PROBABILIDAD EVENTOS

126 CAPÍTULO 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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EVENTOS
Problema introductorio 1
El siguiente cuadro presenta 107 sismos que fueron reportados por el Observatorio
Vulcanológico y Sismológico de la Universidad Nacional (OVSICORI) para el año
2010 , de acuerdo con la región del país donde se detectó el epicentro:
Sismos más relevantes reportados por el OVSICORI
en el 2010 por intensidad y ubicación del epicentro
Región Magnitud: escala Richter Total
Menos de 4 4 o más
Central 27 7 34
H. Norte 3 1 4
H. Atlántica 2 1 3
Brunca 13 22 35
Chorotega 13 10 23
Pacífica C. 2 6 8
Total 60 47 107
Tomado de: OVSICORI-UNA. www.ovsicori.una.ac.cr/
Bajo el supuesto de que un investigador elige aleatoriamente uno de estos sismos,
se definen los siguientes eventos:
A : que el sismo escogido haya tenido epicentro en la Región Brunca.
B : que el sismo haya tenido una magnitud de 4 o más en la escala Richter.
C : que el sismo escogido haya tenido epicentro en la Región Chorotega.
D : que la magnitud del sismo haya sido menor de 4 grados en la escala Richter.
Determine el número de sismos que incluye cada uno de los siguientes eventos,
represéntelos en diagramas de Venn y ofrezca una interpretación.
a) A B
b) A B
c) C C
A B
d) B C
e) A C
f) B D

CAPÍTULO 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 127
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PROBABILIDADES
Problema introductorio 2
1) Se lanzan simultáneamente dos dados. Para la suma de los puntos de los dados:
a) Identifique un evento seguro y su probabilidad.
b) Identifique un evento imposible y su probabilidad.
c) ¿Por qué se dice que la probabilidad de un evento es un valor entre el cero y
el uno?
2) Considere los eventos:
A : Obtener un número primo
B : Obtener un múltiplo de cuatro
C : Obtener un múltiplo de tres
a) Compruebe que A y B son mutuamente excluyentes.
b) Determine  P A ,  P B y  P C .
c) Determine el evento A B y calcule  P A B .
d) ¿Se cumple que      P A B P A P B   ?
e) Determine el evento A C y calcule  P A C .
f) ¿Se cumple que      P A C P A P C   ?
g) ¿Qué se puede deducir de los resultados e) y f) ?
3) Resuelva lo siguiente:
a) Determine el evento B C y calcule  P B C .
b) Relacione los términos  P A C ,  P B C ,  P A y  P C .
c) Determine los eventos B C , B C .
d) Calcule  P B C y  P B C .
e) Relacione los términos  P B C ,  P B C ,  P B y  P C .
f) Determine C
A ,  C
P A , C
B y  C
P B .
g) ¿Qué relación existe entre  P A y  C
P A ?
h) ¿Qué relación existe entre  P B y  C
P B ?

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EVENTOS
H1: Describir relaciones entre dos o más eventos de acuerdo con sus puntos muestrales, utilizando para ello las operaciones: unión “  ”, intersección “  ” y
“complemento” e interpretar el significado dentro de una situación o experimento aleatorio.
H2: Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre eventos.
H3: Reconocer eventos mutuamente excluyentes en situaciones aleatorias particulares.
H4: Deducir mediante situaciones concretas las reglas básicas (axiomas) de las probabilidades.
H5: Deducir las propiedades relacionadas con la probabilidad de la unión y del complemento.
H6: Aplicar los axiomas y propiedades básicas de probabilidades en la resolución de problemas e interpretar los resultados generados.
H7: Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios.
Unión de eventos
La unión de los eventos A y B es el evento de que ocurre A o B (o los dos), se
denota por A B .
Ejemplo
Se lanzan tres monedas y se anota la secuencia de escudos y coronas. Si A es el
suceso de que salen escudos solo una vez, y B es el suceso de que salen coronas solo
una vez, entonces A B es el suceso de que salen escudos solo una vez o salen
coronas solo una vez:
Espacio muestral:
 : , , , , , , ,E eee eec ece ecc cee cec cce ccc
Evento escudo una sola vez:  : , ,A ecc cec cce
Evento corona una sola vez:  B: , ,eec ece cee
A B  : , , , , ,A ecc cec cce eec ece cee
Por diagrama de Venn
Complemento de un evento
El complemento de un evento A , es el evento de que A no ocurra, se denota por C
A .
Ejemplo
Se lanza un par de dados al aire y se anota la suma de los números orientados hacia
arriba. Si A es el evento de que la suma es par, entonces C
A es el evento de que la
suma es impar:
Espacio muestral:
 : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12E
Evento suma es par:  : 2, 4, 6, 8, 10, 12A
Evento suma impar:  : 3, 5, 7, 9, 11c
A
A B
E
A
Ec
A

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EVENTOS
Intersección de eventos
La intersección de los eventos A y B es el evento de que ambos A y B ocurran,
se denota por A B .
Ejemplo
Se escoge un número de tres dígitos ( 000 999del  ) al azar. Si A es el evento de que
el primer dígito es 9, y B es el evento de que los demás dígitos suman 2 , entonces
A B es el evento de que el primer dígito es 9 y los demás suman a 2 :
 
E : 3
1 00 0
es el conjunto de todos los números de dígitos
números en total
: 900 9 99el conjunto de todos los números del alA
:
#02, #11, ó #20
el conjunto de todos los números de la formaB
 : 902, 911, 920A B
Eventos mutuamente excluyentes
Si A y B son eventos, entonces decimos que A y B son disjuntos o mutuamente
excluyentes si A B es vacía.
Ejemplos
En el ejemplo anterior sobre la intersección de eventos, considere ahora que A es el
evento de que el primer dígito es 9, y B el evento de que el primer dígito es 8.
Entonces A y B son eventos mutuamente excluyentes.
A B
E
E
A
B
A B

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Ejercicios de movilización 4
A. Para cada uno de las siguientes situaciones, determine los puntos muestrales o
resultados simples de cada evento, utilice las operaciones entre eventos y
represente mediante diagramas de Venn para determinar cuáles eventos son
mutuamente excluyentes.
1) Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.
a) Evento A: Que salga el 7 .
b) Evento B: Que sea par.
c) Evento C: Que sea múltiplo de tres.
d) A B , A C , B C , A B , A C , B C , c
A , c
B , c
C .
e) ¿Cuáles eventos son mutuamente excluyentes?
2) Se lanzan tres dados.
a) Evento A: Obtener un 6 en todos.
b) Evento B: Que sea un número primo.
c) Evento C: Los puntos obtenidos sumen 7 .
d) A B , A C , B C , A B , A C , B C , c
A , c
B , c
C .
3) Al lanzar un dado al aire.
a) Evento A: Un número par.
b) Evento B: Un múltiplo de tres.
c) Evento C: Mayor que cuatro.
d) A B , A C , B C , A B , A C , B C , c
A , c
B , c
C .
4) Se extrae una bola al azar de una urna que tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla
y siete verdes.
a) Evento A: Que sea roja.
b) Evento B: Que sea verde.
c) Evento C: Que sea amarilla.
d) Evento D: Que no sea roja.
e) Evento E: Que no sea amarilla.
f) A B , A C , B C , A B , A C , B C , c
A , c
B , c
C .
g) ¿Cuáles eventos son mutuamente excluyentes?
5) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras.
a) Evento A: Que la bola sea roja o blanca.
b) Evento B: Que la bola no sea blanca.
c) Evento C: Que la bola sea negra.
h) A B , A C , B C , A B , A C , B C , c
A , c
B , c
C .
i) ¿Cuáles eventos son mutuamente excluyentes?

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PROBABILIDADES
Probabilidad de un evento
La probabilidad P de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho
evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n .
Ejemplo
Se lanza un dado y se anotan sus respectivos resultados. Determine la probabilidad
de los eventos A, B y C.
Evento A Evento B Evento C
Que el resultado sea un
número par
 
3 1
6 2
h
P par
n
  
Que el resultado sea 6
 
1
6
6
h
P
n
 
Que el resultado sea un
número impar
 
3 1
6 2
h
P impar
n
  
Axiomas de las probabilidades
A1: La probabilidad es positiva y menor o igual que 1 . Es decir,  0 1P A  .
A2: La probabilidad del evento seguro es 1 . Es decir,   1P E  .
A3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir 4 que
A B   entonces,      P A B P A P B  
Propiedades básicas de las probabilidades
P1: La suma de las probabilidades de un evento y su complemento es 1 , por tanto
la probabilidad del complemento es    1c
P A P A 
P2: Probabilidad del evento imposible es cero. Es decir,   0P  
P3: La probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes,
es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección. Es
decir,        P A B P A P B P A B    
 
h
P S
n


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Ejercicios de movilización 5
A. Resuelva los siguientes problemas
1) Se realiza una encuesta una semana antes de realizar las elecciones en un Colegio
para conocer la intención del voto, para ello se seleccionó una muestra de 10
estudiantes por nivel. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro:
Intención de voto para las elecciones estudiantiles de
una muestra de 10 estudiantes por nivel
Candidatos
Nivel A B C
Séptimo 4 3 3
Octavo 2 5 3
Noveno 6 2 2
Décimo 1 5 4
Undécimo 0 0 10
Total 13 15 22
Se sigue el supuesto de que la muestra es representativa de la población total de
estudiantes y de cada uno de los niveles. Además, la intención de voto se
mantendrá para la elección. De acuerdo con esta información responda las
siguientes interrogantes:
a) ¿Cuál candidato tendría una mayor probabilidad de ganar las elecciones?
b) ¿Cuál o cuáles candidatos tendrían mayor probabilidad de ganar las
elecciones si únicamente votaran estudiantes del Tercer Ciclo?
2) Considere el juego en el que se lanzan dos dados numerados de uno a seis. Se
considera la diferencia absoluta entre los resultados de los dados. Determine:
a) El número de puntos muestrales vinculados con el evento A : obtener un
número menor de seis.
b) El número de puntos muestrales vinculados con el evento B : el resultado
es cero.
c) El número de puntos muestrales a favor del evento C : obtener un seis.
d) ¿Cuál de los posibles resultados de la diferencia absoluta de puntos es el más
probable?
Con base en los resultados de este ejercicio responda:
e) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de los eventos ,A B o C citados
anteriormente?
f) En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento seguro?
g) En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento imposible?
Para un evento que resulta probable, ¿en qué rango numérico se puede decir
que se encuentra su valor probabilístico?

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3) Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres ; la mitad de los hombres y la mitad
de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una
persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
4) La probabilidad de que un hombre viva 20 años es
1
4
y la de que su mujer viva
20 años es
1
3
. Se pide calcular la probabilidad:
a) De que ambos vivan 20 años .
b) De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
c) De que ambos mueran antes de los 20 años .
5) Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y
blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la
tecla azul?
6) Al levantar una ficha de dominó determine las probabilidades de los siguiente
eventos:
a) A: se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4 .
b) B: se obtenga un número de puntos mayor que 4 y que sea múltiplo de 2 .
c) C: complemento de A y complemento de B
7) Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos, determine
la probabilidad de los siguientes eventos:
a) A: que salga el 7 .
b) B: que el número obtenido sea par.
c) C: que el número obtenido sea múltiplo de tres.
d) D: que no sea el 7 .
e) E: que el número obtenido no sea par.
f) F: que el número obtenido no sea múltiplo de tres.
g) G: que el número obtenido sea par y menor que 7 .
h) H: que el número obtenido sea par o impar.
i) I: que el número obtenido sea menor que 10 pero que no sea múltiplo de 3.

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8) Se lanzan tres dados, determine la probabilidad de:
a) Obtener un 6 en todos.
b) Los puntos obtenidos sumen 7 .
9) Determine la probabilidad de que al lanzar un dado al aire, salga:
a) Un número par.
b) Un múltiplo de tres.
c) Un número mayor que cuatro.
10) Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una al
azar, determine la probabilidad de que:
a) Sea roja.
b) Sea verde.
c) Sea amarilla.
d) No sea roja.
e) No sea amarilla.
f) Sea roja o verde.
g) Sea amarilla y verde.
h) Sea roja, amarilla o verde.
11) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6
negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea blanca?
12) En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10
morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno
que falta:
a) Sea hombre.
b) Sea mujer morena.
c) Sea hombre o mujer.

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