2. Profundización:
En este momento el maestro de aula toma un rol activo, dando continuidad a la actividad,
desarrollando ejercicios y orientando otras actividades, diseñadas por la Universidad, que
permitan el logro de los objetivos propuestos. Durante este espacio el docente
coordinador estará acompañando para retroalimentar o dar respuesta a las inquietudes
generadas en el desarrollo del ejercicio, cada vez que sea necesario. A continuación
presentaremos a los docentes los contenidos que desarrollaremos ejercicios a desarrollar
en el aula de clase con los estudiantes.
Clase 1: Razones y proporciones
Temas
• Definición de razón
• Definición de proporción
• Proporción directa e inversa
• Regla de tres simple directa e inversa
Objetivos
• Resolver problemas de razonamiento proporcional.
• Examinar las estrategias de solución y conceptos erróneos de los
estudiantes.
Ejercicios a desarrollar con los alumnos
1. Juan tarda 130 minutos en leer 25 páginas de un libro. En 1430 minutos, ¿cuántas
páginas leerá?
3. minutos páginas
130 25
1430 X
La proporcionalidad es directa entre las magnitudes, ya que a más minutos mayor
número de páginas leídas; por tanto
130
1430
=
25
𝑋
→ 𝑋 =
1430 ∗ 25
130
→ 𝑋 = 275
Respuesta: En 1430 minutos, Juan logrará leer 275 páginas.
2. Un auto tarda 30 minutos en recorrer 64 kilómetros. Si viaja a la misma velocidad,
¿cuánto tiempo tardará en recorrer 128 kilómetros?
minutos kilómetros
30 64
X 128
La proporcionalidad es indirecta entre las magnitudes, ya que a más minutos más
kilómetros recorridos, por tanto
30
𝑋
=
64
128
→ 𝑋 =
30 ∗ 128
64
→ 𝑋 = 60
Respuesta: El auto tardará 60 minutos en recorrer 128 kilómetros.
3. Una máquina fabrica 600 resortes en 3 horas. ¿Cuánto tarda en fabricar 1400
resortes?
resortes horas
600 3
1400 X
4. La proporcionalidad es directa entre las magnitudes, ya que si aumenta las horas
aumenta el número de resortes fabricados, por tanto
600
1400
=
3
𝑋
→ 𝑋 =
3 ∗ 1400
600
→ 𝑋 = 7
Respuesta: La máquina tarda 7 horas en fabricar 1400 resortes.
4. Un tanque se llena en 8 horas con 3 grifos abiertos. Si se abre un grifo más, ¿en
cuántas horas se llena el tanque?
horas grifos
8 3
X 4
La proporcionalidad es inversa entre las magnitudes, ya que a mayor número de
grifos abiertos menos horas para llenarse el tanque, por tanto
8
𝑋
=
4
3
→ 𝑋 =
8 ∗ 3
4
= 6
Respuesta: 4 grifos abiertos llenan el tanque en 6 horas.
5. Un tanque se llena en 8 horas con 3 grifos abiertos. Si se cierra un grifo, ¿en
cuántas horas se llena el tanque?
horas grifos
8 3
X 2
La proporcionalidad es inversa entre las magnitudes, ya que a menor número de
grifos abiertos más horas para llenarse el tanque, por tanto
8
𝑋
=
2
3
→ 𝑋 =
8 ∗ 3
2
= 12
Respuesta: 2 grifos abiertos llenan el tanque en 12 horas.
5. Reto 1
Un agricultor quiere repartir 5.400 hectáreas de tierra entre sus tres hijos, de forma
directamente proporcional al tiempo que cada uno de ellos ha dedicado a las
tareas agrícolas que son 2, 3 y 4 años. El número de hectáreas que cada uno recibirá
respectivamente es:
Se quiere repartir 5.400 hectáreas entre 3 hijos de forma directamente proporcional al
número de años, dado que entre los tres suman 9 años de trabajo, encontremos cuantas
hectáreas corresponde a un año, es decir
5400
9
= 600
Por tanto, por cada año de trabajo corresponden 600 hectáreas, así:
2 años−>12000
3 años−>1800
4 años−>2400
Respuesta: 1200, 1800 y 2400
Reto 2
En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y B
respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y
se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B
disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual. Entonces
la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relación a la especie B es:
6. Dado que 𝐴 aumento un 20 al cabo de un año tenemos el 120 de 𝐴, es decir
𝐴 +
20
100
𝐴 = (1 +
20
100
)𝐴 =
20
100
𝐴,
análogamente de la especie 𝐵 tendremos
𝐵 −
10
100
𝐵 = (1 −
10
100
)𝐵 =
90
100
𝐵,
Como, el número de especies resulto al final igual tenemos
90
100
𝐵 =
120
100
𝐴
entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie 𝐴, con relación a la especie
𝐵 es:
𝐴
𝐵
=
90
100
120
100
=
90
120
=
9
12
=
3
4
Respuesta: 3/4
7. Clase 2: Razones y proporciones
Temas
• Regla de tres compuesta
• Cálculo porcentual
Objetivo
• Desarrollar los conceptos de razón y proporción.
• Desarrollar los conceptos de interés simple e interés compuesto.
• Desarrollar el concepto de regla de tres compuesta.
Ejercicios a desarrollar con los alumnos
1. ¿De qué número, 14 es el 40%?
La proporcionalidad es directa entre las magnitudes,
número porcentaje
X 100
14 40
𝑋
14
=
100%
40%
→ 𝑋 =
14 ∗ 100%
40%
→ 𝑋 = 35
Respuesta: 14 es el 40% de 35.
2. ¿De qué número, 64 es el 32%?
La proporcionalidad es directa entre las magnitudes,
8. número porcentaje
X 100
64 32
𝑋
64
=
100%
32%
→ 𝑋 =
64 ∗ 100%
32%
→ 𝑋 = 200
Respuesta: 64 es el 32% de 200.
3. Un grupo de 20 obreros realiza una obra consistente en un muro de 80 m de largo, 1
m de ancho y 5 m de altura. Luego, 16 de ellos, trabajando con la misma eficiencia de
antes, construyen un muro análogo al anterior, pero de 50 m de largo y 4 m de altura.
¿Qué ancho tenía ese segundo muro?
obreros largo ancho altura
𝟏𝟔 50 𝑿 𝟒
𝟐𝟎 80 𝟏 𝟓
La regla de tres compuesta se reduce a una regla de tres simple directa, por tanto
obreros volumen
16 50∗X∗4
20 80∗1∗5
𝟓𝟎 ∗ 𝐗 ∗ 𝟒
𝟖𝟎 ∗ 𝟏 ∗ 𝟓
=
16
20
→ 𝑥 =
16 ∗ 80 ∗ 5
50 ∗ 4 ∗ 20
= 1.6
Respuesta: El muro tendrá un ancho de 1.6 metros.
9. 4. Al precio de venta de un artículo se le rebaja el 10%. Determine en qué porcentaje sería
necesario aumentar el precio rebajado para que el nuevo precio coincida con el original.
Sea X: precio del artículo
𝑋 −
10
100
𝑋 = 𝑋 [
90
100
] , luego 𝑋 + [
90
100
] +
𝑌
100
[𝑋
90
100
] = 𝑋
Por tanto, 𝑋 [
90
100
] [1 +
𝑌
100
] = 𝑋, de donde
90
100
∗
100+𝑌
100
= 1
Finalmente, 𝑌 =
1000
9
− 100 =
100
9
Respuesta: Se debe aumentar 100/9% =11.11% para obtener el mismo valor inicial.
5. En el grado once de una Institución Educativa, se sabe qué el 15% del total prefiere
inglés, el 45% prefiere educación física, el 10% prefiere matemáticas y los 27 restantes
prefieren castellano. Determine el número de alumnos que forman el grado once de la
Institución.
Según los datos del ejercicio tenemos que:
Porcentaje Materia
15% Inglés
45% Ed. Física
10% Matemáticas
X% Castellano
Es decir que 70% prefiere inglés, educación física o matemáticas, el resto, que equivale
a un 30% prefiere castellano, por tanto, el 30% equivale a 27 alumnos
𝑥
27
=
100
30
→ 𝑥 =
100∗27
30
= 90
Respuesta: El total de alumnos de grado once de la Institución es de 90.
10. Reto 1
Si el 15% de un número 𝑛 es igual al 35% de 3000, entonces el valor de 𝑛 es:
El 30% de 3000 es
35%×3000
100%
= 1050, ahora el 15% de 𝑛 es 1050
Por tanto, 𝑛 =
100%×1050
15%
= 7000
Respuesta: 7000
Reto 2
Cuando a un estanque le falta llenar el 30% de su capacidad contiene 10800 litros
de agua más que cuando estaba lleno al 30% de su capacidad. La capacidad total
del estanque, en litros es:
Dado que el tanque tiene 10800 litros más cuando está lleno al 30%, los 10800 litros
representan el 40%, aplicando regla de tres simple directa, el 100% del tanque es
10800×100%
40%
= 27000
