funciones a trozos

1. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1
FUNCIONES TROCEADAS
U.D. 7.1 * 1º BCT

2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
• FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS
• Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes
expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o
representada en un intervalo.
FUNCIONES TROCEADAS
a b c d e X
f(x)
Función
constante
Función
lineal
Función
cuadrática
Función
radical
k
p

3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3
• FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS
• Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes
expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o
representada en un intervalo.
• k , si a ≤ x < b
• x – b , si b ≤ x ≤ c
• f(x) =
• (x – c)2
– p , si c < x < d
• √(x – e) , si e ≤ x
• Entre x=d y x=e no hay ninguna expresión porque dicho intervalo está
gráficamente vacío, no forma parte del dominio, incluidos d y e.
FUNCIONES TROCEADAS

4. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4
- 2 0 2 3 5
5• Ejemplo 1
• Tenemos troceada la
función en dos partes,
cada una de las cuales
es, en este caso, una
función cuadrática y
una función lineal.
La función se expresaría así:
x2
– 4 si x < 3
f(x) =
- x + 8 si x ≥ 3
• Nota
• El signo = para x=3
sólo aparece en una
expresión, no en las
dos.
• Donde proceda.
• En este caso es
indiferente.

5. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5
- 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6
– 2
• Ejemplo 2
• Sea la función:
• 1/ x si x < 4
• f(x) =
• x – 6 si x ≥ 4
• Dibujarla
• Nota
• El signo = para x=4
gráficamente estaría
sobre la función lineal
y=x – 6 , y no sobre la
función de
proporcionalidad inversa
y = 1/x

6. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6
- 2 -1 0 1 2 3 4 5
y
• Ejemplo 3
• Representa gráficamente la
función:
• f(x) = |x – 3|
• La función valor absoluto se
expresaría así:
• – x + 3 , si x < 3
• f(x) =
• x – 3 , si x ≥ 3
• Nota
• El signo = para x=3 sólo
aparece en una expresión,
no en las dos.

7. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7
- 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6
6
• Ejemplo 4
• Sea la función:
• – x + 3 si x < 0
• f(x) =
• 6 – x2
si x ≥ 0
• Dibujarla
• Nota
• El signo = para x=0
gráficamente estaría
sobre la función
cuadrática, no sobre la
lineal.
3

8. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8
• Ejemplo 5
• Tenemos troceada la función en
cuatro partes, cada una de las
cuales es, en este caso, una
función lineal.
• Se expresaría así:
• 0 si 0 ≤ x < 5
•
• x – 5 si 5 ≤ x < 15
• f(x) =
• 5 si 15 ≤ x < 20
• -2x+25 si 20 ≤ x < 25
0 5 15 20 25
5
• Ejemplo Práctico correspondiente:
• Una atracción de feria, una noria,
donde el eje de abscisas son los
tiempos y el eje de ordenadas es la
velocidad que alcanza.

9. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9
0 10 15 25
100
50
• Ejemplo 6
• Tenemos troceada la función
en tres partes, cada una de
las cuales es, en este caso,
una función lineal.
• Ejemplo Práctico
correspondiente:
• Una máquina está
funcionando de manera que
su temperatura aumenta
linealmente con el tiempo.
• Al alcanzar los 100ºC se
para, permaneciendo en
reposo 5 mn.
• Tras ese periodo de
descanso vuelve a funcionar.
La función se expresaría así:
10.x si 0 ≤ x ≤ 10
f(x) = 0 si 10 < x ≤ 15
10.x - 150 si 15 ≤ x ≤ 25

10. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10
- 5 0 5 10 20
3
2
1
• Ejemplo 7
• Tenemos troceada la función en
tres partes, cada una de las
cuales es, en este caso, una
función cuadrática, una f.
constante y una f. lineal.
• Ejemplo Práctico
correspondiente:
• Al variar la temperatura
ambiente entre -5ºC y 20ºC
observamos la variación que
sufre el índice de crecimiento
de un determinado compuesto
biológico.
• Crecimiento actual
• i = ------------------------------
• Crecimiento anterior
• A iguales periodos de tiempo
La función se expresaría así:
(3/25).x2
si -5 ≤ x < 5
f(x) = 3 si 0 ≤ x ≤ 10
- 0,3.x + 6 si 10 < x ≤ 20

11. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11
• Ejemplo 8 de función definida a trozos
• Lo que cobra Correos por el envío postal de un paquete depende,
fundamentalmente del peso en gramos.
• Si, por ejemplo, por un paquete de 399,99 g nos cobran 4 €, por otro de
400 g nos llevarían 6 €. Por muy pequeño que sea el incremento de peso,
el incremento de precio puede ser muy notable si nos movemos cerca de
puntos que presentan una discontinuidad.
0 100 200 400 700 peso en g
10
6
4
2
1
p
P = f (p) en €

12. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12
• EJEMPLO 1
• Representa gráficamente la función:
• x + 2 , si x < – 1
• Sea f(x) =
• – 2.x2
+ 4 , si x > – 1
•
• A la izquierda de x = - 1 es una función lineal
• Tabla: x = – 2  y = 0 ,, x = – 1  y = 1
• Se dibujaría en el intervalo de definición (– oo , – 1).
• A la derecha de x = - 1 es una función cuadrática: Parábola convexa.
• Vértice: Vx = – b/2.a = – 0 /2.(-2) = 0  Vy = - 2.0 + 4 = 4
• Tabla: x = – 1  y = - 2.1 + 4 = 2 ,, x = 1  y = 2
• Se dibujaría en el intervalo de definición (– 1 , +oo).
FUNCIONES TROCEADAS

13. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 13
-2-11234
• … EJEMPLO 1
• x – 2 , si x < – 1
• f(x) =
• – 2.x2
+ 4 , si x > – 1
-2 -1 0 1

14. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 14
• EJEMPLO 2
• Representa gráficamente la función:
•
• Sea f(x) = x2
– 4 x + 3 , si x ≤ 3
•
• 2–x
+ 1 , si x > 3
•
• A la izquierda de x=3 es una función cuadrática.
• Parábola cóncava.
• Vértice: Vx = – b/2.a = – (-4) /2.1 = 2  Vy = (2)2
– 4.(2) + 3 = – 1
• Tabla: x = 1  y = 0 ,, x = 3  y = 0
• A la derecha de x =3 la función es exponencial.
• Con exponente negativo (luego decreciente).
• Traslación vertical hacia arriba.
• La asíntota horizontal es: lim [xoo] f(x)= (1/oo)+1 = 0 + 1= 1
• Tabla:
• x = 3  y = 1,125 ,, x = 4  y = 1,0625 ,, x = 8  y = 1,03125

15. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 15
-1 0 1 2 3 4
-2-11234
• … EJEMPLO 2
• x2
– 4 x + 3 , si x ≤ 3
• Sea f(x) =
• 2–x
+ 1 , si x > 3

16. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 16
• EJEMPLO 3
• Representa gráficamente la función:
• 2.x – 2 , si x < 1
• Sea f(x) = x2
– x , si 1 ≤ x < 2
• 2
• --- + 1 , si x > 2
• x
•
• A la izquierda de x=1 es una función lineal
• Tabla: x = 0  y = – 2 ,, x = 1  y = 0
• En el intervalo (1 , 2) es una función cuadrática: Parábola cóncava.
• Vértice: Vx = – b/2.a = – (-1) /2.1 = 1/2  Vy = (1/2)2
– ½ = – 0,25
• Tabla: x = 1  y = 0 ,, x = 2  y = 4 – 2 = 2
• A la derecha de x = 2 la función es una hipérbola.
• La asíntota vertical es x=0, que queda fuera del intervalo.
• Traslación vertical hacia arriba.
• La asíntota horizontal es: lim [xoo] f(x)= (2/oo)+1 = 0 + 1= 1
• Tabla: x = 2  y = 2 ,, x = 4  y = 1,5 ,, x = 8  y = 1,25

17. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 17
-1 0 1 2 3 4
-2-11234
• … EJEMPLO 3
• 2.x – 2 , si x < 1
• Sea f(x) = x2
– x , si 1 ≤ x < 2
• 2
• --- + 1 , si x > 2
• x