2. Definición de conjuntos
Operaciónes con conjunto
Números reales
desigualdades
definicion de valor absoluto
desigualdades con valor absoluto
Contenido
3. INTRODUCCIÓN
El presente objeto de aprendizaje es
utilizado como refuerzo pedagógico
conjuntamente con clases
presenciales.
Como conocimientos previos te
ayudará a conocer más de la
matemática y aplicarla en clases .
PARA QUE NOS SIRVE CONOCER SOBRE
CONJUNTOS...?
Prácticamente todos los campos de la computación
se respaldan en la teoría de conjuntos. Por ejemplo:
* Bases de datos relacionales: Una relación es un
conjunto y en bases de datos es posible llevar a
cabo operaciones entre relaciones, obteniendo
información en forma organizada y concreta.
* Lenguajes de programación y su conjunto de
símbolos terminales que marcan el límite de
palabras válidas de un lenguaje.
* Redes de computadoras, donde se pueden aplicar
las operaciones de unión, intersección,
complementación, composición y ley de Morgan. La
representación gráfica de los conjuntos se conoce
en computación como teoría de grafos .
4. CONJUNTO
un conjunto es una colección de elementos
considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como
incluido de algún modo dentro de él.
Polígonos
Polígonos
regulares
5.
6. Operaciónes de conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos
conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa
como A ∪B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
menos a uno de los conjuntos A y B.
A B
Unión
7. Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y
B es el conjunto A ∩B de los elementos comunes a A y B.
A B
Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento
que esté en B.
A B
8. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto
A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A,
respecto a un conjunto U que lo contiene.
A
U
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
A B
9. Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer elemento a
perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y
a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se
llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no
estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad
de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las
desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se
debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
10. Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
· al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la
misma se mantiene
· al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma
se mantiene
· la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
· la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
11. Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c.
En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, £ y ³ .
12. Valor absoluto
Para cualquier número real X, el valor absoluto o módulo de x se denota
por |x|} y se define como:
{
|x|=
x, si x ≥0
—x, si x <0
El valor absoluto de x es siempre un número positivo o cero pero nunca
negativo: cuando x es número negativo (x <0) entonces su valor absoluto
es necesariamente positivo.
(|x|)= —x >0)
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real
puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De
manera general, el valor absoluto de la diferencia entre dos números es la
distancia entre ellos.
13. Desigualdades de valor absoluto
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<): Una desigualdad de
valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x|<3 significa que la distancia entre x y 0 es
menor que 4 .
Asi, x >–3 y x<3 . El conjunto solución es (x| –3 <x<3 xR)
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos
a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
14. En otras palabras, para cualquier números reales a y b si |a|<b , entonces a<b y a >–b
ejemplo .
resolver la inecuación |6x–11|<5
solución.
Sabiendo que : |x| <k →–k < x <k
–5<6x– 11 <5
–5 + 11 < 6x <5+11
6< 6x <16
6/6 < x <16/6
1< x > 8/3
Por lo que el conjunto solución es el intervalo (1 ,⁸/3)
* Desigualdades de valor absoluto (>)
La desigualdad |x|>3 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4 .
Asi, x >–3 y x<3 . El conjunto solución es (x| –3 <x<3 xR)
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualquier número reales a y b, si |a|>b, entonces a > b o
a/< – b .
15. Ejemplo .
Resolver la inecuación|5x + 2 |> 7
solucion
sabiendo que : |x| > k →k < x o x < –k
7 < 5x + 2 ; 5x + 2 < – 7
7–2 < 5x ; 5x < –7 –2
5< 5x ; 5 x< –5
5/5<x ; x<–9/5
1< x ; x < – 9/5
por lo que el conjunto solución es : (–∞, –9/5) U(1, ∞).
