1. GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)
U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo) smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti od
brojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo grafik funkcije y  a sin(bx  c) .
POSTUPAK:
i) Nacrtamo grafik funkcije y = sinx
2
ii) Uočimo brojeve a,b i c , i nađemo periodu T  . Crtamo grafik y  sin bx .
b
c
iii) Odredimo vrednost izraza i vršimo pomeranje po x osi, to jest crtamo grafik y  sin(bx  c)
b
iv) Vrednost amplitude a nam pomaže da nacrtamo konačan grafik y  a sin(bx  c)
Ovo je jedan način za crtanje grafika. Drugi način je direktno ispitivanje značajnih tačaka, a već smo vam pomenuli da
ovde morate znati rešavati trigonometrijske jednačine.( Imate taj fajl, pa se malo podsetite...)

primer 1. Nacrtaj grafik funkcije: y  3sin(2 x  )
4
Rešenje
I način
 
Iz y  3sin(2 x  ) je a  3, b  2, c 
4 4
Crtamo prvo grafik osnovne funkcije y  sin x .
y
1
 3

2
2
slika 1.
2 
3
2
0 
2
2 x
-1
y=sinx
2 2
Nadjemo periodu : T  T   T 
b 2
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
1

2. Dalje crtamo grafik funkcije y  sin 2 x
y
1
 3
 3
2 4 2
2 3 0  
2 slika 2.

2
4 2 x
-1 y  sin 2 x

c c 4  
Vrednost izraza je   . Vršimo pomeranje grafika y  sin 2 x za ulevo:
b b 2 8 8
y
1
 3

2 2
 2  3
  0  2 slika 3.
2

8 x
-1 
y  sin(2 x  )
4
I konačno, kako je amplituda a  3 , to nam govori na “razvučemo” grafik izmedju -3 i 3 duž y ose.
y
3
2
1
 3
 3
2 4 2
2 3  0  
2 slika 4.

2

8
4 2 x
-1
-2
-3

y  3sin(2 x  )
4
II način
2
Zapišemo vrednosti za a,b i c. Nadjemo periodu T  .
b
Ispitujemo gde su nule funkcije.
Tražimo tačke ekstremuma ( maksimum i minimum).
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
2

3.  2 2
a  3, b  2, c  i T T   T 
4 b 2
Nule funkcije
To su mesta gde grafik seče x osu.
y0

3sin(2 x  )0
4
  
sin(2 x  )  0  2x   0  2x  
4 4 4

2x  0
4
  
2x    x Ovde sada dodamo periodu(T= ): x  k k Z
4 8 8

2x  
4
3 3 3
2x   x  x  k k Z
4 8 8
Ove tačke nalazimo na x osi .
Maksimum
Kako je amplituda a  3 , funkcija će imati maksimalnu vrednost za y=3.
y3

3sin(2 x  )3
4
      
sin(2 x  )  1  2x    2x    2x   x
4 4 2 2 4 4 8

I ovde moramo dodati periodu: x   k k Z
8
Minimum
Funkcija će imati minimalnu vrednost za y =-3
y  3

3sin(2 x  )  3
4
  3 3  5 5
sin(2 x  )  1  2 x    2x    2x   x
4 4 2 2 4 4 8
5
Dodajemo periodu: x   k k Z
8
www.matematiranje.com
3

4. Sada sklopimo grafik:
y
3
2
1
 3
 3
2 4 2
2 3   0  3  5 7  2

2

8 8 4 8 2 8 8 x
-1
-2
-3

y  3sin(2 x  )
4
Vidite i sami da ovaj drugi način daje precizniji grafik, ali mora se vladati rešavanjem jednačina.
Vi konstruišite grafik kako vaš profesor komanduje...
1 
primer 2. Nacrtaj grafik funkcije: y  2sin( x  )
2 6

1  2 2 c 6  c 
a  2, b  , c   T    4 , dakle T  4 i   , dakle 
2 6 b 1 b 1 3 b 3
2 2
y
1
 3 7

2 2 2
slika 1.
2 
3 0  2 5 3 4 x
2 2 2
-1
y  sin x
y
1
 3 7

2 2 2
2 3 0  2 5 3 4 x
slika 2.

2 2 2
-1
1
y  sin x
2
y
1
 3 7

2 2 2
slika 3.
2 
3 

3
0  2 5 3 4 x
2 2 2
-1
1 
y  sin( x  )
2 6
y
2
1
 3 7

2 2 2
slika 4.
2 
3 

3
0  2 5 3 4 x
2 2 2
-1
-2
1 
y  2sin( x  )
2 6
4

5. Ako bi radili preko ispitivanja :
Nule funkcije
y0
1 
2sin( x  )  0
2 6
1  1  1 
sin( x  )  0  x   0  x   
2 6 2 6 2 6
1   
x 0 x  i kad dodamo periodu: x    4k
2 6 3 3
1  5 5
x   x  kad dodamo periodu: x  4 k
2 6 3 3
Maksimum
y2
1 
2sin( x  )  2
2 6
1 
sin( x  )  1
2 6
1  3
x 
2 6 2
1 8
x
2 6
8 8
x dodamo periodu x +4k
3 3
Minimum
y  2
1 
2sin( x  )  2
2 6
1 
sin( x  )  1
2 6
1  
x 
2 6 2
1 2
x
2 6
2 2
x  x  4 k
3 3
Da sklopimo grafik:
www.matematiranje.com
5

6. y
2
1
2
3
2 
3  
 0  5 2 8 3 11
4 x
3 3 3 3
2
-1
-2
1 
y  2sin( x  )
2 6

primer 3. Nacrtaj grafik funkcije: y  2 cos(2 x  )
4
Grafik ove funkcije se konstruiše na isti način kao i za sinusnu funkciju. Razlika je jedino u tome što je
početni grafik y  cos x

Za y  2 cos(2 x  ) je:
4

a  2, b  2, c 
4
2 2
T    T 
b 2

c 4  c 
   
b 2 8 b 8
Krećemo od grafika y  cos x :
y
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2 0
2
-1
Dalje crtamo grafik y  cos 2 x , to jest smanjujemo periodu na  .
www.matematiranje.com
6

7. y
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2 0
2
-1 y  cos 2 x
c  
Kako je  , vršimo pomeranje ovog grafika za udesno:
b 8 8
y
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2  
3 0  2
8
-1

y  cos(2 x  )
4
Amplituda je a  2 , pa “ raširimo” grafik izmedju -2 i 2 po y osi.
y
2
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2 
3
8
0
2
-1
-2

y  2 cos(2 x  )
4
Evo konačnog grafika.
primer 4. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin x  1
Ovakvu situaciju do sada nismo imali... Ali smo nešto slično radili kod kvadratne funkcije ( pogledaj taj fajl).
Broj « van » sinusa nam ustvari predstavlja pomeranje po y-osi!
Ako je taj broj pozitivan grafik se pomera “na gore” a ako je taj broj negativan , grafik se za toliko pomera “na dole”.
www.matematiranje.com
7

8. Ovde imamo +1, pa ćemo nacrtati grafik funkcije y  sin x i ceo grafik podići za 1 na gore.
y
y  sin x
1
 3

2 2
2 3 0 
2 x

2 2
-1
y
y  sin x  1
2
1
 3

2 2
2 3 0 
2 x

2 2
-1
primer 5. Nacrtaj grafik funkcije: y  cos x  2
Crtamo grafik y  cos x pa ga “spustimo” za 2 na dole po y osi!
y
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2 0
2
-1
y
1
3   3
 
2 2 2 2 x
2 0
2
-1
-2
-3
y  cos x  2
www.matematiranje.com
8

9. primer 6. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin x  3 cos x
Rešenje:
Ovde nam je prvi posao da “ spakujemo” funkciju na oblik y  a sin(bx  c) ili y  a cos(bx  c) .
Ovde moramo koristiti formulice iz trigonometrije, a ima i nekih trikova...
2
y  sin x  3 cos x kao trik dodamo
2
2 2
y  sin x  3 cos x  sad uzmemo 2 ispred zagrade
2 2
1 3  1  3
y  2( sin x  cos x)  znamo da je cos  i sin  , zamenimo ...
2 2 3 2 3 2
 
y  2( cos  sin x  sin  cos x)  malo pretumbamo....
3 3
 
y  2( sin x  cos  cos x  sin )  ovo u zagradi je formula sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
3 3

y  2sin( x  )
3

Znači, zadatu funkciju y  sin x  3 cos x smo sveli na oblik y  2sin( x  ) koji znamo da konstruišemo.
3
Ostavljamo vama za trening da probate sami da je konstruišete.
 3
primer 7. Nacrtaj grafik funkcije: y  sin(2 x  )  cos(2 x  )
4 4
Rešenje:
I ovde imamo zeznutu situaciju. Najpre moramo prebaciti kosinus u sinus preko formulice za vezu trigonometrijskih
funkcija u I kvadrantu:

cos x  sin(  x)
2
www.matematiranje.com
9

10.  3
y  sin(2 x  )  cos(2 x  )
4 4
  3
y  sin(2 x  )  sin[  (2 x  )]
4 2 4
  3
y  sin(2 x  )  sin[  2 x  ]
4 2 4
 5 x y x y
y  sin(2 x  )  sin(  2 x)  dalje koristimo formulicu: sin x  sin y  2sin cos
4 4 2 2
 5  5
2x    2x 2 x   (  2 x)
y  2sin 4 4  cos 4 4
2 2
 5  5
2x   2 x 2x    2x
y  2sin 4 4  cos 4 4
2 2
3
4x 
 2  znamo da je sin   1
y  2sin  cos
2 2 2
3
4x
y  2 1  cos(  2 )
2 2
3
y  2  cos(2 x  )
4
I ovo je za trening...Ako se ne snalazite, pošaljite nam mejl pa ćemo probati da vam pomognemo, nekako.
www.matematiranje.com
10