Dar a conocer la importancia de los espacios y sub espacios vectoriales en la rama de la electrónica y automatización, también plantearemos ejercicios aplicando el teorema de wronksiano

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ALGEBRA LINEAL
PARCIAL II TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS
VECTORIALES EN LA CARRERA DE ELECTRONICAY
AUTOMATIZACION
Nombres:
1.Deivy Steven Cueva Garavi
2.Bryan Gerardo Garzón Cevallos
3.Jhandry Alcívar Guajala Quichimbo.

2. • Investigar de las aplicaciones de espacios vectoriales y sub espacios en carreras de
electrónica y automatización para aclarar la importancia de su estudio.
• Formular ejercicios complejos con el uso del teorema wronskiano para extender nuestro
conocimiento y el dominio del teorema.
• Ampliar el conocimiento y aplicarlo en ejemplo básicos para lograr un mejor desempeño en
problemas que se puedan dar en nuestra carrera.

3. Introducción
La presente investigación es para dar a conocer lo que es un espacio vectorial esta representara magnitudes vectoriales como
fuerzas, velocidades o aceleraciones, donde se considera una parte S del espacio vectorial
Conocemos que un espacio vectorial el cual llamaremos “A” representa magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o
aceleraciones, podemos considerar una parte S de él espacio vectorial “A” que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”,
incluido en ese espacio vectorial “A”. Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que
en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.
En la electrónica la rama de programación también ayuda al cálculo de variables en matrices por componentes eléctricos que
necesitan un determinado voltaje el cual puede ser calculado por matrices el cual bien programado ayudaría a encontrar fallos, el
cual es usado en los programas de análisis de circuitos en automóviles a base de sensores.

4. Fundamentación teórica
¿Qué es un Espacio vectorial?
Se entiende como espacio vectorial a una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, de una interna (llamada suma) y una operación externa (llamada
producto por un escalar), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos cuerpos, escalares.
I. La Adición Vectorial, asocia a cada par de elementos u, v є V, un elemento único de V, conocido como suma de u y v, escrito como u + v, tal que se cumplen las siguientes
propiedades:
i. Conmutativa: u + v = v + u
ii. Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
iii. Modulativa: u + 0 = u; 0 = Vector Nulo o Cero
iv. Del Opuesto: u + (- u) = 0 -u = opuesto de u
II. La Multiplicación por escalares, asocia a todo vector u є V y para todo k є R, un
elemento único de V, llamado producto de k y u, escrito como ku, tal que se cumplen las siguientes propiedades:
i) Distributiva (Para la suma de vectores): k (u + v) = ku + kv
ii) Distributiva (Para la suma de escalares): (k1 + k2) u = k1u + k2u
iii) Asociativa: k1 (k2u) = (k1k2) u
iv) Modulativa: 1.u = u
Sub espacios vectoriales.
Sea U un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, U se llama sub espacio vectorial de V si U es a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones
de Suma y producto por escalar.
El teorema del sub espacio vectorial tiene como condición necesaria y suficiente para para un subconjunto de un espacio vectorial sea un sub espacial debe cumplir el
siguiente:
(Castro, 2020) .

5. Aplicación de los espacios y sub espacios vectoriales en Ing. Electrónica.
Una vez que ya conozcamos un poco de los espacios y sub espacios podemos aplicarlos a la electrónica y automatización por
ejemplo cuando necesitamos calcular valores de intensidades en corrientes en un sistema de ecuaciones que generamos en un
circuito con n variables esto ayuda a determinar el valor de cada una de las incógnitas y si entran en un sub espacio el cual nos
facilitara la introducción de más componentes eléctricos.
El estudio de los espacios vectoriales en la Ingeniería Electrónica es muy importante ya que los campos eléctricos y
electromagnéticos que las cargas eléctricas generan son campos vectoriales.
Cuando se da el caso de que nosotros necesitamos hacer cálculos para conocer valores de ciertas magnitudes regularmente
usamos el álgebra para hacer cálculos de ley de ohm o ley de Kirchhoff, pero llegamos a un punto donde toca hacer cálculo de ondas
donde definimos los senos y cuál es el campo de velocidad, el campo de la aceleración o el campo de potencia, etc. En estos casos se
debe usar plenamente la teoría de espacios vectoriales ya que estos cálculos de ondas siempre van a ser requeridos en nuestra
ingeniería.
También al descomponer una onda en “elementos” que a su vez son más ondas ayuda a que en vez de calcular un espacio
vectorial te enfoques en sub espacios vectoriales que son conjuntos más simples de elementos, en lugar de en todo el espacio.
(Morales, 2015)

6. • Si el Wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el
intervalo.
Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son
independientes, quizás podamos usar el Wronskiano. Nótese que, si el Wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden
ser o no ser linealmente independientes.
Teorema Wronskiano.
El teorema Wronskiano es utilizado en el estudio de ecuaciones diferenciadas ordinarias, en donde por ocasiones puedes mostrar si un conjunto de
soluciones lineales es linealmente independiente.
El teorema de Wronskiano trata de calcular el determinante de una matriz construida al colocar todas las funciones en la primera fila luego de eso la
segunda fila serían las derivadas de cada función de la primera fila y así sucesivamente hasta llegar a la derivada n-1, formando una matriz cuadrada.
Dado un conjunto de 𝑛 funciones que son (𝑛 − 1)-veces derivables,𝑓1, 𝑓2,… , 𝑓𝑛, el Wronskiano está dado por:

7. Desarrollo
• Funciones 1. Tres Polinómicas y determinar si son l.i. o l.d. con el teorema wronskiano
• 𝑺𝒆𝒂 𝑭 = 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 – 𝟑, 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟖𝐱 − 𝟔, 𝐱 + 𝟖 determinar si es l.i o l.d aplicando el teorema de wronskiano
Aplicamos el teorema de wronskiano
• Escribimos cada polinomio en columna dentro del determinante y hallamos sus respectivas derivadas
𝑓(𝑥) →
𝑓,
(𝑥) →
𝑓,,
(𝑥) →
2𝑥2
+ 4𝑥 – 3 4𝑥2
+ 8x − 6 𝑥 + 8
4𝑥 + 4 8𝑥 + 8 1
4 8 0
• Al realizar el cálculo respectivo, aplicamos el método de la estrella para hallar el determinante correspondiente
𝐷 = 2𝑥2
+ 4𝑥 – 3 8𝑥 0 + 4𝑥2
+ 8x − 6 1 4 + 4𝑥 + 4 8 𝑥 + 8 − 𝑥 + 8 8𝑥 + 8 4 + 8 1 2𝑥2
+ 4𝑥 – 3 + 4𝑥2
+ 8x − 6 4𝑥 + 4 0
𝐷 = 0 + 16𝑥2
+ 32x − 24 + 32x2
+ 288x + 256 − 32x2
− 288𝑥 − 256 − 16𝑥2
− 32x + 24 + 0
𝐷 = 0 F es linealmente dependiente ya que el determinante dio |D|=0

8. Funciones 2
• Función Compuesta
• 𝑺𝒆𝒂 𝑺 = 𝒇 𝒈 𝒙 , 𝒈 𝒇 𝒙 → 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟑 + 𝟏 y 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝟐, determinar si es l.i. o l.d. aplicando el teorema de
wronskiano
Si 𝒇(𝒙)= 𝟐𝒙 − 𝟑 + 𝟏 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐
𝒇 𝒈 𝒙 = 2 𝑥2 + 2 − 3 + 1
= 2𝑥2 + 4 − 3 + 5
𝒇 𝒈 𝒙 = 2𝑥2 + 1 + 5
𝑆 = 2𝑥2 + 1 + 5 , 2𝑥2
Aplicamos el teorema de wronskiano
𝑓(𝑥) →
𝑓,
(𝑥) →
2𝑥2 + 1 + 5 2𝑥2
2𝑥
2𝑥2 + 1
4𝑥
𝒈 𝒇 𝒙 = 2𝑥2 − 3 + 1
2
+ 2
= 2𝑥2 − 3 + 1
2
+ 2
=2𝑥2
− 3 + 1 + 2
𝒈 𝒇 𝒙 = 2𝑥2

9. • Al realizar el cálculo respectivo, aplicamos el método de la estrella para hallar el determinante correspondiente
𝐷 = ( 2𝑥2 + 1 + 5) 4𝑥 − 2𝑥2 2𝑥
2𝑥2+1
→ 𝐷 = 4𝑥 2𝑥2 + 1 + 20𝑥 −
4𝑥3
2𝑥2+1
→ 𝐷 =
4𝑥 2𝑥2+1
2
+20𝑥 2𝑥2+1−4𝑥3
2𝑥2+1
𝐷 =
4𝑥 2𝑥2
+ 1 + 20𝑥 2𝑥2 + 1 − 4𝑥3
2𝑥2 + 1
→ 𝐷 =
8𝑥3
+ 4𝑥 + 20𝑥 2𝑥2 + 1 − 4𝑥3
2𝑥2 + 1
→ 𝐷 =
4𝑥3
+ 4𝑥 + 20𝑥 2𝑥2 + 1
2𝑥2 + 1
4𝑥3
+ 4𝑥 + 20𝑥 2𝑥2 + 1 = 0
20𝑥 2𝑥2 + 1 = −4𝑥3
− 4𝑥
5𝑥 2𝑥2 + 1 = −𝑥3
− 𝑥
5𝑥 2𝑥2 + 1 + 𝑥3
+ 𝑥 = 0
𝑥 5 2𝑥2 + 1 + 𝑥2
+ 1 = 0
Ya que 5 2𝑥2 + 1 + 𝑥2
+ 1 no puede ser cero
Entonces se considera 𝒙 = 𝟎
Si 𝑥1 = 0 → |D|=0 es linealmente dependiente

10. • Funciones exponenciales con polinómicas
𝑺𝒆𝒂 𝑺 = 𝒆𝒙
, 𝟒𝒙𝟐
, −𝟏 , determinar si es l.i o l.d aplicando el teorema de wronskiano
𝑆 = 𝑒𝑥
,4𝑥2
, −1
𝑓(𝑥) →
𝑓,
(𝑥) →
𝑓,,
(𝑥) →
𝑒𝑥
4𝑥2
−1
𝑒𝑥
8𝑥 0
𝑒𝑥
8 0
Aplicamos el teorema de wronskiano
𝑒𝑥
4𝑥2
−1
𝑒𝑥
8𝑥 0
𝑒𝑥
8 0
−
𝑒𝑥
4𝑥2
−1
𝑒𝑥
8𝑥 0
𝑒𝑥
8 0
+
𝑒𝑥
4𝑥2
−1
𝑒𝑥
8𝑥 0
𝑒𝑥
8 0
−1
𝑒𝑥
8𝑥
𝑒𝑥
8
− 0 𝑒𝑥
4𝑥2
𝑒𝑥
8
+ 0 𝑒𝑥
4𝑥2
𝑒𝑥
8𝑥
= −1 8𝑒𝑥
− 8𝑥𝑒𝑥
− 0 + 0
= −8𝑒𝑥
+ 8𝑥𝑒𝑥
= −8𝑒𝑥
+ 1 − 𝑥 Ya que −8𝑒𝑥
no puede ser cero
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 1 − 𝑥 = 0 𝑥 = 1 ≠ 0 S será linealmente independiente pues el determinante dio 𝑥 ≠ 0

11. Esta investigacion nos ayudó a entender la importancia de los
espacios y subespacios vectoriales en la carrera de electrónica y
automatización, siendo de gran aporte para el respectivo cálculo de
problemas planteados.
Además, el uso del teorema de wronskiano es fundamental para
determinar si nuestra función es linealmente dependiente o
independiente, no obstante que para usar este método se debe aplicar
bien las derivadas ya que este es punto clave para la obtención de la
matriz dentro del determinante.
Conclusiones
11

12. Bibliografía
Castro, L. (17 de ene de 2020). ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES.
Obtenido de
https://drive.google.com/file/d/1eeXpjqQAdTqTs_Wo1JDhURAAy722okjK/view
Castro, L. (17 de ene de 2020). ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES.
Obtenido de
https://drive.google.com/file/d/1eeXpjqQAdTqTs_Wo1JDhURAAy722okjK/view
Morales, G. (19 de marzo de 2015). Blogger. Obtenido de
https://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/aplicacion-de-espacios- vectoriales-en.html
Wikipedia. (24 de nov de 2020). Wikipedia. Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Wronskiano#:~:text=El%20wronskiano%20es%20el%20
determinante,algunas%20veces%20llamada%20matriz%20fundamental.
Wikipedia. (02 de feb de 2021). Wikipedia. Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Campos N. (2010). Espacios Vectoriales. Recuperado desde
http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf