teoria d'expressions algebràiques

1. Unitat 5:
Expressions algebraiques

2. Llenguatge algebraic

3. Exemples d’expressions
algèbriques
- Un nombre més quinze:
- Deu menys el doble d’un nombre:
- El quadrat d’un nombre més el seu doble:
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre:
- La meitat d’un nombre:
- Les tres quartes parts d’un nombre:
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

4. Exemples d’expressions
algèbriques
- Un nombre més quinze: x + 15
- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a
- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b
- La meitat d’un nombre: a/2
- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

5. Escull l’expressió algebraica en de cas

6. Valor numèric
El valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre
obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per
nombres determinats.
3x + 1
Si x = 2 3 . 2 + 1 =7
Si x = 0 3 . 0 + 1 = 1
Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2
Si x = ½
2
5
2
2
3
1
2
3
1
2
1
.
3 






7. Troba els valors numèrics de:

8. Termes, coeficient i part literal
Anomenem terme o monomi d’una expressió algèbrica cada
bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o
resta
En aquesta expressió tenim 4 termes:
Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal
y
x
x
x
x 2
3
2
3
2
3
5
3 



9. Monomis
Anomenem grau d’un monomi a la suma
dels exponents de la seva part literal

10. Operacions amb expressions
algèbriques
Sumes i restes:
La suma i la resta d’expressions algèbriques,
només es poden sumar i restar els termes
semblants
Dos termes (dos monomis) són semblants si les
seves parts literals són iguals
Procediment:
- Es sumen o resten els coeficients dels termes
semblants.
- Es deixa la mateixa part literal
2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a
5x – 2x = 3x
2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

12. Sumes i restes de monomis

13. Operacions amb expressions
algèbriques
La multiplicació o la divisió d’una expressió
algèbrica sempre es pot efectuar encara que els
termes no siguin semblants.
Procediment:
•Multiplicarem o dividirem els signes tenint en
compte la regla dels signes
•Multiplicarem o dividirem els coeficients
•Multiplicarem o dividirem la part literal
– Recordatori: xm · xn = xm+n
– Recordatori: xm : xn = xm-n

14. Exemples de multiplicacions
3a · 4a =
4x2: 2x=
4x · 5y3 =
-5x3 · 2x2=
2x · 3x4 · 10x3=
15xy2 · (-5y) =
10 y2 : 15 xy2 =
2 2

15. Solucions
3a · 4a = 12a2
4x2:2x= 2x1
4x · 5y3 = 20 xy3
-5x3 · 2x2= -10x5
2x · 3x4 · 10x3= 60x8
15xy2 · (-5y) = -75xy3
10 y2 : 15 xy2 = 20 x-1
2 2 30

16. Propietat distribuiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació,
quan tenim un nombre davant d’un parèntesis,
està multiplicant als termes de dins els
parèntesis.
Exemples:
4 (x + 5y) = 4x + 20y
a (b + c) = a·b + a·c
a (b - c) = a·b - a·c
2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

17. Polinomis
La suma de diversos monomis no semblants és un polinomi.
El grau més gran de tots els
monomis s’anomena grau del
polinomi.
Exemple anterior : grau 3
Si un dels monomis o termes no té part literal s’anomena
terme independent. Ex anterior: 9
Anomenem als polinomis amb una lletra majúscula i entre
parèntèsis les variables. Ex anterior: P (x)

18. Suma i resta de polinomis
Per sumar o restar dos monomis operem amb els
monomis semblants
Exemple: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 6 i
Q(x) = 5x3 - 2x2 + 8x + 7
Suma de P(x) + T(x) Resta de P(x) - T(x)

19. Altres exemples
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 i Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x)=
P(x) – Q(x)=

20. Exercicis de sumes i restes
de polinomis

21. Multiplicació d’un polinomi
(5x+11)·(x3+2x2+4) = 5x4 + 10x3+20x+11x3+22x2+44 =
5x4 +21x3 +22x2 +44

22. Exercicis de multiplicacions
de polinomis

23. Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva
5·a +5·b =
x + x2 =
3x +3y + 3z =
6bx + 6by =
2x4 +12x3+18x=
12x3 -3x=
12x3 +12x2+3x-1=
3z2 + 12 z -12=
4xy4 +12xy3+24xy=

24. Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat
distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b)
x + x2 = x · (1 + x)
3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)
6bx + 6by = 6b ( x + y)
2x4 +12x3+18x= 2x ( x3 + 4x2 + 9)
12x3 -3x= 3x (4x2 - 1)
12x3 +12x2+3x-1= no puc

25. Productes notables
Quadrat d’una suma (a + b)2 Demo
El quadrat d’una suma és igual el quadrat del
primer, més el quadrat del segon més el doble
del primer pel segon
(a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b
Quadrat d’una diferència (a - b)2 Demo
El quadrat d’una diferència és igual el quadrat
del primer, més el quadrat del segon menys el
doble del primer pel segon
(a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b

26. Productes notables
Suma per diferència (a + b) · ( a – b)
El producte d’una suma per diferència és igual al
quadrat del primer menys el quadrat del segon.
(a + b) · ( a – b) = a2 - b2

27. Simplificació

28. Resolució d’equacions sense
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions
Exemple: 3x + 1 = -x + 9
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
– Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem els
termes de signe
3x + 1 = -x + 9
3x + x = +9 - 1
• Reduïm els termes semblants
4x = 8
• Aïllem la incògnita
x = 8/4
• Obtenim el resultat
x = 2

29. Exercicis
a) x + 3 = 5
b) x – 4 = 8
c) x – 12 -3 =10
d) 2x + 6 = x + 10
e) 3x – 5 = 2x + 1
Enllaç per practicar
Un cop tenim el resultat hem de fer la
comprovació.

31. Resolució d’equacions amb
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:
Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13
• Suprimim els parèntesis
2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x + 2 +13
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
2x + 3x +4x = 2 + 2 +13 +4 + 9
• Reduïm els termes semblants
9x = 30
• Aïllem la incògnita
x = 30/9
• Obtenim el resultat
x = 10/3

32. Resolució d’equacions amb
denominadors
Passos a seguir per resoldre equacions amb fraccions:
Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos
denominadors m.c.m. (3, 4) =12
1
3
4


x
x
12
12
12
4
3
12
4
3
12
3
12x
4
12
1
3
.
12
4
·
12



















x
x
x
x
x
x
x
x
x

33. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
En sumar 37 al doble d’un nombre,
obtenim 97. De quin nombre es tracta?
Elecció de la
incògnita
Nombre que no coneixem =x
Plantejament
de l’equació
2 x + 37 = 97
Resolució de
l’equació
2x= 97 – 37
2x = 60  x=60/2=30
Resposta El nombre és 30
Comprovació 2· 30 +37 = 60+37=90 Correcte!

34. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de
quants anys l’edat del pare serà el doble
que la del seu fill?
Elecció de la
incògnita
Anys que transcorren =x
Ara: pare=33 i fill=8
Passat x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x
Plantejament de
l’equació
33 + x = 2 . (8 + x)
Resolució de
l’equació
33 + x = 16 +2x
-x = 16-33  x=17
Resposta Al cap de 17 anys

35. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un ciclista recorre la distància que separa dues
ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del
trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35
km restants. Quants km separen les dues ciutats?
Elecció de la
incògnita
km totals entre les dues ciutats =x
1ª etapa 1/3·x
2ª etapa ¼·x
3ª etapa 35 km
Plantejament de
l’equació
Resolució de
l’equació
Resposta 84km
Comprovació 1/·84+ ¼·84 +35 = 28+21+35= 84 Correcte!
x
x
x
x
x
x
·
12
35
4
3
·
12
35
4
3













36. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de
80km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de
la mateixa ciutat a 120km/h. Quant es trobarà el
cotxe i el camió?
Elecció de la
incògnita
Temps que ha passat des que surt el cotxe fins
que es troba el camió =x
Temps camió 2·80 + 80x
Temps cotxe 120x
Plantejament de
l’equació
2·80 + 80x = 120x
Resolució de
l’equació
160 + 80x=120X
80x – 120x =-160
-40x =-160  x = 4
Resposta 4 hores