clase sobre conjuntos numericos

1. CONJUNTO
Mcs César Alfonso Manjarrez Pontón

2. OBJETIVOS
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 Establecer relaciones entre los conjuntos y sus elementos.
 Realizar operaciones entre los conjuntos.
 Demostrar las propiedades de los conjuntos usando diagramas de
Veen-Euler.
 Realizar problemas que involucren el cardinal de un conjunto.

3. INTRODUCCIÓN
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El tema que usted va a estudiar, no es ni debe ser
desconocido para usted, ya que seguramente en
muchas ocasiones habrá tenido la oportunidad de
trabajar con conjuntos. Formalmente fue George
Cantor (1845-1918) quien a mediados del siglo XIX
creó las bases de lo que hoy se denomina “teoría de
conjuntos”. Comprender claramente los conceptos
básicos de la teoría de conjuntos será fundamental
para estudios posteriores.

4. CONCEPTO Y NOTACIÓN
DE CONJUNTO
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Consideremos un conjunto como una colección de objetos: lápices,
árboles, puntos, etc. Los componentes individuales de un conjunto
son sus elementos. Como ejemplo considérese el conjunto formado
por cuatro niñas llamadas Ana, Andrea, Carolina y Juana. Este
conjunto tiene cuatro elementos. Los conjuntos sin embargo, pueden
tener cualquier número de elementos. Podemos pensar en el
conjunto de las estrellas del universo; este conjunto indudablemente
es muy grande. Un ejemplo de conjunto infinito son los enteros
positivos 1, 2, 3, 4, …. En realidad, puede existir un conjunto que no
contenga elementos, a tal conjunto lo llamamos vacío.
Podemos describir de esta manera los diversos conjuntos, pero
conjunto es un término primitivo que no se puede definir. Por tanto,
aceptamos conjunto y elemento como términos no definidos.

5. *
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Los conjuntos se representan con letras mayúsculas; y sus
elementos si son letras, con minúsculas encerrados entre llaves y
separados por comas.
El conjunto de las vocales que podemos llamar por el conjunto V, se
representa así V = {a,e,i,o,u}.
Existen dos formas para describir los elementos de un conjunto: por
extensión, cuando se listan los elementos del conjunto. V =
{a,e,i,o,u} o B={1,3,5,7,…,21}. Por comprensión, cuando se da una
regla que permita escribir todos los elementos del conjunto. Q =
{x/xꞓZ+; x˂ 10}.
El conjunto vacío, lo representamos por { } o Φ. Cualquier conjunto
que contenga los elementos de los conjuntos que se están usando,
se denomina conjunto Universal y se representa por la letra U.

6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Relación de pertenencia
Cuando nos interesa relacionar un elemento con un conjunto dado,
usamos la relación de pertenencia y utilizamos la notación ꞓ. Por
ejemplo, cuadrado rojo no pertenece a C; mientras que pentágono
azul pertenece a A

7. 

8. 2. Contenencia
Cuando queremos relacionar un conjunto con otro conjunto, hablamos de la relación
de “contenencia” y utilizamos la notación с; si tenemos los conjuntos A, B, M
tales que los elementos de A estan en M; entonces decimos que A está contenido en
M y escribimos A M. Así mismo, como no todos o ninguno de los elementos de
B están en M, decimos que B no esta contenido en M, y escribimos B m M

9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Es una manera de formar conjuntos a partir de otros conjuntos.
Sean A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6,7,8,9}.
1. Unión (U)
Es un nuevo conjunto formado con “todos” los elementos de A y “todos los elementos
de B. Este nuevo conjunto lo llamaremos C.
C=A U B, entonces C={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; así, A U B={x : xꞓA o xꞓB}

10. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
2. Intersección (Ո)
Es un nuevo conjunto formado con los elementos que pertenecen a ambos conjuntos
al mismo tiempo. Este nuevo conjunto lo llamaremos D.
D=A Ո B, entonces C={1,2,3,4,5,6,8,9}; así, A Ո B={x : xꞓA y xꞓB}
Si la intersección entre conjunto no tiene elementos, se dice que la intersección es
vacía; y los conjuntos se dicen disjuntos; esto es,
A Ո B= Φ = { }

11. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
3. Diferencia (-)
Es un nuevo conjunto formado con los elementos que pertenecen a A, pero no
pertenecen a B. Este nuevo conjunto lo llamaremos E.
E= B - A, entonces E={6,7,8,9}; así, A - B={x : xꞓB y xɇA}

12. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS


13. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
5. Complemento
La operación de complemento, sugiere la existencia de un conjunto
universal U; y que además, tenemos un subconjunto de U, que llamaremos
A. Podemos formar un conjunto con los elementos de U que no pertenecen
a A. Este nuevo conjunto lo llamaremos A complemento o complemento de
A, denotado por A'. Si U={x : x es un número digito}; y A={1,2,3,4,5}.
Así, A‘={0,6,7,8,9}. En general, A'={x : xꞓU y xɇA}

14. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
A continuación presentaremos un resumen de las propiedades que se
cumplen en las operaciones entre conjuntos, no creemos necesario
una demostración rigurosa de ellas, pero el docente les mostrará a
través de ejemplos, la aplicación de ellas. A U B A Ո B A‘
1. Propiedad Idempotente a). A U A = A b). A Ո A = A
2. Propiedad conmutativa a). A U B = B U A b). A Ո B = B Ո A
3. Propiedad distributiva. a). A U (B Ո C) = (A U B) Ո (AU C)
b). A Ո (B U C) = (A Ո B) U (A Ո C)

15. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
4. Propiedad asociativa. a). (A U B) U C = A U (B U C)
b). (A Ո B) Ո C = A Ո (B Ո C)
5. Leyes de Morgan. a). (A U B)' = A' Ո B'
b). (A Ո B)' = A' U B‘
6. Propiedades de identidad. a). A U Φ = A a). A U U = U
c). A Ո Φ = Φ d). A Ո U = A
7. Propiedades de complementación. a). A U A' = U b). A Ո A‘ = Φ
c). (A‘)‘ = A d). (U)‘ = Φ
e). (Φ)' = U

16. CARDINAL DE UN CONJUNTO
Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos “cardinal de A” al número
de elementos de A y lo notaremos por Ƞ(A); conociendo el cardinal
de ciertos conjuntos dados, podemos encontrar el cardinal de
algunas de sus operaciones.
Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unión de
estos conjuntos de la siguiente forma:
Ƞ(A U B) = Ƞ(A) + Ƞ(B) - Ƞ(A Ո B)
Si los conjuntos son disyuntos (A Ո B = Φ), entonces la relación
anterior se reduce a
Ƞ(A U B) = Ƞ(A) + Ƞ(B)
Nota : Los ejemplos los muestra el docente

17. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Budnick, Frank S. Matemáticas aplicadas apara las ciencias
administrativas y sociales. MacGraww-Hill
Britton-Bello. Matemáticas contemporaneas. Harla
Lipschutz, Seymour. Matemáticas finitas. MacGraw-Hill
Miller, Charles. Introducción al pensamiento matemático. Trillas
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18. GRACIAS
Mcs César Alfonso Manjarrez Pontón