1. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Lic. JORGE LUIS ROJAS PAZ
Docente del curso de introducción a la topología
Espacios métricos
Una de las ideas más importantes de la matemática es la de continuidad la misma que
esta relacionada directamente con los conceptos de convergencia y límites, sin
embargo tales conceptos no tendrían significado alguno si los conjuntos sobre los
cuales son desenvueltos no poseen la estructura necesaria para poder hablar de
proximidad de puntos, tales conjuntos son llamados espacios topológicos. La forma de
decidir cuando dos puntos pertenecientes a un conjunto M están mas próximos de un
tercero, involucra la noción de distancia ya previamente definida en el conjunto en
mención, tales conjuntos son llamados espacios métricos. Este concepto y otros más
fueron introducidos por Maurice Fréchet en el año 1906 en su famosa tesis tornándose
clásicos en el estudio de la topología.
Definición: (Métrica)
Sea M un conjunto no vacío. Una métrica en el conjunto M es una
función d: M x M R, tal que satisface los axiomas siguientes:
A1.- d(x, y) = 0 sii x = y, d(x, y)>0; x, y M.
A2.- d(x, y) = d (y, x); x, y M.
A3.- d(x, z) d (x, y)+ d (y, z); x, y, z M.
Si M es un conjunto y d una métrica en M, a la pareja (M, d) le llamaremos
Espacio Métrico. Como ejemplos motivadores de Espacios Métricos presentamos:
1.-Si M es el conjunto de los números reales R, la función d: R x R R definida por
d(x, y) x y es una métrica en R, llamada la métrica usual de R.
En efecto: Es claro que el axioma 1 se verifica inmediatamente dada la definición
en R de valor absoluto . Así mismo como x y y x , x, y R se
sigue d(x, y) = d (y, x), verificándose el axioma 2.
Finalmente de x y x z z y x z + z y , x, y, z R ; se
tiene
d (x, z) d (x, y)+ d (y, z),
lo que demuestra el axioma 3.
2.-Si M es el conjunto Rn , la función d: Rn x Rn R definida como:
n
d (( x1 ,…, xn ),( y1 ,…, yn )) ( xi yi )2
i 1
es una métrica, llamada la métrica Euclidiana. ¡Ejercicio!
3.-Sea C 0,1 el conjunto de funciones reales continuas definidas sobre el
intervalo 0,1 . La función d: C 0,1 x C 0,1 R definida por
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2. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS
1
d (f, g) = f x g ( x) dx es una métrica en C 0,1 .
0
En efecto: Dado que la función f ( x) g ( x) es no negativa en el intervalo 0,1 se
1
Sigue que f x g ( x) dx 0, y por consiguiente se verifica el axioma 1.
0
Por otro lado, sabemos que f ( x) g ( x) = g (x) f (x) , x 0,1 por
1 1
consiguiente de f ( x) g( x) dx g ( x) f ( x) dx se sigue d (f, g) d (g, f), lo que
0 0
demuestra el axioma 2.
La desigualdad triangular se deduce fácilmente del siguiente razonamiento:
f ( x) g( x) f ( x) h( x) h( x) g( x) , h C 0,1 ,
Además es claro que f ( x) g( x) f ( x) h( x) h( x) g( x) , x 0,1 .
y puesto que las funciones f ( x) g ( x) y f ( x) h( x) h( x) g( x) son
continuas en el intervalo 0,1 y por lo tanto integrables en dicho segmento
se tendrá
1 1 1
f ( x) g( x) dx f ( x) h( x) dx h(x) g (x) dx
0 0 0
lo que prueba el axioma 3.
4.-La Métrica del Ascensor.
Consideremos la función d: R2 x R2 R, definida de la siguiente manera:
donde: x (x1, x2 ) e y ( y1, y2 ) .
“d(x, y)” así definida constituye una métrica en R2 , llamada la Métrica del
Ascensor.
En efecto: Sólo demostraremos la desigualdad triangular dejando al lector
interesado las otras dos demostraciones restantes.
Consideremos para ello el primer caso donde los puntos x e y se encuentran en el
plano y sobre una misma recta vertical, situación para la cual hemos previsto un
gráfico elaborado con el software winplot
y
Para este caso consideramos los
puntos que se observan sobre la
recta vertical donde
d x, y y2 x2 , la cual
x satisface la desigualdad triangular
como es obvio pues si z es otro
punto sobre la misma vertical
entonces se tendrá
y2 x2 y2 z2 z2 x2 y2 z2 z2 x2
Lo que corrobora lo afirmado.
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3. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS
Para el segundo caso consideremos dos punto x e y situados en rectas verticales
diferentes x x1, x2 e y y1, y2 ) donde x1 x2 .
Sea z z1,z2 un tercer punto ubicado en el plano y sobre alguna recta vertical
x = z1 entonces se tiene:
d ( x, y) x2 y1 x1 y2
x2 y1 z1 z1 x1 y2 x2 y1 z1 z1 x1 y2
y como x2 x2 z2 z2 x2 z2 z2 , además x2 z2 x2 z2 se
concluye que
d ( x, y) x2 y1 z1 z1 x1 y2 x2 z1 x1 z2 y2 z1 y1 z2
es decir d ( x, y) d ( x, z) d ( z, y) que es lo que esperábamos.
y
x
Figura 1
Otros ejemplos interesantes de espacios métricos sólo serán citados a continuación,
invitando al lector entusiasta a realizar la demostración pertinente.
5.-La Métrica de Correos
La distancia entre dos puntos distintos es la suma de las distancias euclídeas de
ambos puntos al origen.es decir dados dos puntos x e y se tiene:
d( x, y) d ( x,0) d ( y, o)
donde d ( x,0) y d ( y, o) son las distancias euclídeas de los puntos x e y al origen o
de coordenadas.
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4. ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS
6.-La Métrica del taxi
La distancia entre dos puntos de coordenadas p( x1, x2 ); q( y1, y2 ) está dada por la
suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas, esto es:
d(( x1, x2 );( y1, y2 )) x1 y1 x2 y2
En el siguiente grafico se aprecian dos puntos de coordenadas P (-4,-2) y Q (3,2) y la
distancia entre ellos utilizando la métrica del taxi indicándose como 11
y
Mérica del Taxi
Q
d(P,Q)=11
x
P
Figura 02
Este nombre de métrica del taxi se debe a la interpretación que se hace de la distancia
de un punto a otro, como en la figura mostrada, y que correspondería a la longitud
que es recorrida por un taxi, que en una ciudad cuadriculada va desde un punto P
hasta otro punto Q realizando un solo giro de volante.
BIBLIOGRAFÍA
 JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,
Universitat de Valencia.
 ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto Euclides
1983.
 ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto Euclides,
CNPq, 1976.
 ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Tecnico,
Rio, 1970
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