Este material está pensado para todos aquellos jóvenes que quieren iniciar en el estudio de funciones, contiene ejercicios desde el nivel básico hasta llegar a ejercicios de nivel avanzado.

1. Colegio Algarrobos Álgebra: 5° Secundaria
Unidad Nº 01: Funciones
DEFINICIÓN. – Dados dos conjuntos no vacíos A y
B se define una función de A en B como un conjunto
de pares ordenados (x; y) tal que a cada elemento x
A existe un único elemento yB.
Notación:
Si “f” es una función de A en B, luego:
f : A  B
Condición de existencia y unicidad
Sea f : A  B; se debe cumplir:
1. fyxByAx  );/(!;
2. Si zyfzxfyx  );();(
Obs.:
 ; se lee para todo
!; se lee existe y es único
Nota: De la definición de una función se deduce;
que dos pares diferentes no deben de tener la
misma primera componente
Ejemplos:
i)
f
........... Función
i) A B
...................... Función
iii)
...................... Función
DOMINIO DE UNA FUNCION
Es el conjunto de todas las primeras componentes y
se denota por: fD o Dom f
  Afy)(x,By!A/xDf 
RANGO DE UNA FUNCION
Es el conjunto de todas las segundas componentes
y se denota por fR o Ran f:
  Bfy)(x,AxB/yfR 
Ejemplo:
Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} su dominio y
rango es: fD ={1,3,5,7}; fR ={2,4,6,8}.
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Es aquella relación que se establece entre la
primera y segunda componente de una función.
Esta relación se establece mediante una fórmula
matemática.
f : A  B
y = f(x)
Propiedad: Toda función queda completamente
definida si se conoce el dominio y la regla de
correspondencia de la función.
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Sea f : A  B, Si  BA diremos que f
es una función real de variable real.
Teorema fundamental de las funciones reales
Una función es real de variable real, si toda recta
vertical corta a su gráfica en un sólo punto.
Ejemplos: Y
...........Función
X
….......... Función
A B

2. REGLA PRACTICA PARA CALCULAR EL
DOMINIO
1. Si la función es polinomial el dominio es el
conjunto de los números reales ( R ). Además si
la función polinomial es de grado impar, el rango
también es R.
Ejemplo:
i) F(x) = 6x8
+x5
+ x3
+ 3 DF = R
ii) G(x) = x3
–2x2
+x +3 DG = R y RG = R
2. Si la función es racional : F(x) =
)(
)(
xG
xH , el dominio
se obtiene como:
DF = R – { x/ G(x) = 0 }
Ejemplos:
i) F(x) =
2
32


x
x DF = R – { 2 }
ii) G(x) =
92
x
x DF = R – { 3, -3 }
iii) H(x) =
16
5
2


x
x DF = R
Observación: x2
+ 16  0
3. Si la función es irracional: F(x) = )(xG , el
dominio se obtiene como:
DF = { x 0)(/  xGR }
Ejemplos:
i) F(x) = 6 x
Obs. 6 –x 0 6 x x6
Luego: DF =<-; 6]
ii) G(x) = x 3
x 4


Obs. x - 4 >0 x > 4
Luego: DF =<4; + >
Nota: No existe una regla específica para el cálculo
del rango, sin embargo se recomienda despejar x en
función de y para luego analizar para que valores de
“y” la función está definida.
Ejemplo: Halle el rango de:
2
13
)(



x
x
xF
Solución:
i) x - 2  0 x  2 Luego: DF= R – {2}
ii) Rango: 3x 1y
x 2


yx –2y = 3x – 1 yx – 3x = 2y –1
x(y-3) =2y – 1 
3
12



y
y
x
Como: y - 3  0 y  3 Luego: RF = R – {3}
FUNCIONES ESPECIALES
1. FUNCIÓN CONSTANTE.
 f (x,y) RxR/y c, "c" es constante)  
Donde fD =R; fR = {c}.
Su gráfica es:
2. FUNCIÓN LINEAL  0ab,axRxR/yy)(x,f  ,
Donde: fD =R; fR =R.
Y
X
X0
Y
c
F(x)=c
f(x) = c

3. 3. FUNCIÓN RAIZ CUADRADA.– xf(x)  .
Donde: fD = R ; fR = ,0 .
4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO– A la función f le
llamaremos función valor absoluto si su regla de
correspondencia es: f(x)=x 
donde:






0.xx,
0,xx,
x
fD =R ; fR = ,0 . Y = f(x)
5. FUNCION CUADRÁTICA
* v: Vértice 2
b 4ac bV ;
2a 4a
   
 
Si a>0 se tiene Si a<0, se tiene
DF= R DF = R
RF = [ 2
4ac b
4a
 ,> RF =<-, 2
4ac b
4a
 ]
6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO
Se simboliza por:  
Regla de correspondencia:
F(x) =  x ; donde  x es el máximo entero no
mayor que x.
Si:  1nxn  x = n
Dominio: DF = R
Rango: RF = Z
Problemas
01. Hallar ( a + b) para que:
A = {(2;5); (1;3); (b -2a; 3); (1; a2
– b2
);
(2; 2a + b)}
Una función
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
02. Sean f y g dos funciones definidas por:
F = { (2; a + b + c), (1; a-b-c), (2;8),(3; b+c),
(4;a), (1;2)}
G = { (x; y) F / y – x = 1}
Entonces, el número de elementos de la
función G, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
03. Dado: BAF :
F
Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0,
Hallar
3 3 3
(a b) (b c) (a c)
E
abc
    

A) 3 B) –3 C) 2 D) 6 E) 1
04. Dada la función:
2
x 2 , x 3
x 1
F(x) x 4, 1 x 3
x 3, x 1
 
 

    
   


Calcular: F[F(4)] + F[F(0)] + F(-2)
A) 15 B) 11 C) 13 D) 6 E) 9
05. Dada una función constante (F) que verifica:
3F(3) 5F(5)
1
4F(4) 2



Halle: (F(2004))-F(2005)
A) 1 B) 4 C) 9 D) 2 E) 1/9
06. Calcular el dominio de la función ,
f(x) 8 x 8 x   
A) [ -8, 8 ] B) [0, 8 ] C) [ 8, 16]
D) [ 2, 2 2 ] E) [4, 8]
F(x) = ax2
+bx + c, a  0
1
2
3
a
b
c

4. 07. Hallar el dominio de la función:
2
x x 2F(x)
1 2x
 

A) [-1; ½> U [2; +>
B) <-; -1] U < 1/2; 2]
C) < -; -1] U <1; 2]
D) <-; -1> U <1/2; 2>
E) [-1;2]
08. Si [a;b> - {c} con a < c < b es el dominio de la
función g(x) =
2
2
x x 6
7x x 12
 
 
Entonces el valor de M = a + b + c , es:
A) -6 B) 5 C) -5 D) 4 E) 6
09. Determine el rango de:
2
F(x) x 5 
A) R B) R+
C) [ 5; + >
D) R – {5} E) No se puede.
10. Sea F una función real, tal que:
2
F(x) x ; 2 x 3   
el rango de F es:
A) [4;9] B) <4;9]
C) [-4; 9] D) [0; 4] E) [0;9]
11. Luego de hallar el dominio de la función:
1 1G(x) 8 x
x 3 x 2
   
 
determine el número de valores enteros que la
verifican.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
12. Dada la función:
2x 1F(x) ; x 4;8]
x 3
 

Determine su rango
A) < 3; 7> B) [3; 7]
C) <3; 7] D) [3; 7> E) <-7; -3>
13. Si la función ganancia, en la editorial “ MI
ACADEMIA”, esta dada por:
G(x) = -3x2
+ 96x + 552
Indicar como respuesta la suma de las cifras de
la ganancia máxima.
A) 6 B) 7 C) 4 D) 5 E) 7
14. Si f es una función definida por f(x) = 2
4
x 7
,
entonces el rango de f, es:
A) <0; 4/7] B) <0; 1> C) <1; 4/7]
D) <-1;1> E) <1; 2>.
15. Si la gráfica de: F(x) = -2x2
+ 12x –10
Hallar el área de la región sombreada donde
V: Vértice de la pa
A) 16 u2
B) 8 u2
C) 24 u2
D) 4 u2
E) 9 u2
16. En la figura adjunta se muestra la gráfica de f(x)
= ax2
+bx + c indicar el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. a. b < 0 II. B < 0 III. C = 0
a) VVV b) FVV
c) VVF d) FVF e) VFV
17. Siendo F una función lineal tal que:
{ (n;n), (3;9), (-1;1)}F
Halle el valor de: 2n2
+3
A) 35 B) 3 C) 53 D) -32 E) 21
18. Una bola se coloca en el punto P de la parábola
y = x2
– x – 6 cuya ordenada es 6. Se le deja
rodar por la parábola hasta que llegue a un
punto Q, cuya ordenada es -6, entonces la
distancia mínima horizontal recorrida por la bola
es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5. 19. Si f es una función definida por f(x) = ax3
+ b,
cuya gráfica se muestra en la figura adjunta.
Entonces el valor de T = a – b es:
A) 5 B) 4
C) 3 D) 2
E) 0
20. Sea: f(x) = 3 + (-1)n
Donde n = x   . Calcular el rango de la función
A) {2; 4} B) { 1} C) { 3} D) R E) N.A
21. Si f es una función definida por
f(x) =
2
25 x 2  , entonces
el Dom(f) Rang(f), es:
A) [-5;2] B) [-5;5] C) [-5;-2]
D) [-2;3] E) [-3;3]
22. Dadas las funciones:
F = { (3;5); (4;9); (5;12) }
G = { (2;3); (5;4); (9; 3) }
Calcular:
G(9)
T F(G(2)) G(F(4)) 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
23. Hallar la suma de los elementos enteros del
dominio de la función
3 2
x 2x xf(x)
x 2
 

A) -2 B) -1 C) -3 D) 3 E) 0
24. Si f es una función definida por
f(x) = x 10 3 x   , entonces el dominio
de f, es:
A) [-10; 3] B) [-7/2; 3]
C) [-10; > D) <- ;3]
E) [-9; 3]
25. Si f es una función definida por
2 3
2
(x 5x) (x 2) x
f(x)
x 6x 11
 

 
, entonces el
dominio de f, es:
A) [0;5> B) <-;0> U <5; >
C) [5; > U {0} D) <5; >
E) <-;5>
26. Halle el área del triángulo que resulta de
interceptar las funciones
F( x) = 4 y G(x) = x 1 3 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1
27. Sea “F” una función de proporcionalidad, tal que:
F(3) + F(5) = 64
Halle:
2
3 1F F
4 4
            
A) 16 B) 25 C) 36 D) 81 E) 10
29. La gráfica de la función:
22y x bx c
3
    
 
intercepta al eje “x” en los puntos ( -2;0) y (5; 0)
y al eje “y” en el punto ( 0; k); según esto,
calcular el valor de: ( b + c + k)
A) 23/5 B) –23/5
C) –46/3 D) 46/3
30. Dada la función:
F = { (2; a + b), (b; b2
+ 1), (2; 7), (b; 5)}
Halle ab + 30
A) 12 B) 40 C) 45 D) 20 E) 50
31. Si axxf  2
)1()( entonces:
x
xfxf )2()( 
Será:
A) 4 B) 2 C) 1 D) -4 E) -2
32. Halle el dominio de la función:
||
3
)(
xx
xf


A) R – {0} B) R+
C) R-
D) {0} E) R
33. Determine el dominio de la función f, cuya regla
de correspondencia es:
2
2
3
)(
xx
x
xf


A) <-; 0> U <3; +> B) <0;3>
C) <-;0] U [3; +> D) [0;3]
E) R – {0}

6. 34. Dada la función ]5;3,
6
12
)( 

 x
x
xh Indique su
variación.
A) < 4; 12] B) < 4; 12 >
C) < 4;  > D)<12;  >
E) <-4; 0]
35. Si el rango de la función:
,1;0
1||
2
)( 

 es
x
xf
entonces el dominio es el conjunto
A) <-1;1> B) <-2; 2> - {1;-1}
C) <- ; -3 ] U [3;  > D) <- ; -3> U < 3; >
E) <-3;3> - {1;-1}
36. Halle el rango de la función
x
xx
xP
||
)(


A) R+
B) R – {0} C) {0; 2} D) R E) R-
37. El rango de la función cuadrática:
7)1()( 2
 xaxxf
es el intervalo ;[b , además f(1) = 12.
Halle el valor de a + b.
A) 5 B) 9 C) 6 D) 11 E) 3
38. Sea A1 + A2 + A3 = A4 en
si f es lineal y g constante, hallar x.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 8
39. Determine el rango de la expresión matemática
328)( 2
 xxxf
A) [3; 6] B) [0; 3] C) [-2; 4]
D) <0; 3> E) <3;6>
40. Determine la suma del mayor y menor valor
entero que toma la función:


 2;3;
54
20
)( 2
x
xx
xf
A) 21 B) 23 C) 20 D) 22 E) 24
41. El dominio de la función g de variable real con
regla de correspondencia
2
2
4)(


x
xxg es:
A) < -1; 1> B) <-2; 2>
C) [-2; 2] D) [-4; 4] – {2; -2}
E) [-4;4]
42. Señale el área generada por los gráficos de las
funciones f; g y el eje x en f(x) = px + q;
g(x) = -px + q; p; q }0{ 
R
A) 2
2
u
p
q
B) |p|u2
C) 2
2
||
u
p
D) 2
2
||
u
pq
E) 2|pq|u2
43. La grafica de la función
F(x) = b - | x – a| es
Señale el valor del área S.
A) 2ab B) ab C) 3ab D) 4 E) ab/2
44. Del gráfico de la función constante f,
f(x) = 5k + 3
Halle:
)2(
)0(2)8(5
f
ff 
A) 5 B) 2 C) 7 D) 0 E) 1

7. 45. Halle el valor máximo de la función
12)( 2
 xxxf
A) 1/4 B) 3/8 C) 9/8 D) 9/4 E) 5/8
46. Determine el rango de la función:
2
)(
x
x
xf 
A) [-1;1] B) {1} C) {0} D) {1;-1} E) R
47. Halle el área del triángulo que resulta de
interceptar las funciones
F( x) = 4 y G(x) = 31 x
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1
48. Una compañía ha concluido que su utilidad está
dada por V(x)= 240x – x2
en soles, donde x
representa el número de unidades vendidas.
Hallar la máxima utilidad
A) 16 400 B) 15 400 C) 14 400
D) 13 200 E) 12 400
49. Calcular el dominio de la función,
xxxf  22)(
A) [ -2, 2 ] B) [0, 2 ]
C) [ 2, 4] D) [ 2, 2 2 ] E) [4, 8]
50. Un cañón situado en el punto (3, 0) dispara una
bala con una trayectoria y = 3x  . Si un avión
viaja por la recta y = 4, y la bala lo destruye.
Hallar el punto sobre el que fue el impacto.
A) (4 ; 18) B) (19; 1) C) (17; 2)
D) (19; 4) E) No llega a destruirlo
51. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2
; un
perro que recorre la recta y = x la distingue y la
logra capturar. Hallar el punto donde ocurre la
captura, si sus coordenadas son positivas.
A) (1; 1) B) (1; 2) C) (2; 1)
D) (2; 2) E) (1/2; 1/2)
52. Un fabricante puede producir radios a un costo
de $10 cada uno y estima que son vendidos por
$x cada uno. Los usuarios compran
aproximadamente (80 – x) radios cada mes.
Halle el precio al cual debe vender cada radio
para obtener la máxima ganancia, y cuál es
ésta.
A) p = $ 45  Gmáx = 1225
B) p = $ 40  Gmáx = $ 1250
C) p = $ 35  Gmáx = $ 2400
D) p = $ 30  Gmáx = $ 1655
E) N.A
53. Un obrero con 160 metros de alambrón desea
cercar una superficie de forma rectangular. Si
uno de los lados no necesita cerco, ¿cuáles
deben ser las dimensiones para que el área sea
máxima?. Dar como respuesta uno de los lados.
A) 60 B) 20 C) 80 D) 32 E) 50
54. Sean las funciones:
F(x) = 2x2
+ 4x – 30
G(x) = -3x2
–6x + 24
Donde: b = min (F)
p = máx (G)
Hallar la distancia de M a N.
M(a,b)
N(n,p) F
G
A) 21 B) 34 C) 59 D) 61 E) 93
55. Calcular el área del triángulo que resulta de
interceptar las funciones:
F(x) = 4 ; G(x) = |x - 1| + 3
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1