Cálculo de medidas de dispersión mas comunes.

1. Estadística y
Probabilidad I
Medidas de Dispersión
Ciclo escolar 2013-2014

2. Dispersión o Variación
• La dispersión o variación de los datos intenta
dar una idea de cuan esparcidos se
encuentran estos. Hay varias medidas de tal
dispersión, siendo las mas comunes:
– El Rango.
– La Desviación Media.
– El rango semi-intercuartil.
– El rango percentil 10-90.
– La desviación típica.

3. El Rango
• El rango de un conjunto de números es la
diferencia entre el mayor y el menor de todos
ellos.
• Ejemplo: el rango del conjunto
12, 3, 5, 8, 5, 2, 10, 3, 5 es

4. Desviación Media
• La desviación media o desviación promedio, de
un conjunto de N números X1, X2, … , XN es
abreviada por MD y se define como
N
MD 
X
j 1
j
N
X
 X X
• Donde las barras | | denotan el valor absoluto
del interior (El valor absoluto de un numero, es el
numero sin signo; así |-4|=4, |3|=3, |6|=6,
|-0.84|=0.84). Es decir, la desviación media es el
promedio de las desviaciones absolutas.

5. Ejemplos
• Calcule el rango y la desviación media de los siguientes
datos
• 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4
Rango= 6-2=4
MD= 1.3469
Promedios
• 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2
– Rango= 5.5-1.1=4.4
– MD= 1.1333
Promedios
Xj
2
4
6
2
5
2
4
3.5714
Xj-X̅
-1.5714
0.4286
2.4286
-1.5714
1.4286
-1.5714
0.4286
|Xj-X̅|
1.5714
0.4286
2.4286
1.5714
1.4286
1.5714
0.4286
1.3469
Xj
1.1
1.2
2.4
5.5
2.4
1.2
2.3
Xj-X̅
-1.2
-1.1
0.1
3.2
0.1
-1.1
|Xj-X̅|
1.2
1.1
0.1
3.2
0.1
1.1
1.1333

6. Desviación Típica y Varianza
• La desviación típica (o desviación standard )de un
conjunto de N números X1, X2, … , XN se denota
por “s” y se define como
 X
N
s
j 1
X
2
j
N

X  X 
2
• Es decir, la desviación típica es la media
cuadrática de las desviaciones.
• La varianza de un conjunto de datos se define
como el cuadrado de la desviación típica y viene
dada en consecuencia por s2.

7. Ejemplos
• Calcule la varianza y desviación típica de los siguientes
datos
2
Xj
• 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4
s2= 2.2449
s= 1.4983
Promedios
• 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2
s2= 2.3533
s= 1.5340
Promedios
Xj-X̅
(Xj-X̅)
2
4
6
2
5
2
4
3.5714
-1.5714
0.4286
2.4286
-1.5714
1.4286
-1.5714
0.4286
2.4693
0.1837
5.8981
2.4693
2.0409
2.4693
0.1837
2.2449
Xj
1.1
1.2
2.4
5.5
2.4
1.2
2,3
Xj-X̅
-1.2
-1.1
0.1
3.2
0.1
-1.1
(Xj-X̅)2
1.44
1.21
0.01
10.24
0.01
1.21
2.3533
2

8. Métodos Cortos para calcular la
Desviación Típica
• La formula anterior de la desviación típica puede
reescribirse como

X Xj
j 1
 j 1
s

N
N



N
N
2
j
2


  X 2   X 2




• Esta formula es muy útil cuando los valores de X no son
muy grandes.
• Si los valores de X son grandes, es preferible calcularlo
a partir de la definición, o con la formula siguiente.

9. Métodos Cortos para calcular la
Desviación Típica
• Si dj=Xj-A
son las desviaciones de Xj respecto de
alguna constante arbitraria A, la expresión anterior

d  dj
s  j 1   j 1
 N
N



N
N
2
j
2


  d 2  d 2




• Esta formula es muy útil, si los valores de X son muy
grandes, encontramos un valor de A que haga cero la
mayoría de las desviaciones, o para no trabajar con
tantos números decimales.

10. Ejemplos
• Calcule la desviación típica de los siguientes datos
• 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4
s2= 15-3.57142=2.2451
s= 1.4984
Promedios
Xj
2
4
6
2
5
2
4
3.5714
2
Xj2
4
16
36
4
25
4
16
15
Xj
2
4
6
2
5
2
4
A= 4
s  X  X 
2
2
s  X  X 
2
2
(Xj-A)2
4
0
4
4
1
4
0
2.4286
Xj-A
-2
0
2
-2
1
-2
0
-0.4286
s  d  d 
2
2
s2=2.4286-(-0.4286)2=2.2449
2
2
2
s  d  d 
2
2
dj  X j  A

11. Propiedades de la desviación típica
• En la mayoría de los problemas sociales se
cumple que
– 68.27% de los casos están entre X̅ -s y X̅+s (o sea,
una desviación típica a cada lado de la media).
– 95.45% de los casos están entre X̅-2s y X̅+2s (o
sea, dos desviaciones típicas a cada lado de la
media).
– 99.73% de los casos están entre X̅ -3s y X̅+3s (o
sea, tres desviaciones típicas a cada lado de la
media).

12. Propiedades de la desviación típica
• Supongamos que dos conjuntos de N1 y N2
números tienen varianzas dadas por s12 y s22
respectivamente, y tienen la misma media
aritmética. Entonces la varianza combinada de
ambos conjuntos vendrá dada por
2
N1s12  N 2 s2
2
s 
N1  N 2
• Nótese que esto es una media aritmética
ponderada de las varianzas. El resultado admite
generalización a mas conjuntos