O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.

1. AULA 05
MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
DERIVADAS:
CONCEITOS INICIAIS

2. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma
função que relacionava o espaço com o
tempo na queda dos corpos, deixou em
aberto a necessidade do Cálculo
Diferencial, o cálculo com derivadas.
derivadas
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em
qualquer fenômeno que envolva funções.
Mas, quando se trata de corpos em
movimento, esta interpretação é
especialmente precisa e interessante.
De fato, historicamente, foi o que deu
origem ao estudo das derivadas.

3. A LEI DA QUEDA DOS CORPOS
A tentativa de Galileu de demonstrar
que todos os corpos caem com a
mesma aceleração esbarrou na falta de
um instrumento matemático - as
derivadas.
• Quem foi capaz de completar a tarefa
de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase
ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
Sir Isaac Newton
Gottfried Wilhelm
von Leibniz (Woolsthorpe, 4
de Janeiro de
(Leipzig, 1 de julho
1643 — Londres,
de 1646 — Hanôver,
31 de Março de
14 de Novembro de
1727)
1716)

4. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial
e, ao medir o ritmo de mudança dos fenômenos
físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram
as portas ao espetacular desenvolvimento
científico e tecnológico que transformou o mundo
em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história
anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o
sonho pitagórico: explicar o mundo com a
Matemática.
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a
manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo
Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e
este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o
publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo
próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso
nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter
desfeito o coração de Leibniz”.

5. INTRODUÇÃO
Se uma função é representada graficamente por uma reta
(função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia
essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta
representativa da função.
y
f(b)
f(b) - f(a)
∆y
α
f(a)
b–a f ( b) − f ( a)
∆x tmv = tgα = =m
14 4 −a 3
b244
taxa média V
∆y y
de variação V
∆x x
O a b x

6. E... se o gráfico da função não for uma reta?
Com que velocidade (rapidez) varia essa função?
O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente”
a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o
resto é História e o estudo das Derivadas…
y
f(b) f ( b) − f ( a)
tmv = =m
4− a 3
b
14 244
V
∆y y
V
∆x x
f(b) - f(a)
∆y
f(a)
b–a
O a ∆x b x

7. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
NA GEOMETRIA ANALÍTICA

8. E… quando tomamos o limite?
y Vamos, então, estudar Derivadas!
f(x)
∆y
f(x) − f(x 0 ) = m(x − x 0 )
f(x) - f(x0)
f ' (x 0 ) = tgα = m
f(x0) α ∆x
x0
x-x0
x
f(x) − f(x 0 ) = f ' (x).(x − x 0 )
O x
y − f(x 0 ) = y '.(x − x 0 )

9. OUTROS EXEMPLOS
Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.
– Então temos que:
y(ºC) • A partir de x0 = 1h, a variável x
f(3)=9
aumentou de 2 unidades (horas) e
passou para x = 3h.
∆y ∆x = x – x0 = 3 – 1 = 2
• A temperatura y = f(x) também sofre
f(1)=1
variação: passou de f(1) = 1ºC para
∆x
x0=1 x=3 x(h)
f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades
(ºC).
∆y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8
A razão ∆y/∆x = 4ºC/h, significa
que, entre 1h e 3h, a temperatura
aumentou 4ºC por hora, em média.

10. TEMPERATURA DE UMA SALA
• Noção Intuitiva
– Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num
instante bem próximo de x0 = 1h.
y(ºC)
x x f(x) ∆x ∆y ∆y/ ∆x
f(3)=9
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
∆y 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
f(1)=1
∆x 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360
1h1seg 7 5 7 5 1
x0=1 x=3 x(h)
À medida que ∆x se aproxima de zero,
∆y/∆x se aproxima de 2.

11. TEMPERATURA DE UMA SALA
y(ºC)
∆y f ( x) − f ( x0 )
f(3)=9 f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim
∆x →0 ∆x x → x0 x − x0
∆y
x 2 −1 ( x − 1)( x + 1)
lim = lim = lim( x + 1) = 2º C / h
x →1 x − 1 x →1 x −1 x →1
f(1)=1
∆x
x0=1 x=3 x(h)
O limite da razão ∆y/∆x, quando ∆x → 0, exprime que, quando x
aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a
temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)

12. EXEMPLOS
Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto
x0 = 3, ou seja, f’(3).
∆y f ( x) − f ( x0 )
f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim
∆x →0 ∆x x → x0 x − x0
Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
2x 2 − 18 2( x 2 − 9) 2( x + 3)( x − 3)
f ' (3) = lim = lim = lim
x →3 x − 3 x →3 x − 3 x →3 x −3
f ' (3) = lim 2( x + 3) = 12
x →3

13. EXEMPLOS
Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou
seja, f’(2).
∆y f ( x) − f ( x0 )
f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim
∆x →0 ∆x x → x0 x − x0
Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8
x2 − 6x + 8 ( x − 2)( x − 4)
f ' (2) = lim = lim = lim( x − 4) = −2
x →2 x−2 x →2 x−2 x →2

14. EXEMPLOS
Exemplo 4 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de
motores, sendo o custo mensal de produção dado por:
C(x) = 1500 + x (em reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 10 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
a) f(x0) = f(10) = 1500 + 10 = 1510
∆y f ( x) − f ( x0 )
f ' ( x0 ) = y ' = lim = lim
∆x →0 ∆x x → x0 x − x0
1500 + x − 1510 x − 10
f ' ( x 0 ) = lim = lim =1
x →10 x − 10 x →10 x − 10
b) O resultado f’(x0) = 1, significa que a cada aumento
de unidade de motor, há um aumento de 1 real no
custo mensal, a partir de 100 motores.

15. EXEMPLOS
Exemplo 5 - Consideremos a função C(x) = custo da produção
de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos,
tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e
produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20
reais, aproximadamente.

16. DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
jalmat@hotmail.com