t t . Έχουμε:
1 n
0
m
(1 n)kt
ή
0
1
m 0n
(1 n)k
t
(12)
Έχει ενδιαφέρον η περίπτωση με n 0 , δηλαδή η περίπτωση της σταθερής
αντίστασης F k , για την οποία η (12) δίνει:
m 0
k
t
0
(13),
0
k
m
a
όπου α, το μέτρο της σταθερής (αρνητικής) επιτάχυνσης .
Επίσης η (11), αν για
0 θέσουμε x
m
2 n
0
x , δίνει:
(2 n)kx
ή
0
2
m 0 n
(2 n)k
x
(14)
΢την περίπτωση με n 0 , (σταθερή δύναμη F
x
2
m 0
2k
2
0
k
2
m
k ), η σχέση (14) δίνει:
2
0
2a
(15)
2). Για n 1 , ο χρόνος κίνησης είναι άπειρος, ενώ το διάστημα είναι
πεπερασμένο (: Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας)

6. 3). Για 1 n 2 , ο χρόνος κίνησης είναι άπειρος (σχέση (5)), , ενώ το
διάστημα είναι πεπερασμένο (σχέση (11))
4). Για n 2 , η περίπτωση έχει μελετηθεί διεξοδικά: Κίνηση με δύναμη
ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας)
5). Για n 2 , τόσο ο χρόνος κίνησης (σχέση (5)), όσο και το διάστημα
είναι άπειρα (σχέση (10)), δηλαδή δεν υπάρχει πεπερασμένη τιμή του t ή του x
που να μηδενίζει την ταχύτητα.
ΑΘΗΝΑ
ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2012
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ