El documento describe el movimiento en dos dimensiones y el movimiento circular uniforme. Explica cómo se describe la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en un plano, incluyendo los conceptos de vector desplazamiento, velocidad media e instantánea, y aceleración media e instantánea. También analiza el movimiento de un proyectil con aceleración constante y la trayectoria, alcance y tiempo de vuelo de un proyectil. Por último, explica conceptos como velocidad angular, período y frecuencia para el

1. Movimiento en un plano (dos dimensiones)

2. ¿Como describimos la posición de la partícula? r(t) posición de la partícula a un tiempo t en el lugar P r(t+ Δ t) posición de la partícula un tiempo después en el lugar Q Δ r el vector desplazamiento que describe el cambio de posición y x r(t) r(t+ Δ t) Δ r P Q

3. Por lo que: El vector desplazamiento Δr es la diferencia entre su vector de posición final y su vector de posición inicial. Δr = r f -r i, al igual que para una dimensión la velocidad media resulta ser: La velocidad instantánea o sea la variación del desplazamiento con respecto al tiempo resulta ser el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño:

4. Hay que tener en cuenta que una partícula que se mueve en un plano tiene dos velocidades: una horizontal v x y otra vertical v y , estas dos velocidades son perpendiculares e independientes. y x v v x v y θ y x

5. La magnitud del vector v se puede escribir en términos de las de sus vectores componentes: De acuerdo con las relaciones trigonométricas, podemos definir a los componentes de la velocidad como: Y además

7. Un caso de movimiento en el plano con aceleración constante lo constituye el llamado movimiento de un proyectil, que corresponde a un objeto lanzado al aire según un ángulo diferente de cero y de 90° con la horizontal. Si se desprecian los efectos de la fricción con el aire y las pequeñas variaciones debido a la altura, la latitud y la rotación de la Tierra, este movimiento se realiza con una aceleración constante, dirigida directamente hacia el centro de la Tierra, que es la aceleración de la gravedad .

8. v 0 = sen θ 0 v 0 = cos θ 0 La componente x es cte. La componente y cambia a x = 0, a y = -g, x i =y i =0 video

9. Sabemos que: Al sustituir v ix en Obtenemos: Haciendo lo mismo para el componente y : Despejando t de (1) La expresión (2) queda:

10. Trayectoria : La trayectoria de un proyectil se determina graficando su altura y en función de su posición en el eje x , de la siguiente manera: Así entonces: La trayectoria de todos los proyectiles bajo condiciones de aceleración constante y sin resistencia de aire, es parabólica Alcance : El alcance de un proyectil R , es la distancia horizontal que viaja, medida sobre terreno horizontal:

11. Tiempo de vuelo : La altura máxima se alcanza a la mitad del movimiento, esto sucede cuando t = T/2 Altura máxima : La altura máxima y max = h se alcanza cuando el tiempo es T/2

12. 0 y x Trayectoria de un proyectil que muestra la altura máxima y el alcance horizontal

13. Movimiento Circular Uniforme ( MCU ):

14. Para indicar la posición de la partícula se usa un vector de desplazamiento r , el cambio de posición se denota como Δ r que puede ocurrir en un intervalo de tiempo Δ t muy pequeño Δθ r i r f Δr v i v f

15. Al movimiento en giro continuo, se le llama movimiento circular uniforme Supongamos que una partícula se mueve en un circulo En el instante t la partícula se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ , que hace a “CO” el origen de ángulos, en la circunferencia

16. Un radian, es la medida del ángulo central contenido por un arco cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia 2 π radianes = 360 º 1 radian = 180 ° / π 1 grado = ( π /180) radianes

17. Velocidad angular

18. Período y frecuencia Un giro completo mide 2 π rad . Este intervalo de tiempo recibe el nombre de período y se representa con la letra T. La frecuencia ( f ), es la cantidad de vueltas que da un objeto por cada segundo, ó por cada unidad de tiempo. La frecuencia y el período son inversamente proporcionales : T = 1/ f Si el período está medido en segundos, la unidad de medida de la frecuencia será el Hertz (Hz) que es lo mismo que seg -1 . Si el período está medido en minutos, la unidad de medida de la frecuencia será r. p.m. (revoluciones por minuto).

19. Si medimos los ángulos en sistema circular (radianes) el ángulo que se forma al dar una vuelta (un giro) es 2  , así pues: Donde T es el período, tiempo que tarda en dar una vuelta.

20. Fuerza centrípeta Es la fuerza que tira de un objeto hacia el centro de un camino circular, mientras que el objeto sigue dicha trayectoria a una rapidez constante, siendo la rapidez la magnitud de la velocidad. Así entonces: F c = ma c ó F c /m = a c F c = m v 2 /r =m(r ω ) 2 =m ω 2 r Conociendo que: a c = g tan θ v 2 /r = g tan θ

21. Si en lugar de que el giro sea horizontal presenta una inclinación, formando un ángulo θ con la horizontal, el análisis es diferente. Un ejemplo claro lo observamos en el peralte de las curvas de carretera. Utilizando la segunda ley de Newton como Sus componentes serían: Agrupando estas dos ecuaciones y recordando que P = mg y que (sen θ/cos θ) = tan θ, llegamos a θ P N N y N x θ y x

22. En un movimiento circular uniforme la aceleración angular ( α ) es cero, pero la aceleración lineal NO es cero. La aceleración lineal es el vector equivalente a Fc Es la relación con la cual cambia su velocidad angular con respecto al tiempo . No hay que confundir con la aceleración “tangencial”, que es tangente a la circunferencia