statistics course

1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Hugo Saavedra Saavedra
hsaavedra@unprg.edu.pe

2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES
⬥ Población
⬥ Muestra aleatoria simple
⬥ Distribución de la muestra
⬥ Estadístico
⬥ Distribución de un estadístico
⬥ Distribución de la media muestral
2

3. Muestra Aleatoria Simple (MAS)
Definición.
Sea una población X, con función de probabilidades o función de densidad
de probabilidad f(x). Una MAS de tamaño n es un conjunto: 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛
de n variables aleatorias Independientes e Idénticamente distribuidas,
(iid.).
3
Distribución de una muestra aleatoria simple
Es la distribución conjunta de las n VA que constituyen la MAS, está dada
por:
f(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) =f(𝑥1)𝑓(𝑥2) … f(𝑥𝑛) = 𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑖)

4. Estadística (estadístico)
⬥ Definición.
Es una función de las variables
aleatorias que constituyen una MAS y
no contienen constante desconocidas.
Toda estadística es una variable
aleatoria por ser una función de
variables aleatorias y tiene distribución
de probabilidad, llamadas distribuciones
muestrales (distribuciones en el
muestreo)
⬥ Ejemplos
⬥ T= 𝑋𝑖 Total de la muestra
⬥ 𝑋 =
𝑋𝑖
𝑛
Media de la muestra
⬥ 𝑆2
=
(𝑋𝑖−𝑋)2
𝑛−1
Varianza de la muestra
⬥ 𝑋(1) = 𝑌1 Mínimo de la muestra
⬥ 𝑋(𝑛)= 𝑌𝑛 Máximo de la muestra
⬥ R= 𝑌𝑛 - 𝑌1 Rango de la muestra
⬥ 𝑋(
𝑛−1
2
)
Mediana de la muestra, n impar
⬥ 𝑆2
=
(𝑋𝑖−µ)2
𝑛−1
, si se conoce el valor de la
constante µ. En caso contrario no es un
estadístico.
4

5. 5
La estadística inferencial se sustenta
en las estadísticas y sus distribuciones.

6. Distribución de la media muestral
Teorema 8.1
Si 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, constituyen una muestra aleatoria de una población infinita con media
µ y varianza σ2
entonces. E(𝑿)= µ y Var(𝑿)=
𝝈𝟐
𝒏
6

7. Distribución de estadísticas - Ejemplo
7
Sea una población X= edades de 4 niños cuya función de probabilidades es
1) Graficar la distribución de la población
2) Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de X.
3) Hallar la distribución de la muestra de tamaño n=2, extracción con remplazo y graficarla
4) Hallar la distribución de la media muestral de tamaño n=2. construir la gráfica.
5) Calcular la media y varianza de la media muestral

8. Solución
1. Gráfica de la distribución de la población X
2) - Media de X
E(X)=µ = 𝑥𝑓(𝑥) = 2(0.2)+4(0.1)+5(0.3)+6(0.4)
E(X)=µ = 4.7 años.
- Varianza de X
Var(X) = σ2= (𝑥 − µ)2
𝑓(𝑥)
Var(X) = (𝑥 − 4.7)2
𝑓(𝑥)
= (2 − 4.7)2
(0.2)+ (4 − 4.7)2
(0.1)+
(5 − 4.7)2
(0.3)+ (6 − 4.7)2
(0.4)
Var(X) = σ2
=2.21 años2
- Desviación estándar
σ = 1.48660687 años 8

9. 9
3) Hallar la distribución de la muestra de tamaño n=2.
La muestra aleatoria será el par de variables aleatorias 𝑋1 𝑦 𝑋2
X1 X2 f(X1, X2)
2 2 0.04
2 4 0.02
2 5 0.06
2 6 0.08
4 2 0.02
4 4 0.01
4 5 0.03
4 6 0.04
5 2 0.06
5 4 0.03
5 5 0.09
5 6 0.12
6 2 0.08
6 4 0.04
6 5 0.12
6 6 0.16
Posible muestra: 𝑋1 = 2 𝑦 𝑋2 = 2 , su probabilidad es:
f(2 , 2) = 𝑃(𝑋1 = 2 , 𝑋2 = 2) = 𝑃[(𝑋1 = 2) ∩ (𝑋2 = 2)]
= 𝑃(𝑋1 = 2 )*𝑃(𝑋2 = 2 )=0.2*0.2=0.04
Posible muestra: 𝑋1 = 5 𝑦 𝑋2 = 6, su probabilidad es:
f(5 , 6) = 𝑃(𝑋1 = 5 , 𝑋2 = 6) = 𝑃[(𝑋1 = 5) ∩ (𝑋2 = 6)]
= 𝑃(𝑋1 = 5 )*𝑃(𝑋2 = 6 )=0.3*0.4=0.12
Posible muestra: X1 = 6 y X2 = 6, su probabilidad es:
f(6 , 6) = 𝑃(𝑋1 = 6 𝑦 𝑋2 = 6) = 𝑃[(𝑋1 = 6) ∩ (𝑋2 = 6)]
= 𝑃(𝑋1 = 6 )*𝑃(𝑋2 = 6 )=0.4*0.4=0.16
Así para todas las 16 muestras posibles (ver tabla adjunta)
Existen 42
= 16 muestras posibles
Distribución de la muestra

10. Gráfica de la distribución de la muestra
10
Distribución de la muestra f(X1, X2)

11. 4. Distribución de la media muestral
Medias muestrales
P(𝑋 = 2.0) = 𝑓 2.0 = 0.04 P(𝑋 = 3.0) = 𝑓(3.0) = 0.04
P(𝑋 = 4.0) = 𝑓 4.0 = 0.08 + 0.01 + 0.08 = 0.17
P(𝑋 = 5.5) = 𝑓 5.5 = 0.12 + 0.12 = 0.24

12. 5. Media y varianza de la media muestral
12
Se verifica que Var(𝑋)=σ𝑋
2
=
σ2
𝑛
- Media. E(𝑋)= 𝑋𝑓(𝑋)
= 2(0.04)+3(0.04)+3.5(0.12)+4(0.17)+4.5(0.06)+5*(0.17=+5.5(0.24)+6(0.16)
= 4.7
Se verifica el Teorema 8.1. E(𝑿)=µ = 4.7 años.
- Varianza. Var(𝑋) = σ𝑋
2
= (𝑋 − µ)2
𝑓(𝑋)
Var(𝑋) = (𝑋 − 4.7)2
𝑓(𝑋)
= (2 − 4.7)2
(0.04) +(3 − 4.7)2
(0.04) + (3.5 − 4.7)2
(0.12) + (4 − 4.7)2
(0.17) + (4.5 − 4.7)2
(0.06)+
+(5 − 4.7)2
(0.17) + (5.5 − 4.7)2
(0.24) + (6 − 4.7)2
(0.16)
= 1.105
Var(𝑋)= σ𝑋
2
=
σ2
𝑛
=
2.21
2
= 1.105

13. El Teorema central del límite
13
Este teorema cobra importancia porque establece la distribución de la
media muestral en el muestreo de poblaciones que no siguen el modelo
de distribución de probabilidad normal

14. Ejemplo de aplicación del TCL
𝑋~𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑁(µ,
σ
𝑛
),
𝑋~𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑁(72,
8
40
)
P(67< 𝑋 < 77) = P(
67−72
1.2649
< 𝑍<
77−72
1.2649
)
P(67< 𝑋 < 77) = P(-3.95< 𝑍<3.95)
P(67< 𝑋 < 77) = P(𝑍<3.95)- P(𝑍<-3.95)
P(67< 𝑋 < 77) =0.999961 – 0.000039
P(𝟔𝟕< 𝑿 < 𝟕𝟕) = 0.999922, aproximadamente
14
La población de los pesos de personas, X, tiene
una media de 72 kilogramos y desviación
estándar de 8 kilogramos. Se obtiene una
muestra aleatoria de n = 40 personas. ¿Cuál es la
probabilidad de la media muestral se encuentre
entre 67 y 77?
Solución.
De acuerdo al TLC la media muestral tiene una
distribución que se aproxima a la normal con
media y varianza dadas por
Cuando n es grande (n>=30)
E(𝑋)= µ y Var(𝑋)=
σ2
𝑛

15. Muestreo en poblaciones normales (Teorema 8.4)
Sea una población 𝑋~𝑁(µ, σ2), y
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 una MAS tomada de X,
entonces 𝑋 =
𝑋𝑖
𝑛
tiene distribución
normal con media µ y varianza
σ2
𝑛
En forma breve: 𝑋~𝑁(µ,
σ2
𝑛
),
Demostración. Usando FGM
Hallaremos la FGM de 𝑋
15

16. FIN
Hugo Saavedra Saavedra
hsaavedra@unprg.deu.pe
16