Resolución de ejercicios formulados

2. • Analizar cada ejercicio formulado para extender
nuestro conocimiento y lograr un mejor dominio con
las transformaciones lineales.

3. Determina cuál de las siguientes funciones, define una transformación lineal
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑 𝒙 − 𝒚, 𝒙 + 𝒚
𝑻 = ℝ𝟐
→ ℝ𝟐
;
𝑥
𝑦 =
3𝑥 − 3𝑦
3𝑥 + 3𝑦
𝑢 =
𝑥1
𝑦1
; 𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟐
; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻
𝜶𝒙𝟏
𝜶𝒚𝟏
𝜶𝒛𝟏
+
𝜷𝒙𝟐
𝜷𝒚𝟐
𝜷𝒛𝟐
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =
𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐
𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐
𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 3
∝ 𝑥 +
∝ 𝑥 +
𝛽𝑥1 −∝ 𝑦 − 𝛽𝑦1
𝛽𝑥1 +∝ 𝑦 + 𝛽𝑦1
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 3
∝ 𝑥 − 𝑦 + 𝛽 𝑥1 − 𝑦1
∝ 𝑥 + 𝑦 + 𝛽 𝑥1 + 𝑦1
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =3 ∝
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝛽
𝑥1 − 𝑦1
𝑥1 + 𝑦1
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 sí cumple la condición
Entonces si es una Transformación
lineal

4. 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝒙, 𝒚, 𝒛𝟐
)
Nota: Al estar elevado al cuadrado podemos deducir que no es una transformación lineal.
𝑻 = ℝ𝟑
→ ℝ𝟑
;
𝒙
𝒚
𝒛
=
𝒙
𝒚
𝒛𝟐
𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
; 𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟑
; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =∝ 𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻
𝜶𝒙𝟏
𝜶𝒚𝟏
𝜶𝒛𝟏
+
𝜷𝒙𝟐
𝜷𝒚𝟐
𝜷𝒛𝟐
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =
𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐
𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐
𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =
∝ 𝑥1 +𝛽
∝ 𝑦1 + 𝛽
(∝ 𝑧1)2
+ 2(
𝑥2
𝑦2
∝ 𝑧1)(𝛽𝑧2) + (𝛽𝑧2)2
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 ≠ 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 no cumple la condición
Entonces no es una Transformación lineal

5. 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛, 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛, 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 .
𝑹𝟑
→ 𝑹𝟑
=
𝒙
𝒚
𝒛
=
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛
𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛
𝒙 − 𝒚 − 𝒛
𝒖 =
𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝒛𝟏
𝒗 =
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝒛𝟐
𝒖, 𝒗 ∈ 𝑹𝟑
; 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∴ 𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝑻
𝜶𝒙𝟏
𝜶𝒚𝟏
𝜶𝒛𝟏
+
𝜷𝒙𝟐
𝜷𝒚𝟐
𝜷𝒛𝟐
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =
𝜶𝒙𝟏 + 𝜷𝒙𝟐
𝜶𝒚𝟏 + 𝜷𝒚𝟐
𝜶𝒛𝟏 +𝜷𝒛𝟐
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂
𝑓
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧
𝑥 − 𝑦 − 𝑧
T 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 + 2 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − 3(𝛼𝑧1+𝛽𝑧2)
3 𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 + 5(𝛼𝑧1+𝛽𝑧2)
𝛼𝑥1 +𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − (𝛼𝑧1+𝛽𝑧2)
→ 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼(𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1) + 𝛽(𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2)
𝛼(3𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1) + 𝛽(3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2)
𝛼(𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1) + 𝛽(𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼
𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1
3𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1
𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1
+ 𝛽
𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2
3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2
𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 sí cumple la condición
Entonces si es una Transformación lineal

6. 𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑹𝟑
𝒆𝒏 𝑹𝟑
, 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇( 𝟏, 𝟎, 𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟑 𝒚 𝒇( 𝟐, 𝟏, 𝟎 = 𝟎, 𝟐, 𝟏 ; 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇( −𝟏, −𝟐, 𝟑 ).
𝑻 = 𝑹𝟑
→ 𝑹𝟑
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
ฑ
1
0
1
𝑢
+ 𝛽
ฑ
2
1
0
𝑣
+ 𝛿
ฑ
0
0
0
𝑤
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗
ቐ
𝛼 + 2𝛽 + 0 = 𝑥
0 + 𝛽 + 0 = 𝑦
𝛼 + 0 + 0 = 𝑧
→
1 2 0 𝑥
0 1 0 𝑦
1 0 0 𝑧
2𝑓3 − 3𝑓1 → 𝑓3
1
𝛼
2
𝛽
0
𝛿
𝑥
0 1 0 𝑦
0 −2 0 𝑧 − 𝑥
Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3
𝜶 + 𝟐𝜷 = 𝒙 𝛽 = 𝑦
𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝜷 → 𝟏 −𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝒙
−𝟐𝜷 = 𝒛 − (𝜶 + 𝟐𝜷)
−𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝜶 − 𝟐𝜷
−𝟐𝜷 = 𝒛 − 𝜶 − 𝟐𝜷
𝜶 = 𝒛
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣
Reemplazamos 𝜶 y 𝜷
𝑻
𝒙
𝒚
𝒛
= 𝒛
𝟏
−𝟏
𝟑
+ 𝒚
𝟎
𝟐
𝟏
→ 𝑻
𝒙
𝒚
𝒛
= 𝒛
𝟏
−𝟏
𝟑
+ 𝒚
𝟎
𝟐
𝟏
→ 𝑻
𝒙
𝒚
𝒛
=
𝒛
−𝒛 + 𝟐𝒚
𝟑𝒛 + 𝒚
donde
𝒙
𝒚
𝒛
=
−𝟏
−𝟐
𝟑
Y reemplazamos 𝑻
−𝟏
−𝟐
𝟑
=
𝟑
−𝟑 + 𝟐(−𝟐)
𝟑 𝟑 + (−𝟐)
→ 𝑇
−𝟏
−𝟐
𝟑
=
𝟑
−𝟕
7

7. 𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑹𝟑
𝒆𝒏 𝑷𝟐, 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇( 𝟏, 𝟏, 𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐
, 𝒇( 𝟐, 𝟎, 𝟎 = 𝟑 + 𝒕 − 𝒕𝟐
, 𝒇( 𝟎, 𝟒, 𝟓 ) = 𝟐 + 𝟑𝒕 + 𝟑𝒕𝟐
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇( 𝟐, −𝟑, 𝟏 ).
𝑻 = 𝑹𝟑
→ 𝑷𝟐 =
𝒙
𝒚
𝒛
= 𝜶
ฑ
𝟏
𝟏
𝟏
𝒖
+ 𝜷
ฑ
𝟐
𝟎
𝟎
𝒗
+ 𝜹
ฑ
𝟎
𝟒
𝟓
𝒘
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗 + 𝛿 𝑻 𝒘
ቐ
𝜶 + 𝟐𝜷 + 𝟎 = 𝒙
𝜶 + 𝟎 + 𝟒𝜹 = 𝒚
𝜶 + 𝟎 + 𝟓𝜹 = 𝒛
→
𝟏 𝟐 𝟎 𝒙
𝟏 𝟎 𝟒 𝒚
𝟏 𝟎 𝟓 𝒛
𝒇𝟐 − 𝒇𝟏 → 𝒇𝟐
𝒇𝟑 − 𝒇𝟏 → 𝒇𝟑
𝟏 𝟐 𝟎 𝒙
𝟎 −𝟐 𝟒 𝒚 − 𝒙
𝟎 −𝟐 𝟓 𝒛 − 𝒙
𝒇𝟑 − 𝒇𝟐 → 𝒇𝟑
𝟏
𝜶
𝟐
𝜷
𝟎
𝜹
𝒙
𝟎 −𝟐 𝟒 𝒚 − 𝒙
𝟎 𝟎 𝟏 𝒛 − 𝒚
Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3
−2𝛽 + 4𝛿 = 𝑦 − 𝑥
−2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝛿
−2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝛿
−2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4 𝑧 − 𝑦
𝛽 =
𝑦 − 𝑥 − 4 𝑧 − 𝑦
−2
𝛽 =
𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 4𝑦
−2
𝛽 =
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
𝛼 = 𝑥 − 2𝛽
𝛼 = 𝑥 − 2
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
𝛼 = 𝑥 −
−2𝑥 − 8𝑧 + 10𝑦
−2
𝛼 = 𝑥 +
2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦
−2
𝛼 = 𝑥 +
2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦
−2
𝛼 =
−2𝑥 + 2𝑥 + 8𝑧 − 10𝑦
−2
𝛼 =
8𝑧 − 10𝑦
−2
𝛿 = 𝑧 − 𝑦

8. 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
8𝑧 − 10𝑦
−2
1
−2
1
+
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
3
1
−1
+ 𝑧 − 𝑦
2
3
3
𝑇 𝑥 =
8𝑧 − 10𝑦
−2
1 +
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
3 + 𝑧 − 𝑦 2
𝑇 𝑥 = =
8𝑧 − 10𝑦
−2
+
−3𝑥 − 12𝑧 + 15𝑦
−2
+ 2𝑧 − 2𝑦
𝑇 𝑥 =
8𝑧 − 10𝑦 − 3𝑥 − 12𝑧 + 15𝑦 − 4𝑧 + 4𝑦
−2
𝑇 𝑥 =
−3𝑥 + 9𝑦 − 8𝑧
−2
𝑇 𝑦 =
8𝑧 − 10𝑦
−2
−2 +
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
1 + 𝑧 − 𝑦 3
𝑇 𝑦 =
−16 + 20𝑦
−2
+
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
+ 3𝑧 − 3𝑦
𝑇 𝑦 =
−16𝑧 + 20𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦 − 6𝑧 + 6𝑦
−2
𝑇 𝑦 =
−𝑥 + 31𝑦 − 26𝑧
−2
𝑇 𝑧 =
8𝑧 − 10𝑦
−2
1 +
−𝑥 − 4𝑧 + 5𝑦
−2
−1 + 𝑧 − 𝑦 3
𝑇 𝑧 =
8𝑧 − 10𝑦
−2
+
𝑥 + 4𝑧 − 5𝑦
−2
+ 3𝑧 − 3𝑦
𝑇 𝑧 =
8𝑧 − 10𝑦 + 𝑥 + 4𝑧 − 5𝑦 − 6𝑧 + 6𝑦
−2
𝑇 𝑧 =
𝑥 − 9𝑦 + 6𝑧
−2
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
−3𝑥+9𝑦−8𝑧
−2
−𝑥+31𝑦−26𝑧
−2
𝑥+9𝑦−6𝑧
−2
donde
𝒙
𝒚
𝒛
=
𝟐
−𝟑
𝟏
Y reemplazamos
𝑇
2
−3
1
=
−3 2 + 9(−3) − 8
−2
−(2) + 31(−3) − 26
−2
1 − 9(−3) + 6
−2
𝑇
2
−3
1
=
41
2
121
2
35
−2

9. Conclusiones
Las transformaciones lineales se las puede representar
por medio de una matriz donde su resolución tendremos que
aplicar los teoremas ya vistos en clase para así comprobar si es o
no una transformación lineal.