INSTITUTO_TECNOLOGICO_SUPERIOR_A_N_T_O_L.pdf

I NSTI TUTO TECNOLÓGI CO SUPERI OR
de Acayucan
Asignatura: Métodos Numéricos
Clave de la asignatura: SCC - 0423
Carrera: I ngeniería en Sistemas Computacionales
A N T O L O G I A
Presenta:
ING. ULISES GIRON JIMENEZ
ACAYUCAN, VER. OCTUBRE 2009

Métodos Numéricos
Ing. Ulises Girón Jiménez

INDICE
OBJETIVO GENERAL…………………..…………………….……………… 5
JUSTIFICACION …………………………………………………………….. 6
UNIDAD I Teoría de errores……………………………………………………………… 7
1.1 importancia de los métodos numéricos…………………………………. 8
1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud,
incertidumbre y sesgo………………………………………………............... 15
1.3 Tipos de errores…………………..……………………………………….
1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo……………
1.3.2 Error por redondeo…………………………………………
1.3.3 Error por truncamiento……………………………………..
1.3.4 Error numérico total…………………………………………
17
17
18
20
22
1.4 Software de computo numérico…………………………….……………. 23
1.5. Métodos iterativos ……………………………………………………….. 26
UNIDAD II Métodos de solución de ecuaciones………….…………………………….. 37
2.1. Método de Intervalo………………………………………………….. 38
2.2. Método de bisección………………………………………………… 41
2.3. Método de interpolación……………………………………………..
2.3.1. Método de Newton – Raphson……………………………
2.3.2. Método de la secante………………………………………
48
48
51
2.4. Aplicaciones………………………………………………………… 54
UNIDAD III Métodos de solución de sistemas de ecuaciones……………………… 61
3.1 Métodos Iterativos…………………………………………………………
3.1.1 Jacobi………………………………………………………..
3.1.2. Gauss – Seidel……………………………………………….
62
62
64
3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales…………………………………….
3.2.1. Método iterativo secuencial……………………………………….
66
66
III

3.3 Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones………………..
3.3.1 sistemas de ecuaciones de Newton……………………..
71
71
3.4 Aplicaciones……………………………………………………………….. 76
UNIDAD IV Diferenciación e integración numérica …………………………………... 86
4.1.Diferenciación numérica………………………………………………….. 87
4.2.Integración numérica…………………………………………..………..
4.2.1. Método del trapecio……………………………….………..
4.2.2. Método de Simpson……………………………….………
95
98
106
4.3.Integración Múltiple……………………………………………………….. 114
4.4.Aplicaciones……………………………………………………….………. 116
UNIDAD V Soluciones de ecuaciones diferenciales ………………………………… 118
5.1 Método de un paso………………………………………………………..
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado………………………..
5.1.2 Método de Runge – Kutta…………………………………..
119
120
129
5.2. Método de pasos Múltiples……………………………………………… 134
5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 135
5.4. Aplicaciones 136
Bibliografía 141
IV

OBJETIVO GENERAL
El estudiante conocerá, comprenderá y aplicará métodos numéricos para resolver problemas
de la ingeniería y científicos mediante el uso de computadora.
V

VI
JUSTIFICACION
Uno de los objetivos del Instituto Tecnológico Superior de Acayucan, es el de promover,
apoyar e impulsar el trabajo creativo del docente, principalmente en la elaboración de
antología que apoya al proceso enseñanza – aprendizaje, el cual debe ser estimulado con
los comentarios y sugerencias del profesorado y conviene que sea imitado por otros
maestros, quienes con capacidad de trabajo y tiempo disponible, pueden y deben gestar
literatura de este género, dando los pasos adecuados para pulirla y poder formar así textos
que faciliten la enseñanza y el aprendizaje del curso.
El presente material de consulta y apoyo didáctico se pone en manos de nuestros maestros
y, particularmente, de los alumnos que se forman en nuestro instituto. Considero los
contenidos de esta antología como el propósito más firme de mi convencimiento para facilitar
el estudio de la probabilidad y estadística en las nuevas generaciones que me honran al
confiarme su preparación y garantizar modestamente el fijarles una enseñanza para toda la
vida.

UNIDAD 1
TEORÍA DE ERRORES.
Objetivo:
El estudiante comprenderá la
importancia de los métodos numéricos
y conocerá las características
operativas del software de cómputo
numérico comercial.

UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
1.1.Importancia de los métodos numéricos.
El objeto de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de los métodos
numéricos que tienen como resultados un valor numérico.
Relación entre análisis numérico y métodos numéricos:
Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los métodos numéricos son los
siguientes:
• Son algoritmos que establecen la secuencia de solución de sistemas de ecuaciones
de gran tamaño, con características de ser no lineales y geométricas complicadas,
porque la mayor parte de los problemas reales tienen este comportamiento, y que
por lo general su solución es muy complicada a través de métodos analíticos.
• Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos básicos de los
métodos más comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendrá la necesidad
de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los
algoritmos de problemas reales y que estén basados sobre algún método numérico.
• Con los métodos numéricos el ingeniero usara la computadora como herramienta, el
cual es uno de los propósitos, porque el profesionista debe de olvidarse de los
cálculos, y enfocarse en el diseño y planteamiento de la solución de los problemas.
• Proporciona una mayor comprensión de las matemáticas, ya que reducen las
matemáticas superiores a operaciones básicas simples.
8

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de
tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos
de métodos numéricos, todos comparten una característica común: invariablemente los
métodos numéricos lleva a cabo un buen numero de tediosos cálculos aritméticos. Con el
desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos
en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado considerablemente en los últimos
años.
Métodos anteriores a la aparición de la computadora.
Más allá de solo proporcionar un aumento en la potencia de cálculo la disponibilidad general
de las computadoras (especialmente de las computadoras personales) y su asociación con
los métodos numéricos, ha tenido una influencia muy significativa en el proceso de solución
de problemas de ingeniería. Antes del uso de la computadora había tres métodos diferentes
que los ingenieros aplicaban a la solución de problemas:
1. Primero, se encontraban las soluciones de algunos problemas usando método
exacto o analítico. Con frecuencia estas soluciones resultaban útiles y
proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos
sistemas. Sin embargo, las soluciones analíticas pueden encontrarse solo para una
clase limitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellos que pueden
aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tienen valor práctico
limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican
formas y procesos complejos.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas.
Éstas tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a
menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no
son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una
computadora) son tediosas en extremo y difíciles de implementar. Finalmente, las
técnicas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan describirse
usando tres dimensiones o menos.
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras manuales y
reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproximaciones deberían ser
perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se
9

presentan algunas dificultades. Los cálculos manuales son lentos y tediosos.
Además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones
cuando se efectúan las tareas manualmente.
Antes del uso de la computadora, se gastaba mucha energía en la técnica misma de
solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema su interpretación (Fig. 1.1 a).
Esta situación desafortunada existía debido al tiempo y trabajo monótono que se requerían
para obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban a la computadora.
Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para
cálculos tan complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se
pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o
técnicas deficientes.
Aunque dichas suposiciones son aún extremadamente valiosas tanto para resolver
problemas como para proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos
representan alternativas que amplían considerablemente la capacidad para confrontar y
resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar las
habilidades creativos personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la
formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema
total, o conciencia "holística" (Fig. 1.1 b).
Figura: Las tres fases en la solución de problemas de ingeniería en a) la era anterior a las
computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaños de los recuadros indican con el
10

nivel de importancia que se dirige a cada fase en el salón de clases. Las computadoras
facilitan la implementación de técnicas de solución así permiten un mayor cuidado sobre los
aspectos creativos de la formulación de problemas y la interpretación de resultados.
Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería
Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las computadoras
digitales ha llevado a una verdadera explosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos
numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a
computadoras grandes (mainframes), por lo que muchos ingenieros continuaban usando
simples planteamientos analíticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario
mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de bajo costo, ha dado a
mucha gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo.
Además existen un buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodos
numéricos:
1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para la
solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes,
no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la practica de la
ingeniería y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto,
amplían la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.
2. En el transcurso de la carrera, es posible que el estudiante tenga la ocasión de usar
software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso
inteligente de programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se
basan estos métodos.
3. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las
computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender
programar las computadoras es escribir los programas. Como los métodos
numéricos, en su mayor parte están elaborados para implementarse en
computadoras, resultan ideales para este propósito. Aun mas, están especialmente
adaptadas para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras.
11

4. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las
matemáticas. Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir las
matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas ya que se profundizan en
los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su
capacidad de comprensión en la materia.
Problemas matemáticos y sus soluciones.
En el campo profesional de la ingeniería se requiere utilizar modelos matemáticos para la
predicción y explicación de ciertos fenómenos, un modelo matemático imprescindible para el
ingeniero son los métodos numéricos, ya que son técnicas mediante las cuales es posible
plantear soluciones a los problemas.
1. Raíces de ecuaciones.
Estos problemas están relacionados con el valor de una variable o de un parámetro que
satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería donde
con frecuencia resulta imposible despejar analíticamente parámetros de ecuación de
diseño.
Encontrar x tal que f(x) = 0
2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Estos problemas son similares a los de raíces de ecuaciones en sentido de que están
relacionados con valores que satisfacen las ecuaciones. Sin embargo, en lugar de
satisfacer una sola ecuación se busca un conjunto de valores que satisfaga
simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales las cuales surgen en el
contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de ingeniería. Se
originan a partir de modelos matemáticos de grandes sistemas de elementos
interrelacionados, tal como estructuras, circuitos eléctricos y redes de flujo. Las
ecuaciones lineales simultáneas surgen en el contexto de una variedad de problemas y
en todas las disciplinas de la ingeniería.
12

Dadas las a y las c
Encontrar:
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
c
x
a
x
a
c
x
a
x
a
=
+
=
+
x tal que
3. Integración.
Tal como se representa, una interpretación física de la integración numérica es la
determinación del área bajo la curva. La integración tiene diversas aplicaciones en la
práctica de la ingeniería, que van desde la determinación de los centroides de objetos de
forma extraña hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjunto de medidas
discretas.
Encontrar el área bajo la curva.
∫
=
b
a
dx
x
f
I )
(
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen un enorme significado en la practica de la
ingeniería. Esto se debe a que muchas leyes físicas están expresadas en términos de la
razón de cambio de una cantidad mas que en términos de magnitud. Entre otros
13

14
ejemplos tenemos los modelos de la predicción demográfica (razón de cambio de una
población) hasta la aceleración de un cuerpo que cae ( razón de cambio de la velocidad)
)
,
( y
t
f
t
y
dt
dy
=
Δ
Δ
≅
Encontrar y como función
de t.

1.2.Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo.
El análisis numérico proporciona métodos computacionales para el estudio y solución de
problemas matemáticos. Al derivar los métodos numéricos para la solución de dichos
problemas, analizaremos los errores presentes en esos métodos. Debido a que muchos
cálculos son realizados en computadores digitales, es conveniente la discusión para la
implementación de los métodos numéricos como programas de computador.
Una característica de estos métodos es que proporcionan sólo resultados aproximados, por lo
tanto el estudio del error es de interés central para el análisis numérico. En la practica
profesional, los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos. Se
puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar.
El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar
ormalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un numero son
aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del numero de dígitos que se
ofrecen con certeza, mas uno estimado. Estas cifras proporcionan información real relativa a
la magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de
cifras significativas incrementa la precisión de una medición. Los ceros no siempre son
cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números
0.000 018 45
0.000 184 5
0.001 845
tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la
notación científica en donde :
4.53 x 10
4
4.530 x 104
4.5300 x 104
muestran que el numero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los
métodos numéricos:
15

1. Los métodos numéricos dan resultados aproximados, por lo tanto, se deben de
desarrollar criterios para especificar que tan confiables son dichos resultados. Una
manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible
afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro
cifras significativas.
2. Aunque ciertas cantidades tales como 7
,
,e
π representan cantidades especificas,
no se pueden expresar exactamente con un numero finitos de dígitos. Por ejemplo,
π 3.14159265358979
= ..
hasta el infinito. Como las computadoras tienen solo un numero finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la
omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
precisión y exactitud.
La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.
Ya que el numero de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las
lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se
compone de dos características: conformidad y el numero de cifras significativas con las
cuales se puede realizar la medición.
La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad
medida. .
Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al
blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se
pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del
blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida también como
sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las
balas en la figura c están más juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente
inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión,
por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque
las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco),
la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.
16

Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a)
Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
1.3.Tipos de errores.
1.3.1. Definición de error: error absoluto y relativo.
Definición de Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud
obtenida.
Si es una aproximación a , el error se define como
*
p p
*
p
p
E −
=
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como
*
p
p
EA −
=
y el error relativo como
,
*
p
p
p
ER
−
= si 0
≠
p
y como por ciento de error a
100
)
(ER
ERP =
17

18
Error aproximado
100
x
on
aproximaci actual
a =
∈
on
aproximaci
on
aproximaci anterior
actual −
Ejemplo: Suponga que el valor para un calculo debería ser
2
10
10
.
0 x
p = pero se obtuvo el resultado , entonces
2
*
10
08
.
0 x
p =
%
20
100
2
.
0
10
10
.
0
10
08
.
0
10
10
.
0
2
10
08
.
0
10
10
.
0
2
2
2
2
2
=
=
=
−
=
=
−
=
ERx
ERP
x
x
x
ER
x
x
EA
1.3.2. Error por redondeo
Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se
debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un
ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un
número finito de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son de
8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de
cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de maneras
diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede
almacenar y usar Π como Π = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un
error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los
errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del
porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
1. ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. Además, estos cálculos a menudo depende entre si. Estos es, los
cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque

un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación
en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativos.
2. el efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo.
Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo
puede resultar de mucha importancia.
En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.
El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es 5 , si no
fuera así, el dígito conserva su valor.
≥
Ejemplo: la importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos.
Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989.
Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%.
Solución:
La diferencia de los números es:
32981108.1234
32981107.9989
0.1245
−
19

Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el numero 32 981 437.934 5 y
la diferencia es:
32981437.9345
32981107.9989
329.3356
−
Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo,
aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.
Ejemplo: Ilustraciones de las reglas de redondeo
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.
1. Errores de redondeo
5.6723 5.67 3 cifras significativas
2. suma y resta
a) 2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4
b) 0.00468 x 10 -7
+ 8.3 x 10 -4
–228 x 10-6
=6.02468 x 10 –4
= 6.0 x 10 -4
se
redondea hasta el 3 porque nos indica que es el valor para redondeo
3. multiplicación y división
a) Evalúese 0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31
b) 945/0.3185 = 2967.032967= 2970
1.3.3. Error por truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita
de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca
prematuramente después de un cierto número de pasos.
20

Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas :
645751311
.
2
7 =
2.64
7 ≈
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de
una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el
número, por lo que también cae en un error.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de
un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática
usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial.
La serie de Taylor.
La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en en términos
de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto
1
+
i
x
.
i
x
Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.
)
(
)
( 1 i
i x
f
x
f ≅
+
aproximación de primer orden .
h
x
f
x
f
x
f i
i
i )
(
)
(
)
( 1
′
+
≅
+ donde )
( 1 i
i x
x
h −
= +
aproximación de segundo orden .
2
1
!
2
)
(
)
(
)
(
)
( h
x
f
h
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
′
′
+
′
+
≅
+ donde )
( 1 i
i x
x
h −
= +
De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión
completa de la serie de Taylor.
21

n
n
i
n
i
i
i
i R
h
n
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
x
f +
+
′
′
+
′
+
≅
+
!
)
(
!
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
Se incluye un termino residual para considerar todas los términos desde n + 1 hasta el
infinito:
1
)
1
(
)!
1
(
)
( +
+
+
= n
n
n h
n
f
R
ξ
donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n- ésimo orden y ξ es un
valor cualquiera de x que se encuentra en y
i
x 1
+
i
x
1.3.4. Error numérico total.
El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. Éste es el
medio para poder lograra minimizar los errores debido a redondeo, y esto se logra
incrementando el número de cifras significativas.
Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se
incrementan. Para poder disminuir un componente del error numérico total, se debe
incrementar otro valor.
Errores humanos
1. Errores por equivocación. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de
modelación matemática y puede contribuir con todas las otras componentes del error.
22

Se puede evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con
el cuidado sobre la aproximación y diseño de la solución a un problema.
2. Errores de formulación. Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo
que se podrían considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un
error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no
explica los efectos relativistas.
3. Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un análisis debido
a la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.
1.4.Software de cómputo numérico
En la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado están aquellos que
toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el
modo estándar de operación del software existente. Por ejemplo, resultan muy sencillo
resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar graficas con valores x - y con EXCEL,
Matlab o Mathcad . como este modo de operación por lo común requiere un mínimo
esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operación. Además, como los
diseñadores de estos paquetes se anticipan a la mayoría de las necesidades típicas de los
usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera.
Pero , ¿ Que pasa cuando se presentan problemas que están mas allá de las capacidades
estándar de dichas herramientas ? . en tal caso usted tiene dos alternativas.
La primera seria buscar otro paquete y ver si sirve para resolver el problema. Esta es una de
las razones por las que quisimos usar EXCEL como mathcad o Matlab. Como veremos ,
ninguno de ellos abarca todo y cada uno tiene sus ventajas.
El segundo seria que es posible volverse un “ potente usuario ” si se aprende a escribir
macros en EXCEL VBA ( visual basic for applications ).
Programas computacionales
Los programas computacionales son únicamente conjuntos de instrucciones que dirigen a la
computadora para realizar cierta tarea.
23

Visto desde esta perspectiva , reducimos toda complejidad a unos cuantos tópicos de
programación, que son:
̇ Representación de información sencilla ( declaración de constantes, variables y
tipos)
̇ Representación de información más compleja ( estructura de datos, arreglos y
registros)
̇ Formulas matemáticas (asignación, reglas de prioridad y funciones intrínsecas)
̇ Entrada / salida
̇ Representación lógica ( secuencia, selección y repetición)
̇ Programación modular ( funciones y subrutinas)
Programación estructurada
En esencia la programación estructurada es un conjunto de reglas que desarrollan en el
programa los hábitos para lograr un buen estilo. Aunque la programación estructurada es
bastante flexible para permitir considerable creatividad y expresión personal, sus reglas
imponen suficientes restricciones para hacer que los programas resultantes sean muy
superiores a sus versiones no estructuradas.
Un diagrama de flujo es una representación visual o grafica de un algoritmo. Emplea una
serie de cajas o bloques y flechas, cada una de las cuales representa un determinado paso u
operación del algoritmo. Otra manera de expresar los algoritmos y que constituyen un puente
de unión entre los diagramas de flujo y el código de la computadora, es el pseudocodigo.
Programación modular
Dividir una tarea o una materia complicada en partes mas accesibles es una manera de
hacerla mas fácil. Siguiendo una misma idea, los programas de computación se dividen en
subprogramas mas pequeños, o módulos que pueden desarrollar y probarse por separado. A
esta forma de trabajar se le llama programación modular.
Excel.
Excel es una hoja de calculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de cálculos son un tipo
especial de software para matemáticas que permite al usuarios ingresar y realizar cálculos
en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versión computarizada de una gran
hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de cálculos
interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de la hoja , hay que actualizar
todos los cálculos , las hojas son ideales para hacer análisis del tipo “ ¿ y que pasa si ... ?”
24

Excel cuenta con varios recursos numéricos interconstruidos como resolución de
ecuaciones, ajuste de curvas y optimización. Incluye también VBA como un lenguaje de
macro que sirve para hacer cálculos numéricos. Por ultimó, tiene varias herramientas para la
visualización como diagramas y graficas tridimensionales, que son un valiosos complemento
para el análisis numérico.
Matlab
Matlab es el principal producto de software de Mathworks, Inc. , fundada por los analistas
numericos Cleve Moler y John N. Little. Como su nombre lo indica, Matlab se desarrollo
originalmente como un laboratorio para matrices. Hoy , el elemento principal de Matlab sigue
siento la matriz. La manipulación matemática de matrices se ha realizado muy
adecuadamente en un ambiente interactivo fácil de utilizar. A esta manipulación matricial,
Matlab agrega varias funciones numéricas, cálculos simbólicos y herramientas para
visualización.
Matlab tiene diferentes funciones y operadores que permiten la adecuada realización de los
métodos numericos que aquí desarrollamos.
Mathcad
El uso del software Mathcad 2001 Professional supone un paso adelante para clarificar y
potenciar el aprendizaje de conceptos, técnicas e ideas matemáticas de forma que sean de
clara utilidad práctica, tanto de cara al desarrollo del currículo académico como de cualquier
actividad profesional. En este sentido, el uso adecuado de este programa no sólo facilita la
adquisición de conceptos clave sino que también fomenta la creatividad dentro del ámbito
matemático, facilitando la contextualización de las asignaturas cuantitativas y ofreciendo
cientos de operadores y funciones incorporadas para resolver problemas técnicos, desde los
más simples hasta los más complicados.
Mathcad 2001 Professional es un software de cálculo, extremadamente versátil y potente
como lenguaje de programación. Contiene una exhaustiva biblioteca de funciones
estadísticas y de análisis, una colección de potentes algoritmos para resolución problemas
así como herramientas de manipulación de matrices. La principal característica de Mathcad
es que resulta tan fácil de usar como las conocidas hojas de cálculo que pueden encontrarse
en el mercado. Y, sin embargo, no es necesario aprender ninguna sintaxis complicada en
Mathcad una ecuación aparece tal y como se podría ver en una pizarra o en un libro.
25

Algoritmos y estabilidad.
El tema fundamental de esta asignatura es el estudio, selección y aplicación de algoritmos,
que se definen como secuencias de operaciones algebraicas y lógicas para obtener la
solución de un problema. Por lo general, se dispone de varios algoritmos para resolver un
problema particular; unos de los criterios de selección es la estabilidad del algoritmo; esto es,
que a pequeños errores de los valores manejados se obtengan pequeños errores en los
resultados finales
.
1.5.Métodos iterativos.
Ejemplo: Estimación del error para métodos iterativos
Enunciado del problema : en matemáticas, a menudo se puede representa las funciones
mediante una serie infinita. Por ejemplo la función exponencial se puede calcular usando:
...
!
4
!
3
!
2
1
4
3
2
+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
ex
Mientras mas términos se le agreguen a la serie , la aproximación se acercara mas y mas al
valor de ∈x
. la ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.
Empezando con el primer termino , e x
= 1, y agregando un termino a la vez, estímese el
valor de e 0.5
. después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y a
∈ . Nótese
que el valor real de agréguense términos hasta que
648721271
.
1
5
.
0
=
e
s
a <∈
∈ contempla tres cifras significativas.
Solución
∈ s = (0.5 x 10 2 – 3
) % = 0.05 %
por lo tanto , se agregaran términos a la serie hasta que ∈ a se menos que este nivel.
,
*
p
p
p
ER
−
= si 0
≠
p 100
)
(ER
ERP =
26

100
x
on
aproximaci
on
aproximaci
on
aproximaci
actual
anterior
actual
a
−
=
∈
Ejercicio: La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:
L
−
+
−
+
−
=
!
8
!
6
!
4
!
2
8
6
4
2
x
x
x
x
Cosx
Iniciando con el primer termino cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para estimar
3
cos
π
. Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores
porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el
valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo
cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.
Solución:
∈ s = (0.5 x 10 2 – 2
) % = 0.5 %
cos
π
3
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
0.5
=
27

28
Ejercicio: Repítase los cálculos del problema anterior pero ahora usando la serie de
Maclaurin para sen x = 0
L
+
−
+
−
=
!
7
!
5
!
3
7
5
3
x
x
x
x
Senx
estímese el 2
π
Sen
∈ s = (0.5 x 10 2 – 2
) % = 0.5 %
1
2
=
π
Sen empezando sen x = 0
Ejemplo: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.
Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para
aproximar la función :
2
.
1
25
.
0
5
.
0
15
.
0
1
.
0
)
( 2
3
4
+
−
−
−
−
= x
x
x
x
x
f desde el punto 0
=
i
x y con h = 1. Esto es,
predecir el valor de la función en .
1
1 =
+
i
x
Solución:
Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1

f x
( ) 0.1
− x
4
0.15x
3
− 0.5x
2
− 0.25x
− 1.2
+
:= x 0
:=
f x
( ) 1.2
=
f x
( ) 0.1
− x
4
0.15x
3
− 0.5x
2
− 0.25x
− 1.2
+
:= x 1
:=
f x
( ) 0.2
=
Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta
f(1)=0.2. por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.
La aproximación en serie de Taylor de orden cero es:
)
(
)
( 1 i
i x
f
x
f ≅
+ =1.2
Como se puede ver en la figura la aproximación de orden cero es una constante . el error de
truncamiento en este caso es
*
p
p
E −
=
E = 0.2 – 1.2 = - 1.2
En x = 1. Para n = 1, la primera derivada se debe determinar y evaluar en x = 0
f x
( ) 0.1
− x
4
0.15x
3
− 0.5x
2
− 0.25x
− 1.2
+
:= x 0
:=
x
f x
( )
d
d
0.25
−
=
La aproximación a primer orden es:
)
( 1 i
i x
x
h −
= +
)
)(
(
'
)
(
)
( 1
1 i
i
i
i
i x
x
x
f
x
f
x
f −
+
≅ +
+
h
x
f i 25
.
0
2
.
1
)
( 1 −
≅
+
29

f h
( ) 1.2 0.25
− h
⋅
( )
+
:= h 1
:=
f h
( ) 0.95
=
que se puede usar para h = 1 , calcular f(1) = 0.95 . Por consiguiente , la aproximación
empieza a coincidir con la trayectoria de la función como la pendiente de una línea recta. De
esta manera el error de truncamiento se reduce a :
E = valor verdadero – valor aproximado = 0.2 – 0.95 = - 0.75
en x = 1 para n = 2, se evalúa la segunda derivada en x = 0:
f x
( ) 0.1
− x
4
0.15x
3
− 0.5x
2
− 0.25x
− 1.2
+
:= x 0
:=
2
x
f x
( )
d
d
2
1
−
=
2
1
1
1 )
(
!
2
)
(
'
'
)
)(
(
'
)
(
)
( i
i
i
i
i
i
i
i x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f −
+
−
+
≅ +
+
+
2
1 )
!
2
1
(
25
.
0
2
.
1
)
( h
h
x
f i
−
+
−
≅
+
f h
( ) 1.2 0.25
− h
⋅
( )
+
1
−
2!
h
2
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
:= h 1
:=
f h
( ) 0.45
=
Los términos adicionales mejoran aun mas la aproximación.
en x = 1 para n = 3, se evalúa la tercera derivada en x = 0:
30

f x
( ) 0.1
− x
4
0.15 x
3
− 0.5 x
2
− 0.25 x
− 1.2
+
:= x 0
:=
3
x
f x
( )
d
d
3
0.9
−
=
3
1
2
1
1
1 )
(
!
3
)
(
'
'
'
)
(
!
2
)
(
'
'
)
)(
(
'
)
(
)
( i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f −
+
−
+
−
+
≅ +
+
+
+
3
2
1 )
!
3
9
.
0
(
)
!
2
1
(
25
.
0
2
.
1
)
( h
h
h
x
f i
−
+
−
+
−
≅
+
f h
( ) 1.2 0.25
− h
⋅
( )
+
1
−
2!
h
2
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
0.9
−
3!
h
3
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
:= h 1
:=
f h
( ) 0.3
=
En x = 1 para n = 4, se evalúa la cuarta derivada en x = 0:
f x
( ) 0.1
− x
4
0.15 x
3
− 0.5 x
2
− 0.25 x
− 1.2
+
:= x 0
:=
4
x
f x
( )
d
d
4
2.4
−
=
4
1
4
3
1
2
1
1
1 )
(
!
4
)
(
)
(
!
3
)
(
'
'
'
)
(
!
2
)
(
'
'
)
)(
(
'
)
(
)
( i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f −
+
−
+
−
+
−
+
≅ +
+
+
+
+
4
3
2
1 )
!
4
4
.
2
(
)
!
3
9
.
0
(
)
!
2
1
(
25
.
0
2
.
1
)
( h
h
h
h
x
f i
−
+
−
+
−
+
−
≅
+
Donde el termino residual es:
1
)
1
(
)!
1
(
)
( +
+
+
= n
n
n h
n
f
R
ξ
5
)
5
(
4
!
5
)
(
h
f
R
ξ
=
31

f x
( ) 0.1
− x
4
0.15x
3
− 0.5x
2
− 0.25x
− 1.2
+
:= x 0
:=
5
x
f x
( )
d
d
5
0
=
ya que la quinta derivada de un polinomio de cuarto orden es nula, R4 =0. Por consiguiente,
la expansión en serie de Taylor hasta la cuarta derivada produce una aproximación exacta
en x = 1
f h
( ) 1.2 0.25
− h
⋅
( )
+
1
−
2!
h
2
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
0.9
−
3!
h
3
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
2.4
−
4!
h
4
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
+
:= h 1
:=
f h
( ) 0.2
=
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta para un polinomio
de n-ésimo. Para otras funciones continuas diferenciales, como las exponenciales o
senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un numero finito de términos.
Cada uno de los término adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación , aunque
sea con poco. La decisión sobre cuantos términos se requieren para obtener una “
aproximación razonable” se basa en el termino residual de la expansión .
1
)
1
(
)!
1
(
)
( +
+
+
= n
n
n h
n
f
R
ξ
Esta ecuación residual es de la forma general, tiene dos grandes desventajas . Primero ξ
no se conoce exactamente sino que solo se sabe que esta entre xi y xi+1 . Segundo , para la
evaluación de la ecuación anterior se requiere para evaluar la (n + 1 ) – ésima derivada de
f(x).
Ejemplo: Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un numero infinito
de derivadas.
Enunciado del problema : úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para
aproximar :
32

x
x
f cos
)
( =
en 3
/
π
=
x
4
/
con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto
)
60
( °
π
= 45
(
x )
° .Nótese que esto significa que 12
4
3
π
π
π
=
−
=
h
Solución: Nota: el resultado de la sustitución y de ellos quien tengan el
valor pequeño ese será el valor exacto
F(x)= 0.5 f(x)= 0.707106781
El valor exacto
f x
( ) cos x
( )
:= x
π
3
:=
f x
( ) 0.5
=
La aproximación de orden cero es
f x
( ) cos x
( )
:= x
π
4
:=
f x
( ) 0.707106781
=
%
4
.
41
%
100
5
.
0
707106781
.
0
5
.
0
−
=
−
=
ERP
La aproximación de primer orden es
)
(
)
(
' x
sen
x
f −
=
( ) h
x
sen
x
f ))
(
(
cos
3
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( )h
+
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.521986659
=
%
40
.
4
%
100
5
.
0
521986659
.
0
5
.
0
−
=
−
=
ERP
La aproximación de segundo orden es
)
cos(
)
(
'
' x
x
f −
=
33

( ) 2
!
2
)
cos(
))
(
(
cos
3
h
x
h
x
sen
x
f −
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( ) h
+
cos x
( )
−
2!
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
h
2
+
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.497754491
=
%
449
.
0
%
100
5
.
0
497754491
.
0
5
.
0
=
−
=
ERP
La aproximación de tercer orden es
)
(
)
(
'
'
' x
sen
x
f =
( ) 3
2
!
3
)
(
!
2
)
cos(
))
(
(
cos
3
h
x
sen
h
x
h
x
sen
x
f +
−
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( )h
+
cos x
( )
−
2!
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
h
2
+
sin x
( )
3!
h
3
⋅
+
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.499869147
=
%
0262
.
0
%
100
5
.
0
499869147
.
0
5
.
0
=
−
=
ERP
La aproximación de cuarto orden es
)
cos(
)
(
4
x
x
f =
( ) 4
3
2
!
4
)
cos(
!
3
)
(
!
2
)
cos(
))
(
(
cos
3
h
x
h
x
sen
h
x
h
x
sen
x
f +
+
−
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( )h
+
cos x
( )
−
2!
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
h
2
+
sin x
( )
3!
h
3
⋅
+
cos x
( )
4!
h
4
⋅
+
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.500007551
=
2
10
51
.
1
%
100
5
.
0
500007551
.
0
5
.
0 −
−
=
−
= x
ERP
34

35
La aproximación de quinto orden es
)
(
)
(
5
x
sen
x
f −
=
( ) 5
4
3
2
!
5
)
(
!
4
)
cos(
!
3
)
(
!
2
)
cos(
))
(
(
cos
3
h
x
sen
h
x
h
x
sen
h
x
h
x
sen
x
f −
+
+
−
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( )h
+
cos x
( )
−
2!
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
h
2
+
sin x
( )
3!
h
3
⋅
+
cos x
( )
4!
h
4
⋅
+
sin x
( )
−
5!
h
5
⋅
+
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.500000304
=
5
10
08
.
6
%
100
5
.
0
500000304
.
0
5
.
0 −
−
=
−
= x
ERP
La aproximación de sexto orden es
)
cos(
)
(
6
x
x
f −
=
( ) 6
5
4
3
2
!
6
)
cos(
!
5
)
(
!
4
)
cos(
!
3
)
(
!
2
)
cos(
))
(
(
cos
3
h
x
h
x
sen
h
x
h
x
sen
h
x
h
x
sen
x
f −
−
+
+
−
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
f h
( ) cos x
( ) sin x
( )
−
( )h
+
cos x
( )
−
2!
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
h
2
+
sin x
( )
3!
h
3
⋅
+
cos x
( )
4!
h
4
⋅
+
sin x
( )
−
5!
h
5
⋅
+
cos x
( )
6!
h
6
⋅
−
:= x
π
4
:= h
π
12
:=
f h
( ) 0.499999988
=
6
10
40
.
2
%
100
5
.
0
499999988
.
0
5
.
0 −
=
−
= x
ERP
Nótese que las derivadas nunca se acercan a cero, como es el caso del polinomio. Sin
embargo, cada término que se le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese
también que la mayor aproximación se consigue con los primeros términos.

36
f x
( ) cos x
( )
:= x 4
− 3.9
−
, 10
..
:=
5 0 5 10
1
1
f x
( )
x
Orden n
)
(x
f n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
π
f
ERP
6
5
4
3
2
1
0
499999988
.
0
500000304
.
0
500007551
.
0
499869147
.
0
497754491
.
0
521986659
.
0
707106781
.
0
6
5
2
10
40
.
2
10
08
.
6
10
51
.
1
0262
.
0
449
.
0
4
.
4
4
.
41
−
−
−
−
−
−
)
cos(
)
sin(
)
cos(
)
sin(
)
cos(
)
sin(
)
cos(
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
x
x
x

UNIDAD 2
METODOS DE SOLUCION
DE ECUACIONES
Objetivo:
Implementara métodos de solución de
ecuaciones algebraicas o
trascendentales, con apoyo de un
lenguaje de programación.

UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
2.1 Método de Intervalo
A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos
valores iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o
estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto
emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así
converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para
determinar valores iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las
funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.
Métodos gráficos.
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste
en graficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto , que representa el valor de x para
el cual f(x) = 0 , proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo: Métodos gráficos
Enunciado del problema: Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función
: x
e
x
f x
−
= −
)
(
Solución: Se calcula los siguientes valores
f x
( ) e
x
−
x
−
:= x 0.2
− 0.1
−
, 1.1
..
:=
0.5 0 0.5 1 1.5
1
1
2
f x
( )
x
38

39
f x
( ) 0.874
− x
2
1.75 x
+ 2.627
+
:= x 2.5
− 2.4
−
, 4.5
..
:=
5 0 5
10
5
5
f x
( )
x
f x
( ) 2 x
2
3 x
+ 5
−
:= x 5
− 5
..
:=
5 0 5
50
50
100
f x
( )
x
f x
( ) sin 10x
( ) cos 3x
( )
+
:= x 5
− 4.9
−
, 5
..
:=
5 0 5
2
2
f x
( )
x
Ejemplo: Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de
masa m = 68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s.
Nota la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2
. Determine su grafica.
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− t
m
c
e
c
gm
t
v 1

S
E
1
f
E
E
S
Solución:
Este problema
10, g = 9.8, v
( )
c
gm
c
f
⎜
⎜
⎝
⎛
= 1
0
20
20
40
34.115
3.977
−
f c
( )
4
Ejemplo : Gra
f x
( ) x
10
−
:=
5
5
10
15
f x
( )
Ejemplo: realic
Solución:
a se resuelve
= 40 y m = 68
e
t
m
c
−
⎟
⎟
⎠
⎞
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
1
0 5
ficar
1
−
0 0.5
x
ce la grafica d
UNIDAD I
e determinand
8.1
v
10 15
c
x 0 0.001
, ..
:=
1 1.5
x
de la ecuación
I / METODO
do la raíz de
(
f
20
17
1.3
n
O DE SOLUC
la ecuación
.
68
(
8
.
9
)
( =
c
c
CION DE EC
usando los p
1
)
1 1
.
68
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎜
⎝
⎛
−
c
e
CUACIONES
40
parámetros t =
40
10
1
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
S
0
=

Ejemplo: Escriba el programa que utiliza en Matlab para poder grafica r la siguiente función
X = 1:0.1:5
Y = x.^3 + 3*x^2 + 5*x +3
Figure
Plot(x,y)
Disp( ‘grafica de función’ )
2.2 Método de bisección
Los métodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar
un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de
signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de
subintervalos.
El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos
intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina
41

42
situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El
proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Si el intervalo original es de tamaño y el criterio de convergencia aplicado al valor
absoluto de la diferencia de dos consecutivas es
a
r
x ε , entonces se requerirán n iteraciones
, donde n se calcula con la igualdad de la expresión
ε
≤
n
a
2
de donde :
( ) ( )
( )
2
ln
ln
ln ε
−
=
a
n
Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren.
O bien se puede utilizar el siguiente criterio de convergencia ε
<
a
E
anterior
actual
a aprox
aprox
E −
=
Algoritmo Sencillo :
Paso 1: Elija los valores iniciales inferior y de forma tal que la función cambie de
signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que
1
x u
x
( ) ( ) 0
1 <
u
x
f
x
f
Entonces hay al menos una raíz entre y .
1
x u
x
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
2
1 u
r
x
x
x
+
=

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo cae la raíz
)
a ( ) ( ) 0
1 <
r
x
f
x
f ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o
izquierdo . Por lo tanto, tome r
u x
x = y continué en el paso 2.
)
b ( ) ( ) 0
1 >
r
x
f
x
f ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o
derecho. Por lo tanto, tome r
x
x =
1 y continué en el paso 2.
)
c ( ) ( ) 0
1 =
r
x
f
x
f ; la raíz es igual a ; termina el calculo.
r
x
Paso 4: Fin
Problema: Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:
n 10
=
n
ln 1 0
−
( ) ln 0.001
( )
−
ln 2
( )
:=
si tiene raíz
f x1
( ) f xu
( )
⋅ 0.632120559
−
=
xu 1
:=
x1 0
:=
f x
( ) e
x
−
x
−
:=
0 0.5 1
1
f x
( )
x 0 0.001
, 1
..
:=
Calculo :
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)
n = numero de iteraciones
x1 = valor de x inferior
xu = valor de x superior
xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)
f(x1) = funcion de x inferior
f(xu) = funcion de x superior
f(xr) = funcion de x media
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]
f(x1)*f(xu) < 0 , existe raíz
xr = (x1 + xu ) / 2
f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdo
f(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
Datos
xu 1
:=
x1 0
:=
error 0.001
:=
f x
( ) e
x
−
x
−
:=
43

s x1 0
←
xu 1
←
xr
x1 xu
+
2
←
c e
x1
−
x1
−
( ) e
xr
−
xr
−
( )
⋅
←
xr
x1 xu
+
2
←
tmp xr
←
xu tmp
←
c 0
<
if
xr
x1 xu
+
2
←
tmp xr
←
x1 tmp
←
c 0
>
if
xr c 0
=
if
k 1 2
, 3
, 4
, 5
, 6
, 7
, 8
, 9
, 10
,
∈
for
xr
:=
s 0.567382813
=
44

s 1.303710938
=
s x1 1
←
xu 2
←
xr
x1 xu
+
2
←
c cos x1
( ) ln x1
( )
−
( ) cos xr
( ) ln xr
( )
−
( )
⋅
←
xr
x1 xu
+
2
←
tmp xr
←
xu tmp
←
c 0
<
if
xr
x1 xu
+
2
←
tmp xr
←
x1 tmp
←
c 0
>
if
xr c 0
=
if
k 1 2
, 3
, 4
, 5
, 6
, 7
, 8
, 9
, 10
,
∈
for
xr
:=
n 10
=
n
ln 2 1
−
( ) ln 0.001
( )
−
ln 2
( )
:=
si tiene raíz
f x1
( ) f xu
( )
⋅ 0.599354115
−
=
xu 2
:=
x1 1
:=
f x
( ) cos x
( ) ln x
( )
−
:=
1 1.5 2
2
1
1
f x
( )
x
x 1 1.001
, 2
..
:=
Cal culo :
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]
xr = (x1 + xu ) / 2
Datos
xu 2
:=
x1 1
:=
error 0.001
:=
f x
( ) cos x
( ) ln x
( )
−
:=
Problema 2: Utilice el metodo de biseccion para obtener la raí real de la función
45

Problema: La ecuación de estado de Van der Walls para un gas real es:
( ) RT
b
V
V
a
P =
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 2
Donde :
=
P presión en atm ;
=
T temperatura en K;
=
R constante universal de los gases en atm – L / (gmol K) = 0.08205
=
V volumen molar del gas en L / gmol;
46

=
b
a, constantes particulares para cada gas
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 10 atm
Gas a b
He 0.03412 0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando como intervalo inicial
, ,
v
V 8
.
0
1 = v
Vu 2
.
1
=
Donde . Con
P
RT
v /
= 01
.
0
<
a
E
Solución:
n 7
=
n
ln vu v1
−
( ) ln 0.01
( )
−
ln 2
( )
:=
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]
xr = (x1 + xu ) / 2
Datos
si tiene raíz
f v1
( ) f vu
( )
⋅ 2178.6232848
−
=
f V
( ) p V
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) V
2
⋅
− a V
⋅
+ a b
⋅
−
:=
vu 3.4776072
=
v1 2.3184048
=
vu 1.2 v
⋅
:=
v1 0.8 v
⋅
:=
b 0.02370
:=
a 0.03412
:=
v
R T
⋅
p
:=
T 353.2
:=
R 0.08205
:=
p 10
:=
47

s v1 2.3184048
←
vu 3.4776072
←
vr
v1 vu
+
2
←
c p v1
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) v1
2
⋅
− a v1
⋅
+ a b
⋅
−
⎡
⎣ ⎤
⎦ p vr
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) vr
2
⋅
− a vr
⋅
+ a b
⋅
−
⎡
⎣ ⎤
⎦
⋅
←
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
vu tmp
←
c 0
<
if
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
v1 tmp
←
c 0
>
if
vr c 0
if
k 1 2
, 3
, 4
, 5
, 6
, 7
,
∈
for
vr
:=
s 2.925174806
=
2.3. Método de interpolación
2.3.1. Método de Newton – Raphson
Calculo de raíces por el método de newton
Es una de las formulas mas ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la
raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto
donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz.
El método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación
geométrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente
48

( ) ( )
1
0
+
−
−
=
′
i
i
i
i
x
x
x
f
x
f
Que se puede ordenar para obtener
( )
( )
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x
′
−
=
+ 1
La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.
Ejemplo . Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función
20
10
2
)
( 2
3
−
+
+
= x
x
x
x
f 3
1 10−
+ =
≤
− ε
i
i x
x
49

50
Cálculos en mathcad
f x
( ) x
3
2x
2
+ 10 x
+ 20
−
:=
x
f x
( )
d
d
3 x
2
⋅ 4 x
⋅
+ 10
+
→
df x
( ) 3x
2
4x
+ 10
+
:=
x
0
1
:= i 0 5
..
:=
x
i 1
+
x
i
f x
i
( )
df x
i
( )
−
:=
x
i
1
1.41176
1.36934
1.36881
1.36881
1.36881
= x
i 1
+
x
i
−
0.412
0.042
5.283·10 -4
8.08·10 -8
1.776·10 -15
0
= f x
i
( )
-7
0.918
0.011
1.704·10 -6
3.908·10 -14
0
=
Cálculos de Matlab
Ejemplo: Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación
5
15
18
3
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f , con un punto inicial de 8 , con un error de aproximación 01
.
0
=
Ea
.

2.3.2. Método de la secante
Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación
de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomio y para muchas otras
funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.
En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la
figura
Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de
Newton - Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando
51

52
una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el metodo de la secante usa una
diefrencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.
Por lo tanto el método de la secante
( ) (
( ) ( )
)
1
−
− i
i x
f
x
f
1
1
−
+
−
−
= i
i
i
i
i
x
f
x
x
x
x ε
<
−
+ i
i x
x 1
Ejemplo . Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función
20
10
2
)
( 2
3
−
+
+
= x
x
x
x
f 3
1 10−
+ =
≤
− ε
i
i x
x
cálculos en Mathcad
f x
( ) x
3
2x
2
+ 10x
+ 20
−
:=
x
0
0
:= x
1
1
:= i 0 5
..
:=
k 1 6
..
:=
x
k 1
+
x
k
x
k
x
k 1
−
−
( ) f x
k
( )
⋅
f x
k
( ) f x
k 1
−
( )
−
( )
−
:=
x
i
0
1
1.53846
1.35031
1.36792
1.36881
= x
i 1
+
x
i
−
1
0.538461538
0.188150612
0.017606419
0.000895543
0.000004782
= f x
k
( )
-7
3.75967228
-0.388136149
-0.018786791
1.008579888·10 -4
-2.600780391·10 -8
=

Cálculos en Matlab
Otra forma de resolver en Matlab
53

cálculos en EXCEL.
2.4. Aplicaciones
Problema: utilice el método de bisección: La ecuación de estado de Van der Walls para un
gas real es:
( ) RT
b
V
V
a
P =
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 2
donde :
=
P presión en atm ;
=
T temperatura en K;
=
=
V volumen molar del gas en L / gmol ;
constantes particulares para cada gas
=
b
a,
Gas A b
He 0.03412 0.02370
, , donde
v
V 8
.
0
1 = v
Vu 2
.
1
= P
RT
v /
= . Con 01
.
0
<
a
E
54

n 7
=
n
ln vu v1
−
( ) ln 0.01
( )
−
ln 2
( )
:=
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]
xr = (x1 + xu ) / 2
Datos
si tiene raíz
f v1
( ) f vu
( )
⋅ 2178.6232848
−
=
f V
( ) p V
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) V
2
⋅
− a V
⋅
+ a b
⋅
−
:=
vu 3.4776072
=
v1 2.3184048
=
vu 1.2 v
⋅
:=
v1 0.8 v
⋅
:=
b 0.02370
:=
a 0.03412
:=
v
R T
⋅
p
:=
T 353.2
:=
R 0.08205
:=
p 10
:=
55

s v1 2.3184048
←
vu 3.4776072
←
vr
v1 vu
+
2
←
c p v1
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) v1
2
⋅
− a v1
⋅
+ a b
⋅
−
⎡
⎣ ⎤
⎦ p vr
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) vr
2
⋅
− a vr
⋅
+ a b
⋅
−
⎡
⎣ ⎤
⎦
⋅
←
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
vu tmp
←
c 0
<
if
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
v1 tmp
←
c 0
>
if
vr c 0
if
k 1 2
, 3
, 4
, 5
, 6
, 7
,
∈
for
vr
:=
s 2.925174806
=
Problema : utilice el método de bisección: La ecuación de estado de Van der Walls para un
gas real es:
( ) RT
b
V
V
a
P =
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 2
donde :
=
P presión en atm ;
=
T temperatura en K;
=
=
V volumen molar del gas en L / gmol ;
=
b
a, constantes particulares para cada gas
56

57
Gas a b
He 0.03412 0.02370
, ,
v
V 8
.
0
1 = v
Vu 2
.
1
=
Donde . Con
P
RT
v /
= 01
.
0
<
a
E
p 30
:= R 0.08205
:= T 353.2
:=
v
R T
⋅
p
:=
a 0.03412
:= b 0.02370
:=
v 0.966002
=
v1 0.8 v
⋅
:= vu 1.2 v
⋅
:=
v1 0.7728016
= vu 1.1592024
=
f V
( ) p V
3
⋅
( ) p b
⋅ R T
⋅
+
( ) V
2
⋅
− a V
⋅
+ a b
⋅
−
:=
f v1
( ) f vu
( )
⋅ 26.5288152
−
= si tiene raíz
Datos Algoritmo
Intervalo [x1,xu]
xr = (x1 + xu ) / 2
n
ln vu v1
−
( ) ln 0.01
( )
−
ln 2
( )
:= n 5
=

P
c
A
a
S
s v1 0.
←
vu 1
←
vr ←
c ←
v
t
v
c
if
v
t
v
c
if
vr i
k ∈
for
vr
:=
s =
Problema: Pa
con su vapor,
Aplicando un
aproximación
Solución:
.7728016
.15922024
v1 vu
+
2
←
p v1
3
⋅
( ) p
(
−
⎡
⎣
←
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
vu tmp
←
0
<
vr
v1 vu
+
2
←
tmp vr
←
v1 tmp
←
0
>
c 0
if
1 2
, 3
, 4
, 5
,
0.978086503
ra obtener la
se llegó a la
método iterat
de 10-2
aplica
UNIDAD I
b
⋅ R T
⋅
+ ) v1
2
⋅
temperatura d
ecuación:
tivo de dos p
ado a f(T).
I / METODO
a v1
⋅
+ a b
⋅
− ⎤
⎦⋅
de burbuja de
puntos, encue
O DE SOLUC
p vr
3
⋅
( ) p b
⋅
(
−
⎡
⎣
e una mezcla
entre la tempe
CION DE EC
b R T
⋅
+ ) vr
2
⋅ +
de CCl4 y CF
eratura de bu
CUACIONES
58
a vr
⋅
+ a b
⋅
− ⎤
⎦
F4 en equilibrio
rbuja con una
S
8
o
a

A continuación se muestra la hoja de MathCAD con que se resuelve este problema usando
el método de posición falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de
f(T) para obtener un intervalo de búsqueda relativamente pequeño.
A continuación se muestra la hoja de MATLAB con que se resuelve este problema usando el
método de posición falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de
f(T) para obtener un intervalo de búsqueda relativamente pequeño.
59

60

UNIDAD 3
METODOS DE SOLUCION
DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
Objetivo:
Implementara los métodos numéricos
de solución de sistemas de ecuaciones,
con apoyo de un lenguaje de
programación.

UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1 Métodos Iterativos
3.1.1. Jacobi
El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de
raíces de una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales :
̇ Algunas veces no converge
̇ Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
El método Jacobi también puede tener esas fallas.
Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de
ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
s
k
i
k
i
k
i
i
a
x
x
x
ε
ε <
−
=
−
100
*
1
,
Ejemplo : resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi
1
4
1
4
1
4
1
4
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
=
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
62

63
con 01
.
0
=
s
ε s
k
i
k
i
k
i
i
a
x
x
x
ε
ε <
−
=
−
100
*
1
,
despejando las ecuaciones
4
1
2
1
+
=
x
x
4
1
3
1
2
+
+
=
x
x
x
4
1
4
2
3
+
+
=
x
x
x
4
1
3
4
+
=
x
x
Otro manera de poder resolverse utilizando otro criterio de paro o de convergencia
( ) ( )
1
1
d
x
x k
k
=
−
+
( ) ( ) ( )2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1 ... k
n
k
n
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
d −
+
+
−
+
−
= +
+
+
Problemas:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con
2
10−
=
ε

3
L
e
S
p
C
i
l
2
2
8
9
3
2
1
4
2
2
1
2
1
+
+
=
+
+
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.1.2. Gau
Los métodos
eliminación.
Suponga que
k
i
i
a
x
x
ε
−
=
,
para todas la
Como cada
inmediatamen
la solución es
UNIDAD III
3
1
4
2
5
4
3
4
3
4
3
−
=
−
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
ss – Seidel
s iterativos
El método d
e se da un con
k
i
k
i
x
<
−
100
*
1
s i, donde j y
nuevo valor
nte en la sigu
s convergente
/ METODO
5
10
=
o aproximad
e Gauss-Sei
njunto de n ec
s
ε
<
j-1 son las ite
de x se ca
uiente ecuació
e, se emplear
OS DE SOLU
dos proveen
del es el mé
cuaciones:
eraciones act
lcula con el
ón para deter
ra la mejor es
UCION SIST
n una altern
étodo iterativ
uales y previa
método de
rminar otro va
stimación pos
TEMAS DE E
nativa en lo
o más comú
as.
Gauss-Seide
alor de x. De
ible.
ECUACIONE
s métodos
únmente usad
el, este se u
esta manera
ES
64
de
do.
usa
, si

D
O
Ejemplo : res
4
4
4
1
4
4
3
3
2
2
1
2
1
=
+
−
−
+
−
−
+
−
=
−
x
x
x
x
x
x
x
x
Despejando l
4
1
2
1
+
=
x
x
Otro manera
( ) ( )
1
x
x k
k
−
+
UNIDAD III
suelva el sigu
1
1
1
4
3
=
=
−
=
−
x
x
as ecuacione
1
2
+
=
x
x
a de poder re
1
d
= 1
d
/ METODO
uiente sistema
es
4
1
3 +
+ x
x
esolverse uti
( 1
1
1
1
k
x
x −
= +
OS DE SOLU
a por el méto
4
4
2
3
+
=
x
x
x
lizando otro
) ( 1
2
2
1
k
k
x
x −
+ +
UCION SIST
odo de Gauss
1
+
4 =
x
criterio de p
) (
2
2 ... k
n
k
x
x +
+ +
TEMAS DE E
s – Seidel
4
1
3 +
=
x
paro o de con
)2
1 k
n
x
−
+
ECUACIONE
nvergencia
ES
65

Problemas :
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss – Seidel con
2
10−
=
ε
3
2
2
15
4
8
9
10
2
5
3
4
3
2
1
4
2
4
3
2
1
4
3
2
1
−
=
−
+
+
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.2. Sistemas de ecuaciones no lineales
3.2.1. Método iterativo secuencial
A continuación se dan ejemplos:
a)
( )
0
)
,
(
0
4
,
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
=
−
=
=
−
+
=
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
b)
0
1
)
,
(
0
)
(
10
)
(
1
2
1
2
2
1
2
2
,
1
1
=
−
=
=
−
=
x
x
x
f
x
x
x
x
f
66

c)
0
3
3
5
)
,
(
0
15
)
(
2
)
,
(
0
10
)
,
(
3
3
3
1
2
2
3
,
2
1
2
3
2
1
3
,
2
1
2
3
1
3
2
1
3
,
2
1
=
+
−
−
=
=
−
+
+
=
=
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
f
x
sen
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Ejemplo: Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales
0
8
10
0
8
10
2
2
2
2
1
=
+
−
+
=
=
+
+
−
=
y
x
xy
y
x
f
y
x
x
y
x
f
)
,
(
)
,
(
Solución:
Despejar x Despejar y
10
8
2
2
+
+
=
y
x
x
10
8
2
+
+
=
x
xy
y
Con la notación de la ecuación :
10
8
2
2
1 +
+
=
+ )
(
)
( k
k
k y
x
x
10
8
2
2
1 +
+
=
+ )
(
)
( k
k
k
k y
y
x
y
con los valores iniciales se inicia el proceso iterativo
,
, 0
0 0
0
=
= y
x
Primera iteración
8
0
10
8
0
0 2
2
1
.
=
+
+
=
x 8
0
10
8
0
0
0 2
1
.
)
(
=
+
+
=
y
Segunda iteración
928
.
0
10
8
)
8
.
0
(
)
8
.
0
( 2
2
2
=
+
+
=
x 9312
0
10
8
8
0
8
0
8
0 2
2
.
.
)
.
(
.
=
+
+
=
y
Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesión de vectores:
67

68
k k
x k
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.00000
0.80000
0.92800
0.97283
0.98937
0.99578
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
0.00000
0.80000
0.93120
0.97327
0.98944
0.99579
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
Usando mathcad
s x 0
←
y 0
←
xr
x
2
y
2
+ 8
+
10
←
xq
x y
2
⋅ x
+ 8
+
10
←
tmp1 xr
←
tmp2 xq
←
x tmp1
←
y tmp2
←
k 0 12
..
∈
for
:=
s 1
=

Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como
distancia entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente
de dos vectores consecutivos.
Una condición suficiente aunque no necesaria , para asegurar la convergencia es que
;
1
2
1
<
≤
∂
∂
+
∂
∂
M
x
g
x
g
1
2
1
<
≤
∂
∂
+
∂
∂
M
y
g
y
g
Por otro lado, si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge
rápidamente ; si M es cercana a 1 en magnitud , entonces la iteración puede converger
lentamente.
( )
( )
k
k
k
k
k
k
y
x
g
y
y
x
g
x
,
,
1
2
1
1
1
+
+
+
=
=
Problema : Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el
método de punto fijo multivavriable con desplazamiento sucesivos
0
8
10
0
8
10
2
2
2
2
1
=
+
−
+
=
=
+
+
−
=
y
x
xy
y
x
f
y
x
x
y
x
f
)
,
(
)
,
(
69

Solución:
10
8
2
2
+
+
=
y
x
x
10
8
2
+
+
=
x
xy
y
( ) 10
8
)
(
)
(
,
2
2
1
1 +
+
=
=
+
k
k
k
k
k y
x
y
x
g
x
( ) 10
8
)
(
,
1
2
1
1
2
1 +
+
=
=
+
+
+
+
k
k
k
k
k
k x
y
x
y
x
g
y
Al derivar parcialmente, se obtiene
10
2
1
k
x
x
g
=
∂
∂
10
2
1
k
y
y
g
=
∂
∂
10
1
)
(
2 +
=
∂
∂ k
y
x
g
10
2 1
2
k
k
y
x
y
g +
=
∂
∂
con los valores iniciales se inicia el proceso iterativo
,
, 0
0 0
0
=
= y
x
0
0
1
=
∂
∂
x
x
g
0
0
1
=
∂
∂
y
y
g
10
1
0
2
=
∂
∂
y
x
g
0
0
0
2
=
∂
∂
y
x
y
g
Por lo tanto
;
1
10
1
10
1
0
2
1
<
=
+
=
∂
∂
+
∂
∂
x
g
x
g
1
0
0
0
2
1
<
=
+
=
∂
∂
+
∂
∂
y
g
y
g
70

3.3. Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones
3.3.1. Sistemas de ecuaciones de Newton
El método iterativo para sistemas de ecuaciones convergen linealmente. Como en el
método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el
método de Newton – Raphson multivariable , a continuación se obtendrá este procedimiento
para dos variables; la extensión a tres o mas variables es viable generalizando los
resultados. Supóngase que se esta resolviendo el sistema.
( )
( ) 0
,
0
,
2
1
=
=
y
x
f
y
x
f
Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en
serie de Taylor. Esto es:
] ...
)
(
)
)(
(
2
)
(
[
!
2
1
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
2
2
+
−
∂
∂
∂
+
−
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+
=
b
y
y
x
f
b
y
a
x
y
x
f
a
x
x
x
f
b
y
x
f
a
x
x
f
b
a
f
y
x
f
donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto ( a, b) y todas las derivadas parciales
están evaluadas en ( a, b ).
71

72
Para simplificar aun mas se cambia la notación con
j
y
y k
k
=
−
+1
h
x
x k
k
=
−
+1
y así queda la ( k + 1) – ésima iteración en términos de la k – ésima , como se ve a
continuación:
j
y
y
h
x
x
k
k
k
k
+
=
+
=
+
+
1
1
la sustitución de la ecuación :
)
,
(
)
,
(
2
2
2
1
1
1
k
k
k
k
y
x
f
j
y
f
h
x
f
y
x
f
j
y
f
h
x
f
−
=
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
el cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j.
Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el
determinante de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si
0
2
2
1
1
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y
f
x
f
y
f
x
f
J
Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson.
Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el
sistema
1
)
,
(
1
)
,
(
2
2
2
2
2
1
−
−
=
−
+
=
y
x
y
x
f
y
x
y
x
f
La grafica de se muestra en la figura 4.4.
1
)
,
( 2
2
1 −
+
= y
x
y
x
f

73

74
Ejemplo: Use el método de Newton – Raphson para encontrara una solución aproximada del
sistema:
0
8
10
0
8
10
2
2
2
2
1
=
+
−
+
=
=
+
+
−
=
y
x
xy
y
x
f
y
x
x
y
x
f
)
,
(
)
,
(
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
∂
∂
+
=
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
10
2
1
2
10
2
2
2
2
1
1
xy
y
f
y
x
f
y
y
f
x
x
f
que aumentada en el vector de funciones resulta en:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
+
=
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
8
10
8
10
10
2
1
2
10
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
xy
y
x
x
xy
y
f
y
x
f
y
y
f
x
x
f
primera iteración
al evaluar la matriz en se obtiene :
[ T
y
x 0
0
, ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
8
10
1
8
0
10
que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.8, j = 0.88
al sustituir en la ecuación se obtiene
88
.
0
88
.
0
0
8
.
0
8
.
0
0
0
1
0
1
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
j
y
y
h
x
x

75
Calculo de la distancia entre y
0
x 1
x
18929
.
1
)
0
88
.
0
(
)
0
8
.
0
( 2
2
)
0
(
)
1
(
=
−
+
−
=
− x
x
segunda iteración
al evaluar la matriz en se obtiene :
[ T
y
x 1
1
, ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
61952
.
0
592
.
8
7744
.
1
41440
.
1
7600
.
1
400
.
8
que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.19179, j = 0.11171
al sustituir en la ecuación se obtiene
99171
.
0
11171
.
0
88
.
0
99179
.
0
19179
.
0
8
.
0
2
2
1
2
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
j
y
y
h
x
x
Calculo de la distancia entre y
1
x 2
x
22190
.
0
)
88
.
0
99171
.
0
(
)
8
.
0
99179
.
0
( 2
2
)
0
(
)
1
(
=
−
+
−
=
− x
x
Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes:
k k
x k
y k
k
x
x −
+1
0
1
2
3
4
0.00000
0.80000
0.99179
0.99998
1.00000
0.00000
0.88000
0.99171
0.99997
1.00000
------
1.18929
0.22195
0.01163
0.00004

76
3.4. Aplicaciones
Problema: En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una
corriente de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el
benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a
contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry (y = mx) y que la
columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato.
Datos: V = 100 moles / min;
L = 500 moles / min, fracción molar de benceno en V.
09
.
0
0 =
y
0
.
0
0 =
x fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m = 0.12.
Solución : los balances de materia para el benceno en cada plato son
Plato Balance de benceno
1
2
3
4
5 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
0
0
0
1
0
1
2
2
1
2
3
3
2
3
4
4
3
4
5
5
4
5
0
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
y
y
V
x
x
L
y
y
V
x
x
L
y
y
V
x
x
L
y
y
V
x
x
L
y
y
V
x
x
L
Al sustituir la información que se tiene, las consideraciones hechas y rearreglando las
ecuaciones, se llega a:
512 x1 - 500 x2 = 9
12 x1 - 512 x2 + 500 x3 = 0
12 x2 - 512 x3 + 500 x4 = 0
12 x3 - 512 x4 + 500 x5 = 0
- 12 x4 + 512 x5 = 0

Un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se resuelve con mathcad como
sigue:
A
512
12
0
0
0
500
−
512
−
12
0
0
0
500
512
−
12
0
0
0
500
512
−
12
−
0
0
0
500
512
9
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0.018
4.32 10
4
−
×
1.037 10
5
−
×
2.487 10
7
−
×
5.829 10
9
−
×
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Problema : Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en
peso) , encuentre posibles valores de la corriente , si
3
2
1 ,
, M
M
M kg
M 100
4 =
Solución : Mediante balance de materia por componentes y global, se tiene:
Componente Balance de materia
Etanol
Metanol
Agua
Global
0
0
21
.
0
21
.
0
39
.
0
17
.
0
0
21
.
0
24
.
0
61
.
0
0
0
58
.
0
55
.
0
0
83
.
0
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
77

0
21
21
.
0
39
.
0
17
.
0
21
24
.
0
61
.
0
0
58
55
.
0
0
83
.
0
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
−
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
A
0.83
0
0.17
0
0.61
0.39
0.55
0.24
0.21
58
21
21
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
19.014
4.225
76.761
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
por lo tanto kg
M
kg
M
kg
M 761
.
76
,
225
.
4
,
014
.
19 3
2
1 =
=
=
Problema: Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado,
dispone maíz, desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes
nutritivos , de acuerdo con la tabla siguiente:
Alimento
Maíz Desperdicios Alfalfa Cebada Requerimientos
unidades / Kg.
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
Celulosa
Costo $
80
28
20
50
18
15
72
20
10
5
35
57
12
20
7
60
25
20
60
20
230
180
80
160
__
a) Determine los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el
requerimiento diario ( Presentado en la ultima columna)
b) Determine el costo de la mezcla.
78

a
( )
A
80
28
20
50
15
72
20
10
35
57
12
20
60
25
20
60
230
180
80
160
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
rref A
( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1.852
1.032
0.618
0.745
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
b
( )
Costo 18 5 7 20
( )
:= kilogramos
1.852
1.032
0.618
0.745
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
Total Costo kilogramos
⋅
:= Total 57.722
( )
=
Problema : (manufactura). R. S. C. L. S y Asociados fabrica tres tipos de computadora
personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2
para probar sus componentes y 2 horas mas para instalar sus programas. El tiempo
requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para
instalarla. La Cicloide, la mas sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de
prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fabrica de esta empresa dispone de 1560 horas de
trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿ cuantas PC
de cada tipo puede producir en un mes ?
Solución:
Marcas Ensamblado Pruebas Instalación
Ciclón
Cíclope
Cicloide
10
12
6
2
2.5
1.5
2
2
1.5
1560 340 320
320
5
.
1
2
2
340
5
.
1
5
.
2
2
1560
6
12
10
=
+
+
=
+
+
=
+
+
z
y
x
z
y
x
z
y
x
79

80
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
10
2
12
2.5
6
1.5
1560
340
⎛
2 2 1.5 320
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠ 0 0 1 80
:= rref A
( )
1
0
0
1
0
0
60
40
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Por consiguiente cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides.
Problema : ( Cambio de moneda extranjera ).Una empresaria internacional necesita, en
promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante
cada viaje de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550
dólar con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por
dólar. La segunda vez cambio $ 2840 dólar en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y
1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total de $ 2800 dólar a 100 yenes, 0.6 libras
y 1.2 marcos por dólar. ¿ Cuantos yenes, libras y marcos compro cada vez ?
Solución:
2800
2
.
1
1
6
.
0
1
100
1
2840
2
.
1
1
5
.
0
1
125
1
2550
6
.
1
1
6
.
0
1
100
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
z
y
x
z
y
x
z
y
x
A
1
100
1
125
1
100
1
0.6
1
0.5
1
0.6
1
1.6
1
1.2
1
1.2
2550
2840
2800
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
80000
600
1200
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
En consecuencia, cada vez compro 80 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar.

81
Problema : ( Calculo de una función demanda ). Bikey, Inc., quiere fabricar un nuevo tipo de
zapato deportivo, poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un
par de zapatos nuevo cuesta $ 20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000, y que
si un competidor Tríceps , Inc., vende cada par de zapatos a $ 20, vendería 660 pares. Por
otro lado, si el precio fuera igual y Tríceps bajara su precio a $10 el par, entonces, vendería
1130 pares en un área de $ 30000 de ingreso. Por ultimo, si el precio de los zapatos fuera $
15 el par, y la competencia se queda en $ 20 el par, se vendería 1010 pares en un área de
$25000 de ingreso. Determine la función demanda, suponiendo que depende linealmente de
sus variables.
Solución:
Sea D = a P + b I + c C . Deseamos conocer a, b y c.
1010
20
25000
15
1130
10
30000
20
660
20
20000
20
=
+
+
=
+
+
=
+
+
c
b
a
c
b
a
c
b
a
A
20
20
15
20000
30000
25000
20
10
20
660
1130
1010
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
20
−
0.05
3
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Por consiguiente , la función demanda esta expresada por C
I
P
D 3
05
.
0
20 +
+
−
=
Problema: ( soluciones químicas ). Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C , para
producir determinada sustancia. pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a
reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por
centímetros cúbicos ( g / cm3
), combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g
/ cm3
y con la solución C con 5.3 g / cm3
forma 25.07 g de la sustancia. si las proporciones
de A, B y C en esas soluciones se cambian a 2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3
, respectivamente (
permaneciendo iguales los volúmenes ), se obtienen 22.36 g de la sustancia. Por ultimo, si
las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm3
, respectivamente, se producen 28.14 g
de la sustancia. ¿ Cuales son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que
contienen A, B y C?

Solución:
14
.
28
2
.
3
5
.
5
7
.
2
36
.
22
4
.
2
3
.
4
5
.
2
07
.
25
3
.
5
6
.
3
5
.
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
z
y
x
z
y
x
z
y
x
A
1.5
2.5
2.7
3.6
4.3
5.5
5.3
2.4
3.2
25.07
22.36
28.14
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.5
3.1
2.2
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Por consiguiente, los volúmenes correspondientes de las soluciones que contienen A, B y C
son 1.5 cm3
, 3.1 cm3
y 2.2 cm3
.
Ejemplo: Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras.
Se requiere cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes
electrónicos – en la producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades
necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora.
Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal , 970 Kg. de plástico y
601 componentes electrónicos, ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por
día?
Computadoras Horas-hombre,
kg/computadora
Metales
kg/computadora
Plásticos
kg/computadora
Componentes,
unidades /
computadora
1
2
3
4
3
4
7
20
20
25
40
50
10
15
20
22
10
8
10
15
Totales 504 1970 970 601
82

Usando mathcad
A
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
504
1970
970
601
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
10
12
18
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
M
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= v
504
1970
970
601
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
soln lsolve M v
,
( )
:=
soln
10
12
18
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
x
1
504
1970
970
601
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= x
2
3
20
10
10
504
1970
970
601
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
x
1
10
= x
2
12
=
x
4
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
504
1970
970
601
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
x
3
3
20
10
10
4
25
15
8
504
1970
970
601
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
x
4
15
=
x
3
18
=
83

84
Problema : Un ingeniero necesita 4800 m3
de NaCl, 5810 m3
de KCl y 5960 m3
de NaOH,
existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición
de estos depósitos viene dad en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3
debe tomar de cada
depósito para cumplir con las necesidades requeridas ?
Sustancia Depósito ( % )
1 2 3
NaCl
KCl
NaOH
52
30
18
20
50
30
25
20
55
Solución:
A
0.52
0.30
0.18
0.20
0.50
0.30
0.25
0.20
0.55
4800
5810
5960
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3744.767
7071.744
5753.488
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Problema: Sobre una membrana elástica, apoyada en sus extremos actúan 3 fuerzas
, aplicadas en 3 puntos equidistantes . Estas fuerzas provocan los
siguientes deshilamiento en cada punto respectivamente 3, 5 y 3 , si los coeficientes de
influencia son ;
3
2
1 ,
, f
f
f 3
2
1 ,
, P
P
P
3
2
,
1 =
a 2
2
,
1 =
a ; 1
3
,
1 =
a ; para el y
1
P 2
1
,
2 =
a ; ;
4
2
,
2 =
a 5
/
1
3
,
2 =
a
para y ; ;
2
P 1
1
,
3 = a
a 2
2
, =
3 3
3
,
3 =
a para . Se piden determinar las fuerzas para
.
3
P
3
2
1 ,
, f
f
f
A
3
2
1
2
4
2
1
1
5
3
3
5
3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
29
67
58
5
29
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
rref A
( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0.172
1.155
0.172
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=

85
Problema: Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en
solución a partir de los siguientes datos espectrofotometricos .
Longitud de
onda
i
Absorbancia molar del componente Absorbancia
total
observada
j
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
98
11
27
1
2
9
118
27
3
4
2
9
85
17
7
1
4
8
142
17
0.5
0.88
2
25
118
0.1100
0.2235
0.2800
0.3000
0.1400
Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a
estas longitudes de onda. Utilice el método de Gauss – Seidel. Utilizando como criterio de
paro 002
.
0
=
ε ; es la concentración molar del componente j en la mezcla.
=
j
C

UNIDAD 4
DIFERENCIACION E
INTEGRACION
NUMERICA
Objetivo:
Aplicara los métodos numéricos para la
solución de problemas de diferenciación
e integración numérica, usando un
lenguaje de programación.

UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
4.1 Diferenciación numérica.
Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino es aproximar la
tabla por alguna función y efectuar la operación aproximadamente. Así se procedió en la
integración numérica y así se procederá en la diferenciación numérica; esto es, se
aproximara la función tabulada f(x) y se diferenciara la aproximación ).
(x
pn
Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto, la diferenciación numérica
consiste simplemente en diferenciar la formula del polinomio interpolante que se utilizo. Sea
en general.
)
(
)
(
)
( x
R
x
p
x
f n
n +
=
y la aproximación de la primera derivada queda entonces
dx
x
dp
dx
x
df n )
(
)
(
=
o en general
n
n
n
n
n
dx
x
p
d
dx
x
f
d )
(
)
(
=
Al diferenciar la formula fundamental de Newton dada arriba se tiene
n
n
n
n
n
n
n
n
dx
x
R
d
dx
x
p
d
dx
x
f
d )
(
)
(
)
(
+
=
donde n
n
n
dx
x
R
d )
(
es el error que se comete al aproximar n
n
dx
x
f
d )
(
por n
n
n
dx
x
p
d )
(
.
Si las abcisas dadas están espaciadas regularmente por intervalos de longitud
h, entonces puede escribirse en términos de diferencias finitas.
n
x
x
x ,...,
, 1
0
)
(x
pn
Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por
h
x
f
x
f
dx
x
df )
(
)
(
)
( 0
1 −
=
Se desarrollan las diferencias hacia delante y se tiene
87

)
(
2
2
)
(
2
2
2
4
2
)
(
2
2
2
)
(
2
2
1
0
1
2
1
0
0
2
1
0
x
f
h
x
x
x
x
f
h
h
x
x
x
x
f
h
h
x
x
x
dx
x
df
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
=
la segunda derivada puede calcularse derivando una vez mas con respecto a x, o sea
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
2
1
2
0
2
2
2
x
f
h
x
f
h
x
f
h
dx
x
f
d
+
−
=
Problema : La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es
( ) RT
b
v
v
a
P =
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 2
donde
K
gmol
cm
atm
R
gmol
cm
b
gmol
cm
atm
x
a
*
/
*
1
.
82
/
8
.
42
/
*
10
6
.
3
3
3
2
6
6
=
=
= −
Si T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valores.
Puntos 0 1 2 3
P (atm) 13.782 12.577 11.565 10.704
V (cm3
) 2000 2200 2400 2600
Calcule
v
P
∂
∂
cuando v = 2300 cm3
y compárelo con el valor de la derivada analítica
Solución :
2
2
1
0
1
2
1
0
0
2
1
0
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
P
h
v
v
v
P
h
h
v
v
v
P
h
h
v
v
v
v
P
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
=
∂
∂
; con h = 200
00506
.
0
)
565
.
11
(
)
200
(
2
2200
2000
)
2300
(
2
)
577
.
12
(
)
200
(
2
)
200
(
2
)
2200
(
2
)
2300
(
4
)
2000
(
2
)
782
.
13
(
)
200
(
2
)
200
(
2
2200
2000
)
2300
(
2
2
2
2
−
=
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
=
88

89
La derivada analítica es
Pv Pb
−
a
v
+
a b
⋅
v
2
− RT P v b
−
( )
a
v
+
a b
⋅
v
2
− RT
P v
( )
a
−
v v b
−
( )
a b
⋅
v
2
v b
−
( )
+
R T
⋅
v b
−
( )
+ P v
( )
a
−
v
2
v b
⋅
−
( )
a b
⋅
v
3
v
2
b
⋅
−
( )
+
R T
⋅
v b
−
( )
+
v
a
−
v
2
v b
⋅
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
d
d v
a b
⋅
v
3
v
2
b
⋅
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
d
d
+
v
R T
⋅
v b
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
d
d
+ simplify
1
v
3
2 a
⋅ v
2
⋅ 4 a
⋅ v
⋅ b
⋅
− 2 a
⋅ b
2
⋅ R T
⋅ v
3
⋅
−
+
( )
v
− b
+
( )
2
⋅
→
R 82.1
:= T 350
:= a 0.0000036
:= b 42.8
:= v 2300
:=
1
v
3
2 a
⋅ v
2
⋅ 4 a
⋅ v
⋅ b
⋅
− 2 a
⋅ b
2
⋅ R T
⋅ v
3
⋅
−
+
( )
v
− b
+
( )
2
⋅ 5.6398962938964669366 10
-3
⋅
−
→
Problema : En una reacción química A + B ----> Productos, la concentración del reactante A
es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la
concentración de A en gmol/L como una función de estas dos variables.
P (Kg/cm2
) Temperatura T (K)
273 300 325 360
1 0.99 0.97 0.96 0.98
2 0.88 0.82 0.79 0.77
8 0.62 0.51 0.48 0.45
15 0.56 0.49 0.46 0.42
20 0.52 0.44 0.41 0.37
Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg/cm2
y T = 300 K,
usando un polinomio de segundo grado.
Solución.
Lo que se busca es en si 8
,
300 =
=
∂
∂
P
T
A
T
C
que se puede evaluar con la ecuación

( )( ) ( )( ) ( )( )
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
dp
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
donde f(x) representa a CA y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntos enmarcados
de la tabla queda
2
300, 8
( ) (2(300) 300 325)(0.62)
(273 300)(273 325)
(2(300) 273 325)(0.51) (2(300) 273 300)(0.48)
0.0026
(300 273)(300 325) (325 273)(325 300)
A
T P
p x C
x T
gmol
LK
= =
∂ ∂ − −
= =
∂ ∂ − −
− − − −
+ + = −
− − − −
90

91
Diferencias divididas finitas de la primera derivada hacia delante
Primera derivada
( )
( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f i
i
i
−
=
′ +1
( )
( ) ( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
2
3
4 1
2 −
+
−
=
′ +
+
Segunda derivada
( )
( ) ( ) ( )
2
1
2 3
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
−
−
=
′
′ +
+
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
3 3
5
4
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
+
−
+
−
=
′
′ +
+
+
Tercera derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2
3 3
3
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
−
+
−
=
′
′
′ +
+
+
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2
3
4
2
5
18
24
14
3
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
−
+
−
+
−
=
′
′
′ +
+
+
+
Cuarta derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1
2
3
4 4
6
4
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
+
−
+
−
=
′
′
′
′ +
+
+
+
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1
2
3
4
5 3
14
26
24
11
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
i
+
−
+
−
+
−
=
′
′
′
′ +
+
+
+
+

92
donde:
Δfi = se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y
h = se le llama tamaño del paso, esto es la longitud del intervalo sobre el cual se hace la
aproximación.
Se le llama diferencia “ hacia adelante ” ya que se usa los datos “ i “ e i + 1 para estimar la
derivada.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se puede desarrollar
mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las
aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias
centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la ecuación:
Aproximaciones a la primera derivada con diferencia hacia atrás.
Primera derivada
( )
( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f i
i
i
1
−
−
=
′
( )
( ) ( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
2
4
3 2
1 −
− +
−
=
′
Segunda derivada
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
−
− +
−
=
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
2
1 4
5
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
+
−
− −
+
−
=
′
′
Tercera derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2
1 3
3
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
−
−
− −
+
−
=
′
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
4
3
2
1
2
3
14
24
18
5
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
−
−
−
− +
−
+
−
=
′
′
′

93
Cuarta derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
h
i
4
3
2
1 4
6
4 x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i −
−
−
− +
−
+
−
=
′
′
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
5
4
3
2
1 2
11
24
26
14
3
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
i
−
−
−
−
− −
+
−
+
−
=
′
′
′
′
Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales.
Primera derivada
( )
( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f i
i
i
2
1
1 −
+ −
=
′
( )
( ) ( ) ( ) ( )
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
12
8
8 2
1
1
2 −
−
+
+ +
−
+
−
=
′
Segunda derivada
( )
( ) ( ) ( )
2
1
1 3
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
−
+ +
−
=
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
1
2
12
16
30
16
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
−
−
+
+ −
+
−
+
−
=
′
′
Tercera derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1
1
2
2
2
2
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
−
−
+
+ −
+
−
=
′
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2
1
1
2
3
8
8
13
13
8
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
i
−
−
−
+
+
+ +
−
+
−
+
−
=
′
′
′

94
Cuarta derivada
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
h
i
2
1
1
2 4
6
4 x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i −
−
+
+ +
−
+
−
=
′
′
′
′
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
3
2
1
1
2
3
6
12
39
56
39
12
h
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f i
i
i
i
i
i
i
i
−
−
−
+
+
+ +
+
−
+
+
+
=
′
′
′
′
Las aproximaciones mas exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo
en la serie de Taylor términos de orden mas alto. Finalmente, todas las versiones anteriores
se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores.
Ejemplo : Formulas de diferenciación con alta exactitud.
Planteamiento del problema:
F (x) = - 0.1 x 4
– 0.15 x 3
– 0.5 x 2
– 0.25 x + 1.2
En x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.25.
Solución:
F ‘ (x) = - 0.4 x 3
– 0.45 x 2
– 1.0 x – 0.25 x
Y se puede usar para calcular el valor exacto de :
F ‘ (x) = - 0.4 x 3
– 0.45 x 2
– 1.0 x – 0.25 x ; X = 0.5; f ‘ ( 0.5) = - 0.9125.

1
75
0
5
0
25
0
0
2
1
1
2
=
=
=
=
=
+
+
−
−
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
.
.
.
2
0
6363281
0
925
0
103516
1
2
1
2
1
1
2
.
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
=
=
=
=
=
+
+
−
−
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia delante
859375
0
25
0
2
925
0
3
6363281
0
4
2
0
5
0 .
)
.
(
)
.
(
)
.
(
.
)
.
( −
=
−
+
−
=
′
f
la diferencia dividida hacia atrás
878125
0
25
0
2
2
1
103515625
1
4
925
0
3
5
0 .
)
.
(
.
)
.
(
)
.
(
)
.
( −
=
+
−
=
′
f
Y la diferencia dividida central
9125
0
25
0
12
2
1
103515625
1
8
6363281
0
8
2
0
5
0 .
)
.
(
.
)
.
(
)
.
(
.
)
.
( −
=
+
−
+
−
=
′
f
Ejercicios propuestos:
Úsense aproximaciones de diferencias de 0(h) hacia atrás y hacia delante y una
aproximación central de 0 (h2
). Para estimar la primera derivada de la función mencionada .
F(X) = 25 x3
– 6x 2
+ 7x – 88
Evalúese la derivada en x = 2.5 usando un tamaño de paso de h = 0.25. compárense los
resultados con el valor correcto de la derivada en x = 2.5.
4.2 Integración numérica
De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “ unir todas las partes en un todo;
unificar; indicar la cantidad total, . . . ”. matemáticamente, la integración se representa por
∫
=
b
a
dx
x
f
I )
(
EC. 1
95

La cual representa a la integración de la función f (x) con respecto a la variable x, evaluada
entre los limites x = a y x = b.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el significado de la ecuación es el valor total o
sumatoria de f (x ) dx sobre el intervalo de x = a a b. En realidad, el símbolo ∫ es una s
mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria (
Thomas y Finney, 1979).
La figura 1 , representa una manifestación grafica de este concepto. Para las funciones que
se encuentran sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación 1, corresponde al área
bajo la curva de f (x) entre x = a y x = b. Habrá muchas ocasiones de volver a referirse a
esta concepción grafica a medida que se desarrollen formulas matemáticas para integración
numérica. De hecho, la mayor parte de los métodos numéricos para integración, se puede
interpretar desde una perspectiva grafica.
figura 1. Representación grafica de la integral de f(x) .
Formulas de integración de Newton - cotes
Las formulas de Integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica
más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos
tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar :
dx
x
f
dx
x
f
I
b
a
b
a
n
∫ ∫
≅
= )
(
)
(
donde f n (x)=polinomio
96

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