El documento proporciona información sobre diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, punto medio, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas. Explica las propiedades y ecuaciones que definen estas figuras geométricas, así como cómo calcular el área y perímetro de elipses. También incluye enlaces a sitios web con más información sobre estas figuras.

1. PLANO NUMÉRICO
Integrante
Janeth
isturiz
Ci 19214544
Fecha : 23 de Enero del 2023

2. PLANO
CARTESIANO
El plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente en
los casos bidimensionales.
Ejemplos de coordenadas cartesianas
Supongamos que queremos representar los siguientes puntos en el plano cartesiano (2,4), (2,-3), (6,1), (-3,5), (-1,-1).

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
M
B
A
²
X
²
, Y
(X
¹
¹
Y)

4. Punto medio y sus coordenadas
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o
extremos de un segmento.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento
viene dado por:
Dados los puntos y , hallar las coordenadas del punto medio del
segmento que determinan.
EJEMPLO PARA EL CALCULO DEL PUNTO
MEDIO
Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos

5. Ecuaciones y trazado de circunferencias
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto de la circunferencia satisface
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:

6. PARÁBOL
A
Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación
respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a
dicha recta.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de
las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la
influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

7. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
α = β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

8. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS
Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un
punto exterior a ella, llamado foco.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son
básicos para su descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una
distancia p del vértice.
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa
por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior
de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

9. Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la
parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y
directriz(ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco. Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular
Construcción de puntos en una parábola Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la
recta directriz.

10. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del
Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con
el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”), cualquiera de
coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

11. De lo anterior resulta:
(trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos
puntos:
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre
ellos:

12. ELIPSE
La elipse es una curva cerrada y plana con dos ejes de simetría, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias r + r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo esta última la
longitud de la distancia entre los punto AB de la elipse.
ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
se le llama la ecuación canónica de una elipse.
Elementos:
1. Focos: son los puntos fijos F y F’.
2. Eje focal: distancia entre los focos |FF’|.
3. Punto medio: centro de la elipse.
4. Vértices V, V’: son los puntos donde la recta que pasa por los focos
intercepta la elipse.
5. Eje mayor: distancia entre los vértices.
La recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular a la recta
que pasa por el foco, corta la elipse en dos puntos cuya distancia es lo
que llamamos eje menor.
Semi eje mayor = a
Semi eje menor = b
Semi eje focal = c

13. Los tres semiejes satisfacen:
Diámetro mayor = 2a
Diámetro menor = 2b
Excentricidad e: determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento.
ÁREA DE UNA ELIPSE
El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).
Ejemplo 2: Sea una elipse de semiejes conocidos, donde a = 6 cm y el menor b = 4 cm, calcule su área.
Del enunciado del problema sabemos que a = 6 cm y b = 4 cm. Como A= π∙a∙b, entonces su área es
Por lo tanto, el área de la elipse es igual a 75,39 cm².

14. PERÍMETRO DE UNA ELIPSE
El cálculo del perímetro requiere de lo que se denomina en matemática integrales elípticas de segunda especie. No obstante,
el matemático indio Ramanujan expuso una expresión mucho más sencilla que estas integrales que aproximan los resultados
hasta valores bastante exactos.
Donde a es el semi eje mayor y b el semi eje menor.

15. HIPÉRBOLA
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a los focos es constante.
H={P(x,y)||d(P;F1)–d(P;F2)|=2a=cte}
Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2c�(�1,�2)=2� , la condición para que sea una hipérbola
es:
c>a>0�>�>0
c2>a2�2>�2
c2–a2=b2�2–�2=�2
⇒c2=a2+b2⇒�2=�2+
�2

16. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA
Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:
x² –b2 =1
a² y²
Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0)(0,0) y eje
focal y=0�=0 (eje x�)
Busquemos las intersecciones con los ejes:
y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)�
x=0⇒y²=–b²
Entonces no corta al eje y�.
Los puntos V1,2� se denominan vértices de la hipérbola.

17. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
x² –b2 =1
a² y²
Focos: F1(c,0)� y F2(–c,0)�
Centro: C(0,0)
Vértices: V1(a,0)� y V2(–a,0)�
Eje focal: recta que contiene a los focos, en este caso es el eje x�
a se denomina semieje real o transverso
b se denomina semieje imaginario
2c es la distancia entre los focos
Se cumple que c²=a²+b²
En la hipérbola aparece un elemento nuevo que no tiene ninguna de las otras cónicas: las asíntotas.
Ecuaciones de las asíntotas: y=±b x
a

18. Veamos la gráfica:
Ubiquemos los vértices sobre el eje x�, simétricos respecto del (0,0 V1,2(±a,0)� y los puntos de coordenadas (0,±b) que
llamaremos «vértices imaginarios» (no son puntos de la hipérbola, habíamos visto que ésta no corta al eje y):
Para trazar las asíntotas armemos un rectángulo auxiliar que ayudará a graficar la hipérbola, y luego tracemos las rectas que
contienen a sus diagonales (esas rectas serán las asíntotas). Una vez trazadas las asíntotas, es sencillo realizar un gráfico
aproximado de la hipérbola:

19. Ejemplo 1
Hallar la gráfica de la curva definida por la ecuación:
x²–y² =1
4�
Resolución
La ecuación responde a la forma canónica de una hipérbola con eje focal x�. Luego:
C(0,0)�
Semiejereal:a = 1�����������
Semiejeimaginario: b = 2���������������
Semidistanciafocal: c = √12+22=√5������������������
Grafiquemos lo obtenido hasta el momento:
Grafiquemos lo obtenido hasta el momento:

20. Luego podemos dar las coordenadas de los vértices, de los focos y de las asíntotas:
V1 (1,0)�
V2 (–1,0)�
F1 (–√5,0)�
F2 (√5,0)�
Asíntotas: y = ±2 x�� La gráfica:

21. https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/
BIOGRAFIO
https://miprofe.com/elipse/
https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html