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Apostila:
Estruturas de dados e Arquivos
Ivre Marjorie R. Machado
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Linguagem de programação C++
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Índice
1- Registros
2- Alocação Dinâmica de Memória
3- Ponteiros
4- Análise de Complexidade
5- Técnicas de Análise de Algoritmos
6- Tipos Abstratos de dados (TAD)
7- TAD – Listas Encadeadas
8- TAD – Pilha
9- TAD – Fila
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Índice
10- Recursividade
11- TAD – Árvores
12- Balanceamento em Árvores
13- Pesquisa em Memória Primária Árvore
Binária de Busca
14- Pesquisa em Memória Primária Tabela Hash
15- Pesquisa Digital Árvore TRIE
16- Ordenação
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Registros
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Definição
• Registros são estruturas de dados capazes de
agregar várias informações
• É possível gerar novos tipos de dados, não se
limitando apenas à utilização dos tipos de
dados primitivos (char, int, float, double)
• Cada informação contida em um registro é
chamada de campo ou membro
5
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Definição
• Os campos podem ser de diferentes tipos
primitivos, ou mesmo podem representar
outros registros
Registros são conhecidos como
variáveis compostas heterogêneas
6
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Declaração de Registros
• São definidos por meio da utilização da
palavra struct, conforme apresentado:
struct nome_do_registro
{
tipo campo1;
tipo campo2;
...
tipo campon;
};
7
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Declaração de Registros
struct Aluno
{
char nome[255];
int idade, cel;
char endereco[300];
};
Palavra-chave Nome do Registro
chaves
Ponto-e-vírgula
Campos ou
Membros
8
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Declaração de Registros
• Definir uma estrutura não cria nenhuma
variável, somente informa ao compilador as
características de um novo tipo de dados
• Não há reserva de memória
• No exemplo, foi definido um novo tipo de
dado denominado Aluno
• A definição desse tipo pode vir antes da
função main() ou dentro dela
9
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Declaração de Variáveis do Tipo
Registro
• Para utilizar uma struct, é necessária a
declaração de variáveis desse tipo:
• Para o nosso exemplo:
nome_do_registro nome_da_variável;
Aluno alu1, alu2;
variáveisTipo de dado
10
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Declaração de Variáveis do Tipo
Registro
• A declaração reserva espaço de memória
suficiente para armazenar cada um dos
membros da estrutura (nome, idade, cel e
endereco) para a variável alu1 e alu2
• Também é possível declarar um vetor ou uma
matriz do tipo da estrutura, como:
Aluno alu[10], mat[2][3];
vetor matriz
11
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Acesso a Membros de Estruturas
• Após a variável ser declarada, o programa
precisa manipular o conteúdo de cada campo
individualmente
• Para isso, é preciso informar o nome da
variável e o do campo desejado, separados
por um ponto
nome_da_variável.nome_do_campo
ponto
12
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Acesso a Membros de Estruturas
• Para armazenar um determinado valor nas
variáveis do exemplo:
• Para armazenar um dado digitado pelo
usuário
strcpy(alu1.nome,”Maria”);
alu1.idade = 16;
gets(alu1.nome);
Cin<<alu1.idade;
13
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Exemplo 1
int main()
{
//nesse exemplo a estrutura foi criada dentro da main()
struct Aluno
{
char nome[255];
char endereco[300];
int idade, cel;
} alu1;
cout<<"nCadastro - Aluno 1: ";
cout<<"nDigite o nome: ";
gets(alu1.nome);
cout<<"nDigite o endereco: ";
gets(alu1.endereco);
cout<<"nDigite a idade: ";
cin>>alu1.idade;
cout<<"nDigite o celular: ";
cin>>alu1.cel;
14
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Exemplo 1
cout<<"n************* Cadastro realizado *************";
cout<<"nAluno 1 ";
cout<<"nNome: "<<alu1.nome;
cout<<"nIdade: "<<alu1.idade;
cout<<"nCel: "<<alu1.cel;
cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco;
cout<<"nFim do programa!"
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
15
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Exemplo 2
//nesse exemplo a estrutura foi criada fora da main()
struct Aluno
{
char nome[255];
char endereco[300];
int idade, cel;
};
int main()
{
Aluno alu1;
cout<<"nCadastro - Aluno 1: ";
cout<<"nDigite o nome: ";
gets(alu1.nome);
cout<<"nDigite o endereco: ";
gets(alu1.endereco);
cout<<"nDigite a idade: ";
cin>>alu1.idade;
cout<<"nDigite o celular: ";
cin>>alu1.cel;
16
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Exemplo 2
cout<<"n************* Cadastro realizado *************";
cout<<"nAluno 1 ";
cout<<"nNome: "<<alu1.nome;
cout<<"nIdade: "<<alu1.idade;
cout<<"nCel: "<<alu1.cel;
cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco;
cout<<"nFim do programa!"
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
17
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Declaração de Vetor do tipo Registro
• Pode-se criar vetores utilizando uma estrutura
de dados
• Alterando o exemplo para que sejam
armazenados os dados (nome, idade, cel,
endereco) de 10 alunos.
Aluno alu[10];
vetor
18
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Acesso a Membros com Vetor de
Estruturas
• Para preencher o vetor todo com 10 alunos
for(i=0; i<10; i++)
{
gets(alu1[i].nome);
cin<<alu1[i].idade;
}
Índice do vetor
19
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Exemplo 3
struct Aluno
{
char nome[255];
char endereco[300];
int idade, cel;
};
int main()
{
Aluno alu1[10];
int i;
for(i=0; i<10; i++)
{
cout<<"nCadastro - Aluno "<<i+1<<": ";
cout<<"nDigite o nome: ";
gets(alu1[i].nome);
cout<<"nDigite o endereco: ";
gets(alu1[i].endereco);
cout<<"nDigite a idade: ";
cin>>alu1[i].idade;
cout<<"nDigite o celular: ";
cin>>alu1[i].cel;
}
20
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Exemplo 3
for(i=0; i<10; i++)
{
cout<<"n*********** Cadastro realizado ************";
cout<<"nAluno "<<i+1;
cout<<"nNome: "<<alu1[i].nome;
cout<<"nIdade: "<<alu1[i].idade;
cout<<"nCel: "<<alu1[i].cel;
cout<<"nEndereco: "<<alu1[i].endereco;
}
cout<<"nFim do programa!";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
21
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Passando Registros para Funções
• As estruturas podem ser passadas como
parâmetros de funções da mesma maneira
que uma variável simples
• O nome de uma estrutura não é um endereço,
portanto, ela pode ser passada por valor
• O exemplo a seguir apresenta uma função que
recebe duas estruturas como parâmetro e
imprime os valores da soma de seus membros
22
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Exemplo 4
//A estrutura e a função estão antes da main()
struct Venda
{
int pecas;
float preco;
};
void listavenda(Venda c, Venda d)
{
cout<<"n**** Venda Total ****";
cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas);
cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas*c.preco) + (d.pecas*d.preco));
}
23
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Exemplo 4
int main()
{
Venda A, B;
cout<<"nVenda A";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>A.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>A.preco;
cout<<"nVenda B";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>B.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>B.preco;
listavenda(A,B);//chamada da função
cout<<"nFim do programa";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
24
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Passando Registros para Funções por
referência
• A sintaxe das passagem de estrutura para funções
por referência é a mesma da passagem de
variáveis simples por referência
• Como as estruturas, em geral, são dados que
ocupam uma grande quantidade de memória, é
conveniente que se use passagem de parâmetro
por referência
Usando referência não há criação de uma
cópia da variável na função
25
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Exemplo 5
//Alterando o exemplo anterior para que a função receba os parâmetros
//por referência
struct Venda
{
int pecas;
float preco;
};
void listavenda(Venda *c, Venda *d)
{
cout<<"n**** Venda Total ****";
cout<<"nTotal de pecas: "<<((*c).pecas+ (*d).pecas);
cout<<"nPreco total: "<<(((*c).pecas* (*c).preco)+((*d).pecas*
(*d).preco));
}
26
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Exemplo 5
int main()
{
Venda A, B;
cout<<"nVenda A";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>A.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>A.preco;
cout<<"nVenda B";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>B.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>B.preco;
listavenda(&A,&B);//chamada da função
cout<<"nFim do programa";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
27
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Exemplo 6
//Outra forma de passar a estrutura como parâmetros por referência
struct Venda
{
int pecas;
float preco;
};
void listavenda(Venda& c, Venda& d)
{
cout<<"n**** Venda Total ****";
cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas);
cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas * c.preco)+(d.pecas * d.preco));
}
28
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Exemplo 6
int main()
{
Venda A, B;
cout<<"nVenda A";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>A.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>A.preco;
cout<<"nVenda B";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>B.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>B.preco;
listavenda(A,B);//chamada da função
cout<<"nFim do programa";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
29
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Funções que retornam um Registro
• A linguagem C++ permite que as funções
retornem uma estrutura completa para outra
função, como o exemplo:
Venda novavenda()
{
Venda x;
cout<<"nVenda A";
cout<<"nInsira o numero de pecas: ";
cin>>x.pecas;
cout<<"nInsira o preco: ";
cin>>x.preco;
return x;
}
30
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Exercícios
1- Explique qual a diferença entre vetor e registro. Dê
exemplos.
31
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Exercícios
2- Foi realizada uma pesquisa de algumas características físicas
de 50 habitantes de uma certa região. De cada habitante
foram coletados os seguintes dados: sexo, altura, idade e cor
dos olhos (A - Azuis, V - Verdes ou C – Castanhos).
Faça um programa que leia esses dados e armazene-os em
um registro do tipo vetor. Em seguida, determine:
a) a média de idade das pessoas com olhos castanhos e
altura superior a 1.60 m
b) a maior idade entre os habitantes
c) a quantidade de indivíduos do sexo feminino cuja idade
esteja entre 20 e 45 anos (inclusive) ou que tenham
olhos verdes e altura inferior a 1.70 m
d) o percentual de homens
32
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Referência Bibliográfica
• ASCENCIO, Ana Fernanda Gomes e CAMPOS,
Edilene A. Veneruchi. Fundamentos da
Programação de Computadores – Algoritmos,
Pascal e C/C++. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2007. 2ª Edição. Capítulo 10.
• MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em
Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 1. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 7.
33
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Alocação Dinâmica de
Memória
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Definição
• Na declaração de um vetor é preciso
dimensioná-lo, ou seja, saber, de antemão,
quanto de espaço é necessário
– Prever o número máximo de elementos no vetor
durante a codificação
Ex.: Suponha que desejamos desenvolver um
programa para calcular a média e a variância
das notas de uma prova. Mas não sabemos
que o número máximo de alunos?
35
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Definição
• Solução:
– Dimensionar um vetor com um número
absurdamente alto, para não termos limitação no
momento da utilização do programa
– Essa solução pode levar a um desperdício de
memória ou uma limitação do número de alunos e
consequentemente do programa
36
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Definição
• A linguagem C oferece meios de requisitar
espaços de memória em tempo de execução
• Assim, voltando ao exemplo, é possível
consultar o número de alunos e então fazer a
alocação do vetor dinamicamente, sem de
desperdício de memória
Alocação dinâmica de memória
37
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Reserva de espaço de memória
Existem 3 maneiras de reservar espaço de memória:
1. Usar variáveis globais (e estáticas): o espaço
reservado existe enquanto o programa estiver sendo
executado
2. Usar variáveis locais: o espaço existe apenas
enquanto a função que declarou a variável está sendo
executada
3. Requisitar ao sistema, em tempo de execução, um
espaço de um determinado tamanho: Esse espaço
permanece reservado até que seja explicitamente
liberado pelo programa.
38
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Função Malloc()
• Biblioteca: stdlib.h
• A função básica para alocar memória é a
malloc()
• A função recebe como parâmetro o número
de bytes que se deseja alocar e retorna o
endereço inicial da área da memória alocada
– Dessa forma, é necessário o uso de um ponteiro
para receber o endereço inicial do espaço alocado
39
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Função Malloc()
• Exemplo: Alocação dinâmica de um vetor de
inteiros com 10 elementos:
int *v;
v = malloc(10 * 4);
Considerando que 1 inteiro
ocupa 4 bytes
40
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Função Malloc()
• Para ficarmos livres de compiladores e
máquinas, usamos o operador sizeof()
int *v;
v = malloc(10 * sizeof(int));
diz quantos bytes o tipo
especificado tem
41
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Função Malloc()
• Como malloc retorna um ponteiro genérico,
para um tipo qualquer, representado por void *
– que pode ser convertido para o tipo apropriado na
atribuição:
int *v;
v = (int *)malloc(10 * sizeof(int));
Conversão para o tipo int
42
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Função Malloc()
• Se não houver espaço livre suficiente para
realizar a alocação, a função retorna um
endereço nulo (NULL):
int *v;
v = (int *)malloc(10 * sizeof(int));
if( v == NULL)
{
cout<<“Memória insuficiente”;
exit(1); //aborta o programa e retorna 1
}
...
43
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Função Free()
• Biblioteca: stdlib.h
• A função básica para liberar um espaço de
memória alocado dinamicamente é a free()
• A função recebe como parâmetro o ponteiro
da memória a ser liberada
int *v;
v = (int *)malloc(10* sizeof(int));
...
Free(v); //libera espaço de memória
44
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Função Free()
• Só podemos passar para a função free() um
ponteiro (endereço) de memória que tenha
sido alocado dinamicamente
• Cuidado, pois não é possível acessar o espaço
da memória depois de liberado
45
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Exercícios
1- Explique a vantagem de usar alocação dinâmica de
memória. Use exemplos.
2- O que é alocação dinâmica de memória?
3- Como podemos liberar um espaço de memória alocado
dinamicamente?
46
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Exercícios
4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo.
int main ( )
{
int *A;
A = (int*)malloc(sizeof(int));
*A = 10;
cout<<"nvalor de A: "<<*A;
int *B;
B = A;
*B = 15;
cout<<"nvalor de B: "<<*B;
}
47
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Exercícios
5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo.
int main ( )
{
int *A;
A = (int*)malloc(sizeof(int));
*A = 10;
cout<<"nPrimeiro valor de A: "<<*A;
int *B;
B= (int*)malloc(sizeof(int));
*B = *A;
*B = 15;
cout<<"nvalor de B: "<<*B;
cout<<"nSegundo valor de A: "<<*A;
} 48
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Exercícios
6- Dado o código abaixo, indique o resultado do mesmo para cada
um dos valores de “*A”.
void main()
{
int *A;
A = (int*)malloc(sizeof(int));
*A = ??;
int *B;
B = (int*)malloc(sizeof(int));
*B = *A;
*B = 15;
cout<<"n "<<*B;
cout<<"n "<<*A;
}
*A = 10 Resposta:
(*A = _____ e *B = _____ )
*A = 35 Resposta:
(*A = _____ e *B = _____ )
• Substitua o valor do símbolo ‘??’ no
código por cada um dos valores
apresentados para *A abaixo. Em seguida,
mostre os resultados que serão impressos
na tela (*B e *A) para cada um dos
valores.
49
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Referência Bibliográfica
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
50
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Ponteiros
Ivre Marjorie R. Machado
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Definição
• Ponteiro é um endereço de memória
• Seu valor indica em que parte da memória do
computador uma variável está alocada, não o
que está armazenado nela
Ponteiro variável é um lugar na memória
que armazena o endereço de outra
variável
52
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Razões para usar ponteiros
• Receber parâmetros em funções que
necessitem modificar o parâmetro original
• Criar estruturas complexas, como listas
encadeadas e árvores binárias, em que um
item deve conter referência a outro
• Alocar e desalocar memória do sistema
• Passar para uma função o endereço de outra
53
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Ponteiros
• Dizemos que uma variável aponta para outra
variável quando a primeira contém o
endereço da segunda
• Endereço de memória: um endereço é a
referência que o computador usa para
localizar variáveis
– Toda variável ocupa uma certa localização na
memória e seu endereço é o do primeiro byte
ocupado por ela
54
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Declaração de Ponteiros
int *ptr;
Nome_ponteiroTipo de dado
int a, *ptr;
a = 5;
ptr = &a;
*ptr = 6;
112
ptr ->
108
a 5
104
Exemplo:
55
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Declaração de Ponteiros
int *ptr;
Nome_ponteiroTipo de dado
int a, *ptr;
a = 5;
ptr = &a;
*ptr = 6;
112
ptr -> 104
108
a 5
104
Exemplo:
56
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Declaração de Ponteiros
int *ptr;
Nome_ponteiroTipo de dado
int a, *ptr;
a = 5;
ptr = &a;
*ptr = 6;
112
ptr -> 104
108
a 6
104
Exemplo:
57
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Ponteiros
• Operador de endereços: &
• Acessa no endereço da posição da memória
reservada para a variável
int *ptr;
ptr = &a;
58
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Ponteiros
• Operador indireto: * (resulta no conteúdo /
valor da variável)
• Acessa o conteúdo de endereço de memória
armazenado
int *ptr;
*ptr = 6;
59
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Exemplo1 - Ponteiros
int main()
{
int x = 4, y =7;
int *px, *py;
cout<<"n &X= "<<&x<<" X= "<<x;
cout<<"n &Y= "<<&y<<" Y= "<<y;
cout<<"n";
px=&x;
py=&y;
cout<<"n PX= "<<px<<" *PX= "<<*px;
cout<<"n PY= "<<py<<" *PY= "<<*py;
cout<<"n";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
60
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Exemplo2 - Ponteiros
int main()
{
int x, y;
int *px=&x;
*px = 14;
y = *px;
cout<<"n y= "<<y;
cout<<"n x= "<<x;
cout<<"n";
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}
61
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Operações com Ponteiros
1. Atribuição:
2. Incrementando:
3. Diferença:
4. Comparações: usando os operadores ( >, <,
<=, >=, ==, != )
px = &x;
px++; px = py + 3;
px - py;
62
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Ponteiros para Estruturas
• Do mesmo modo que podemos declarar
variáveis do tipo estrutura:
Aluno alu;
struct Aluno
{
int mat;
char nome[255], curso[50];
};
63
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Ponteiros para Estruturas
• Podemos declarar variáveis do tipo ponteiro
para estrutura:
Aluno *palu;
palu-> mat nome curso
64
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Acesso aos campos da Estrutura
• Para acessar os campos da estrutura com um
ponteiro:
(*nome_ponteiro). Nome_campo
ponto
Os parênteses são indispensáveis, pois o operador
“*” tem precedência menor do que o operador de
acesso “.”
65
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Acesso aos campos da Estrutura
• Outra forma de acessar os membros é:
• E para acessar o endereço de um campo:
nome_ponteiro -> Nome_campo
&nome_ponteiro -> Nome_campo
66
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Alocação dinâmica de Estruturas
Aluno *palu;
palu = (Aluno*)malloc(sizeof(Aluno));
struct Aluno
{
int mat;
char nome[255], curso[50];
};
Estrutura Aluno criada
anteriormente
67
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Alocação dinâmica de Estruturas
• Após uma alocação dinâmica, podemos
acessar normalmente os campos da estrutura
com a variável ponteiro que armazena seu
endereço
68
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Exercícios
1- O que é um ponteiro?
2- Explique o que significa a instrução:
int *p;
3- Explique para que serve o operador & e o operador * nas
instruções abaixo:
a) p = &i;
b) *p = i;
69
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Exercícios
4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo.
int main()
{
int x=3, y=7;
int *px=&x;
*px = 12;
y = *px;
cout<<"n y= "<<y;
cout<<"n x= "<<x;
cout<<"n";
system("PAUSE");
} 70
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Exercícios
5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo.
int main()
{
int x=3, y=7;
int *px=&x, *py=&y;
y= 4;
cout<<"n *px= "<<*px;
cout<<"n *py= "<<*py;
cout<<"n";
system("PAUSE");
} 71
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Exercícios
6- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo.
void Troca (int *A, int B)
{
int temp;
temp = *A;
*A = B;
B = temp;
}
int main()
{
int x,y;
x = 5;
y = 3;
Troca(&x,y);
cout << x << endl << y;
getch();
}
72
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Referência Bibliográfica
• MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em
Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 2. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 11.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulos 4 e 8.
73
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Análise de Complexidade
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• O projeto de um algoritmo deve considerar o
desempenho que este terá após sua
implementação.
• Várias soluções podem surgir e aspectos de
tempo de execução e espaço ocupado são
pontos muito relevantes na escolha da
solução mais adequada.
75
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Introdução
• Analisar um algoritmo significa predizer os
recursos computacionais que o algoritmo requer
quando da sua execução: memória, largura de
banda de comunicação, hardware de
computação.
• Recurso mais considerado: tempo de
processamento.
• Em geral, existem vários algoritmos para
solucionar um mesmo problema e a análise é
capaz de identificar qual é o mais eficiente.
76
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Introdução
• A área de análise de algoritmos pode
considerar dois tipos de problemas distintos:
– Análise de um algoritmo em particular: custo para
a resolução de um problema específico.
– Análise de uma classe de algoritmos: um conjunto
de algoritmos para resolver um problema
específico é estudado, para determinar qual o
melhor.
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Introdução
• Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo
matemático) que represente o tempo de execução de
um algoritmo.
• Aspectos mais importantes da análise de tempo:
– quantidade de elementos a processar (tamanho da
entrada);
– forma como os elementos estão dispostos na entrada.
• Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n),
onde n é o tamanho da entrada.
• A função f deve expressar o número de operações
básicas, ou passos, executados pelo algoritmo.
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Introdução
• Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo
matemático) que represente o tempo de execução de
um algoritmo.
• Aspectos mais importantes da análise de tempo:
– quantidade de elementos a processar (tamanho da
entrada);
– forma como os elementos estão dispostos na entrada.
• Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n),
onde n é o tamanho da entrada.
• A função f deve expressar o número de operações
básicas, ou passos, executados pelo algoritmo.
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Introdução
A operação básica de maior freqüência de
execução no algoritmo é denominada
operação dominante ou operação
fundamental.
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Complexidade de Tempo
• A complexidade de tempo de um algoritmo
tem por objetivo avaliar sua eficiência.
• Para medir o custo de execução de um
algoritmo comum definir uma função de custo
ou função de complexidade f, em que f(n) é a
medida do tempo necessário para executar
um algoritmo para um problema de tamanho
n
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Complexidade de Tempo
• A complexidade de tempo de um algoritmo
tem por objetivo avaliar sua eficiência.
• Para medir o custo de execução de um
algoritmo comum definir uma função de custo
ou função de complexidade f, em que f(n) é a
medida do tempo necessário para executar
um algoritmo para um problema de tamanho
n.
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Complexidade de Tempo
• Função de complexidade de tempo do
algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade
do tempo necessário para executar um algoritmo
de tamanho n
• Função de complexidade de espaço do
algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade
de memória necessária para executar um
algoritmo de tamanho n
83
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Complexidade de Tempo
• Melhor caso: corresponde ao menor tempo
de execução sobre todas as possíveis entradas
de tamanho n
• Caso médio (ou caso esperado): corresponde
à média dos tempos de execução de todas as
entradas de tamanho n
• Pior caso: corresponde ao maior tempo de
execução sobre todas as possíveis entradas de
tamanho n
84
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Exemplo1
• Seja f uma função de complexidade tal que f(n) é
o número de registros consultados no arquivo, isto
é, o número de vezes que a chave de consulta é
comparada com a chave de cada registro.
Os casos a considerar são:
Melhor caso: f(n) = 1
Pior caso: f(n) = n
Caso médio: f(n) = (n+1)/2
85
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Exemplo2
Considere o problema de encontrar o maior e o menor
elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1
void calculaMaxMin1(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
86
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Exemplo2
Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de
complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre
os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos
que:
f(n) = 2(n-1), para n > 0
Esse programa pode ser facilmente melhorado.
Basta observar que a comparação vet[i] < min
somente é necessária quando o resultado da
comparação vet[i] > max é falso.
87
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Exemplo2 – Nova versão
void calculaMaxMin2(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
else if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
88
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Exemplo2 – Nova versão
void calculaMaxMin2(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
else if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
Melhor caso: f(n) = n-1
Pior caso: f(n) = 2(n-1)
Caso médio: f(n) = 3n/2-3/2
89
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Exemplo2 – Nova versão
void calculaMaxMin(int vet[], int
n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
else if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
90
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Comportamento Assintótico de
Funções
• O nº de comparações para encontrar o maior
elemento de um conjunto de n inteiros, ou
para ordenar os elementos de um conjunto
com n elementos, aumenta com n
• Parâmetro n fornece uma medida da
dificuldade para se resolver o problema
– O custo para obter uma solução para um dado
problema aumenta com o tamanho de n do
problema
91
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Comportamento Assintótico de
Funções
• Para valores suficientemente pequenos de n,
qualquer algoritmo custa pouco para ser
executado, mesmo os algoritmos ineficientes
– Para problemas de tamanho pequeno a escolha
do algoritmo não é um problema crítico
– A análise de algoritmos é realizada apenas para
valores grandes de n
– A análise de um algoritmo geralmente conta com
apenas algumas operações elementares, e em
muitos casos com uma operação elementar
92
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Notação Assintótica
• Passos:
1. Identificar o termo dominante da expressão que
descreve sua complexidade, ou seja, descreve a
ordem de crescimento assintótico desta
expressão.
2. Obter uma função que é um limitante superior
assintótico para a nossa expressão, isto é, para
instâncias arbitrárias de tamanho n podemos
resolver o problema em tempo menor ou igual a
O(n).
93
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Notação O(f(n))
f(n) = O(1)
Complexidade constante, ou seja, independe do
tamanho da entrada n. As instruções são
executadas um número fixo de vezes
f(n) = O(log n)
Complexidade sub-linear ou logarítmica, ocorre
geralmente em problemas que dividem-se em
problemas menores em sua resolução
f(n) = O(n)
Complexidade linear, ou seja, quando um
pequeno trabalho é realizado sobre os
elementos de entrada n. Esta situação é boa
para algoritmos que tenham entrada e saída n.
94
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Notação O(f(n))
f(n) = O(n log n)
Esta complexidade geralmente acontece com
algoritmos que separam o problema em
menores e unem as resoluções depois de
encontrá-las.
f(n) = O(n^2)
Complexidade quadrática, ou seja, quando
itens são processados aos pares, geralmente
quando temos um anel dentro do outro.
f(n) = O(2^n)
Complexidade exponencial. São algoritmos
péssimos em ponto de vista prático.
Geralmente são algoritmos utilizados para
resolução de problemas na força bruta.
95
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Notação O(f(n))
f(n) = O(n!)
Complexidade fatorial. São algoritmos
piores que os exponenciais. Péssimos na
prática e resultado de aplicação d e força
bruta, não são recomendados para
resolução de problemas.
96
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Notação Assintótica
• A tabela de classes de problemas está ordenada de
maneira crescente
• Para compararmos dois algoritmos, é necessário saber
primeiro a qual classe pertencem ao algoritmos.
– Se forem de classe diferentes s comparação fica fácil,
seguindo a ordem da tabela.
– Se forem da mesma classe, deverão ser comparados
por suas funções reais de complexidade de tempo,
lembrando que o caso comparado deve ser o mesmo
(ex. pior caso com pior caso)
97
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Função
de custo
Tamanho n
10 20 30 40 50 60
n 0,00001 s 0,00002
s
0,00003
s
0,00004
s
0,00005
s
0,00006
n² 0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0035 s 0,0036 s
n³ 0,001 s 0,008 s 0,027 s 0,64 s 0,125 s 0,316 s
n⁵ 0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 min 5,2 min 13 min
2^n 0,001 s 1 s 17,9 min 12,7 dias 35,7
anos
366 séc.
3^n 0,059 s 58 min 6,5 anos 3855
séc.
10⁸ séc. 10¹³ séc.
Comparação de funções de
complexidades
98
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Trabalho de Pesquisa
• Fazer uma pesquisa sobre:
– Problemas P
– Problemas NP
– Problemas NP-completos
• Conceitue cada um. Dê exemplos.
• Não esqueça de colocar as referências usadas.
• Entregar impresso dia (06/09/2012).
• Pode ser feito em dupla.
99
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller
(http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/
pg_aedii)
100
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Técnicas de Análise de
Algoritmos
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• A análise de algoritmos ou programas utiliza
técnicas de matemática discreta, envolvendo
contagem ou enumeração dos elementos de
um conjunto que possuam propriedade
comum:
– Manipulação de somas, produtos, permutações,
fatoriais, coeficientes binomiais, solução de
equações de recorrência, entre outras.
102
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Introdução
• Infelizmente não existe um conjunto completo
de regras para analisar programas.
• Dessa forma, algumas dessas técnicas serão
ilustradas informalmente com exemplos.
103
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Introdução
• Complexidade de tempo da maioria dos problemas é
polinomial ou exponencial.
– Polinomial: função de complexidade é O (p(n)) , onde p(n)
é um polinômio.
• Exemplos: pesquisa binária (O (log n)), pesquisa
seqüencial ( O (n)), ordenação por inserção (O (n²)), e
multiplicação de matrizes (O (n³)).
– Exponencial: função de complexidade é O (c^n), c> 1.
• Exemplo:Problema do Caixeiro Viajante(PCV) (O (n!)).
104
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Complexidade
• O(1) ou constante
• O(log n) ou logaritímica
• O(n) ou linear
• O(n log n) ou n log de n
• O(n²) ou quadrática
• O(n³) ou cúbica
• O(n!) ou fatorial
Maior
Complexidade
105
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Notação O
• Algumas regras:
106
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Notação O
107
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Notação O
108
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Notação O - Exemplos
• f(n) = 403 = O(1)
• f(n) = 5 + 2 logn + 3 log²n = O(log²n)
• f(n) = 5 + 2 logn + 3n = O(n)
• f(n) = 5*2^n + 5n^10 = O(2^n)
• f(n) = n² - 1 = O(n²)
• f(n) = n³ - 1 = O(n³)
• f(n) = 3n + 5 logn + 2 = O(n)
109
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Complexidade de algumas estruturas
de controle
• Regras rígidas sobre o cálculo da complexidade
de qualquer algoritmo não existem, cada caso
deve ser estudado em suas condições.
• No entanto, as estruturas de controle clássicas
da programação estruturada permitem uma
estimativa típica de cada uma.
• A partir disso, algoritmos construídos com
combinações delas podem ter sua
complexidade mais facilmente estabelecida.
110
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• Comando simples : tem um tempo de
execução constante, O(c) = O(1).
• Seqüência: tem um tempo igual à soma dos
tempos de cada comando da seqüência; se
cada comando é O(1), assim, também será a
seqüência; senão, pela regra da soma, a
seqüência terá a complexidade do comando
de maior complexidade.
• Alternativa : qualquer um dos ramos pode ter
complexidade arbitrária; a complexidade
resultante é a maior delas; isto vale para
alternativa dupla (if-else) ou múltipla (switch).
111
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• Repetições
• Repetição contada: é aquela em que cada iteração
(ou “volta”) atualiza o controle mediante uma
adição(geralmente, quando se usa uma estrutura do
tipo for, que especifica incremento/decremento
automático de uma variável inteira).
• Se o número de iterações é independente do tamanho
do problema, a complexidade de toda a repetição é
a complexidade do corpo da mesma, pela regra da
constante (ou pela regra da soma de tempos).
for (i=0; i<k ; i++)
trecho com O(g(n))
se k não é
f(n)então o
trecho é O(g(n))
112
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• Se o número de iterações é função de n, pela regra do
produto teremos a complexidade da repetição como
a complexidade do corpo multiplicada pela função que
descreve o número de iterações. Isto é:
for (i=0; i<10 ; i++)
{
x = x+v;
printf (“%d”, x);
}
isto é O(1), logo
toda a repetição é
O(1)
113
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for (i=0; i<n; i++)
trecho com O(g(n))
como o número de
iterações é f(n)=n
então o trecho é
O(n*g(n))
for (i=0; i<k*n ; i++)
trecho com O(log n)
o trecho é O(f(n)*g(n)),
no caso O(k*n*log n),
ou seja: O(n log n)
Exemplo:
114
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• Uma aplicação comum da regra do produto é a
determinação da complexidade de repetições aninhadas.
• Exemplo:
• Exemplo:
for (i=0; i<n ; i++)
for (j=0; j<n ; j++)
trecho com O(1)
o trecho é
O(f(n)*g(n)), no caso
g(n)=n*1 (laço
interno); logo,
O(n*n), ou seja:
O(n²)
for (i=1; i<=n ; i++)
for (j=1; j<=i ; j++)
trecho com O(1)
o laço interno é
executado 1+2+3+...n-1
+n=n*(n+1)/2 vezes,
logo, O(n*(n+1)/2), ou
seja: O(0.5(n²+n)) ou
seja O(n²)
115
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for (i=1; i<=n ; i++)
for (j=n; i<=j ; j--)
trecho com O(1)
o laço interno é
executado n+n-1+n-
2+...+2+1=n*(n+1)/2
vezes, ou seja: O(n²)
como no caso anterior
• Os dois últimos exemplos podem ser
generalizados para quaisquer aninhamentos de
repetições contadas em k níveis, desde que todos
os índices dependam do tamanho do problema.
Nesse caso, a complexidade da estrutura aninhada
será da ordem de n ^ k.
116
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for (IndExt=1; IndExt<=n ; IndExt++)
for (IndMed=IndExt; IndMed<=n ; IndMed++)
for (IndInt=1; IndInt<=IndMed; IndInt++)
trecho com O(1)
o laço mediano é executado n+n-1+n-2+...
+2+1=(n²+n)/2 vezes; o laço mais
interno será executado no máximo n vezes; logo,
tem-se O((n²+n)*n), ou seja: O(n³)
117
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• Repetições
• Repetição multiplicativa: é aquela em que cada
iteração atualiza o controle mediante uma
multiplicação ou divisão.
limite=1;
while (limite<=n)
{
trecho com O(1)
limite = limite*2;
}
o número de iterações
depende de n; limite vai
dobrando a cada iteração;
depois de k iterações,
limite = 2^k e k = log2
limite; como o valor
máximo de limite é n,
então o trecho é O(log2n)
= O(log n)
OBS: Na verdade O(log n) independe da base do logaritmo, pois
logan = logab*logbn = c*logbn.
118
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int limite;
for (limite=n; limite!=0; limite /=2)
trecho com O(1)
o número de iterações depende de n; limite vai-se subdividindo a cada
iteração; depois de k=log2n iterações, encerra; então o trecho é O(log n)
• Os dois exemplos anteriores também podem ser
generalizados, adotando-se um fator genérico de
multiplicação fator. Nesse caso, o número de
iterações será dado por k = logfatorlimite = O(logf(n)),
se o limite é função de n.
119
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int limite=n;
while (limite!=0)
{
for (i=1; i<=n; i++)
trecho com O(1)
limite = limite/2;
}
o número de iterações
depende de n; limite vai-se
subdividindo a cada iteração;
o laço interno é O(n), o
externo O (log n);
logo, o trecho é O (n log n)
Exemplo:
120
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• Chamada de função: Pode ser resolvida considerando-
se que a função também tem um algoritmo com sua
própria complexidade. Esta é usada como base para
cálculo da complexidade do algoritmo invocador. Por
exemplo: se a invocação estiver num ramo de uma
alternativa, sua complexidade será usada na
determinação da máxima complexidade entre os dois
ramos; se estiver no interior de um laço, será
considerada no cálculo da complexidade da seqüência
repetida, etc.
• A questão se complica ao se tratar de uma chamada
recursiva.
121
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• Embora não haja um método único para esta
avaliação, em geral a complexidade de um algoritmo
recursivo será função de componentes como: a
complexidade da base e do núcleo da solução e a
profundidade da recursão. Por este termo entende-se
o número de vezes que o procedimento é invocado
recursivamente. Este numero, usualmente, depende
do tamanho do problema e da taxa de redução do
tamanho do problema a cada invocação. E é na sua
determinação que reside a dificuldade da análise de
algoritmos recursivos.
122
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• Exemplo:
int fatorial (int n)
{
if (n==0)
return 1; // Base
else
return n*fatorial(n- 1); //Núcleo
}
• A redução do problema se faz de uma em uma unidade, a cada
reinvocação do procedimento, a partir de n, até alcançar n = 0.
Logo, a profundidade da recursão é igual a n. O núcleo da solução
(que é repetido a cada reinvocação) tem complexidade O(1), pois
se resume a uma multiplicação. A base tem complexidade O(1),
pois envolve apenas uma atribuição simples. Nesse caso, conclui-se
que o algoritmo tem um tempo T(n) = n*1+1 = O(n). 123
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Exemplo
• Considere um algoritmo recursivo, nesse caso
é necessário obter uma equação de
recorrência (maneira de definir uma função
por uma expressão envolvendo a mesma
função)
• O exemplo a seguir inspeciona n elementos de
um conjunto e permite descartar 2/3 dos
elementos e então fazer uma chamada
recursiva sobre os n/3 elementos restantes
124
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Exemplo 1- Algoritmo recursivo
void pesquisa(int n)
{
if(n<=1)
{
cout<<"Inspeciona o elemento e termina";
}
else
{
cout<<"nPara cada um dos n elementos -
inspecione o elemento";
pesquisa(n/3);
}
}
125
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Exemplo 1- Algoritmo recursivo
void pesquisa(int n)
{
if(n<=1)
{
cout<<"Inspeciona o elemento e termina";
}
else
{
cout<<"nPara cada um dos n elementos -
inspecione o elemento";
pesquisa(n/3);
}
}
Para esse
exemplo, a
complexidade
será O(n),
Complexidade
linear.
126
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Exemplo
• Considere o algoritmo para ordenar n
elementos de um vetor v cujo princípio é o
seguinte:
1. Selecione o menor elemento do vetor
2. Troque esse elemento com o primeiro elemento
do v[0]
3. A seguir, repita essas duas operações com os n-1
elementos restantes, depois com os n-2
elemento, até que reste apenas um elemento
127
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Exemplo 2- Programa para ordenar
128
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Exemplo 2- Programa para ordenar
O número n de
elementos
representa o
tamanho da
entrada de dados.
129
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Exemplo 2- Programa para ordenar
O programa
contém dois anéis,
um dentro do
outro.
130
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Exemplo 2- Programa para ordenar
Devemos começar a
análise pelo anel
interno. Nesse anel
temos um comando
de decisão que, por
sua vez, possui
apenas um
comando de
atribuição.
131
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Exemplo 2- Programa para ordenar
O comando de
atribuição leva um
tempo constante
para ser executado,
assim como a
avaliação da
condição do
comando de
decisão.
132
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Exemplo 2- Programa para ordenar
Não sabemos se o
corpo do comando
de decisão será
executado ou não:
nessas situações
devemos considerar
o pior caso, isto é,
assumir que a linha
10 sempre será
executada.
133
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Exemplo 2- Programa para ordenar
O tempo para
incrementar o índice
do anel e avaliar sua
condição de
terminação também é
O(1), e o tempo
combinado para
executar uma vez o
anel composto pelas
linhas de 6 a 11 é
O(max(1,1,1)) = O(1),
conforme a regra da
soma para notação O.
134
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Exemplo 2- Programa para ordenar
Como o número de
iterações do anel é n-i,
então o tempo gasto
no anel é O(( n-i ) * 1)
= O( n-i ), conforme
regra do produto.
135
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Exemplo 2- Programa para ordenar
O corpo do anel mais
externo contém, além
do anel interno, os
comandos de
atribuição nas linhas
5, 13, 14 e 15. Logo, o
tempo de execução
das linhas de 5 a 15 é
O(max(1,(n-i),1,1,1)) =
O(n-i).
136
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Exemplo 2- Programa para ordenar
A linha 3 é executada n-
1 vezes, e o tempo total
para executar o
programa está limitado
ao produto de uma
constante pelo
somatório de (n – i) a
saber:
137
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Exemplo 2- Programa para ordenar
)(
222
)1(
)( 2
21
1
nO
nnnn
in
n
i





138
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Complexidade de Tempo
• Melhor caso: corresponde ao menor tempo
de execução sobre todas as possíveis entradas
de tamanho n
• Caso médio (ou caso esperado): corresponde
à média dos tempos de execução de todas as
entradas de tamanho n
• Pior caso: corresponde ao maior tempo de
execução sobre todas as possíveis entradas de
tamanho n
139
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Exemplo3
Considere o problema de encontrar o maior e o menor
elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1
void calculaMaxMin1(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
140
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Exemplo3
Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de
complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre
os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos
que:
f(n) = 2(n-1), para n > 0
Esse programa pode ser facilmente melhorado.
Basta observar que a comparação vet[i] < min
somente é necessária quando o resultado da
comparação vet[i] > max é falso.
141
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Exemplo4 – Nova versão
void calculaMaxMin2(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
else if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
142
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Exemplo4 – Nova versão
void calculaMaxMin2(int vet[], int n)
{
int max = vet[0], min = vet[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(vet[i]>max)
max = vet[i];
else if(vet[i]<min)
min = vet[i];
}
}
Melhor caso: f(n) = n-1
Pior caso: f(n) = 2(n-1)
Caso médio: f(n) = (3n-3)/2
Melhor caso: o
vetor está
ordenado
crescente e no
pior caso está
ordenado
decrescente
143
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller
(http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/
pg_aedii)
144
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Tipos Abstratos de dados
(TAD)
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• TAD: Tipos Abstratos de Dados
• Ideia central: encapsular (esconder) de quem
usa um determinado tipo a forma concreta
com que ele foi implementado
146
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TAD - Exemplo
• Se criarmos um tipo para representar um ponto
no espaço, um cliente desse tipo usa-o de forma
abstrata, com base apenas nas funcionalidades
oferecidas pelo tipo
• A forma com que ele foi efetivamente
implementado (armazenando cada coordenada
num campo ou agrupando todas num vetor)
passa a ser um detalhe de implementação, que
não deve afetar o uso do tipo nos mais diversos
contextos
147
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Modularização
• Vantagens:
– desacoplamos a implementação do uso
– facilitamos a manutenção
– aumentamos o potencial de reutilização do tipo
criado
– a implementação do tipo pode ser alterada sem
afetar seu uso em outros contextos.
• Modularização: divisão de um programa em
vários arquivos-fontes.
148
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Modularização
• Um módulo agrupa vários tipos e funções com
funcionalidades relacionadas, caracterizando
assim uma finalidade bem definida.
• Se um módulo definir um novo tipo de dado e
o conjunto de operações para manipular
dados desse tipo, dizemos que o módulo
representa um tipo abstrato de dados (TAD)
149
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Interface - TAD
• A interface de um TAD consiste:
– Na definição do nome do tipo e do conjunto de
funções exportadas para sua criação e
manipulação
150
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Exemplo 1 – TAD Ponto
• Operações:
– Cria: operação que cria um ponto com coordenadas x
e y
– Atribui: operação que atribui novos valores às
coordenadas de um ponto
– Distancia: operação que calcula a distância entre dois
pontos
– Libera: operação que libera a memória alocada por
um ponto
• Interface: arquivo ponto.h
151
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Exemplo 2 – TAD Circulo
• Operações:
– Cria: operação que cria um circulo com centro
(x,y) e raio r
– Area: operação que calcula a area do circulo
– Interior: operação que verifica se um dado ponto
está dentro do circulo
– Libera: operação que libera a memória alocada
por um circulo
• Interface: arquivo circulo.h
152
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007. Capítulo 1.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 9.
153
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TAD – Listas Encadeadas
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• O vetor não é estrutura muito flexível, pois
precisamos dimensioná-lo com um número
máximo de elementos
– Complexidade das funções para inserir e remover
usando vetor em um tempo linear é O(n)
• Solução: utilizar estruturas de dados que cresçam
conforme precisamos armazenar novos
elementos
– E diminuam a medida que retiramos elementos
armazenados
155
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Introdução
• Essas estruturas são chamadas dinâmicas e
armazenam cada um dos seus elementos por
alocação dinâmica
– Complexidade para inserir e remover: O (1)
• A primeira estrutura a ser estudada é a lista
encadeada
• As listas encadeadas são amplamente
utilizadas para implementar diversas outras
estruturas de dados com semânticas próprias
156
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Introdução
• Tipos de listas:
–Listas Simplesmente Encadeadas
–Listas Circulares
–Listas Duplamente Encadeadas
157
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Lista Linear Encadeada
158
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Lista Linear Encadeada
• Para cada novo elemento inserido na estrutura
=> alocamos um espaço de memória para
armazená-lo
• Assim, o espaço total de memória gasto pela
estrutura é proporcional ao número de
elementos armazenados
• Não podemos garantir que os elementos
armazenados na lista ocuparão um espaço
contíguo de memória
– Portanto, não temos acesso direto aos elementos da
lista
159
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Lista Linear Encadeada
• Exemplos de listas:
 Lista Telefônica
 Lista de clientes de uma agência bancária
 Lista de setores de disco a serem acessados por
um sistema operacional
 Lista de pacotes a serem transmitidos em um nó
de uma rede de computação de pacotes
160
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Lista Linear Encadeada
• Para percorrer todos os elementos da lista,
devemos explicitamente guardar o seu
encadeamento
Isso é feito armazenando-se junto
com a informação de cada
elemento, um ponteiro para o
próximo elemento da lista
161
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Lista Linear Encadeada
Info1 Info2 Info3
prim
NULL
162
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Lista Linear Encadeada
• Estrutura:
– Consiste em uma sequência encadeada de
elementos, em geral chamados nós (nodos) da
lista
– Um nó da lista é representado por um estrutura
que contém dois campos: a informação
armazenada e o ponteiro para o próximo
elemento da lista
163
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Lista Linear Encadeada
• A lista é representada por um ponteiro para o
primeiro elemento (ou nó)
• Do primeiro elemento, podemos alcançar o
segundo, seguindo o encadeamento, e assim
por diante
• O último elemento da lista possui um ponteiro
para inválido, com valor NULL e sinaliza que
não existe um próximo elemento
164
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Exemplo – Lista Encadeada
struct nodo
{
int valor;
nodo* prox;
};
valor prox
165
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Principais Operações
Lista Encadeada
1. Função Inserir na Lista
2. Função Imprime os elementos da Lista
3. Função Verifica se a Lista está vazia
4. Função Remover um elemento da Lista
166
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1- Função Inserir na Lista
• Uma vez criada a lista vazia, podemos inserir
nela novos elementos
• Para cada elemento inserido, devemos alocar
dinamicamente a memória necessária para
armazenar o elemento e encadeá-lo na lista
existente
• Parâmetros para a função: o ponteiro para a
lista e o valor/ informação do novo elemento
167
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1- Função Inserir na Lista
• A função inserir na lista pode:
– Inserir um novo elemento no fim da lista, fazendo
que o último elemento aponte para NULL,
– Inserir no início da lista fazendo com que o prim
(primeiro ponteiro) aponte para esse novo
elemento.
168
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2- Função Imprime os elementos
• Essa função percorre todos os elementos da
Lista e imprime os valores dos elementos
armazenados na lista
• Usamos uma variável auxiliar que é um
ponteiro (aux) que aponta para cada uma das
estruturas até chegar no NULL
169
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3- Função Verifica se a Lista está vazia
• Essa função pode ser útil e utilizada em outras
funções
• A função recebe a lista e retorna 1 se estiver
vazia ou 0 se não estiver vazia
• Uma lista está vazia se seu valor é NULL
170
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3- Função Verifica se a Lista está vazia
int ListaVazia(nodo * primeiro)
{
if(primeiro == NULL)
return 1;
else
return 0;
}
171
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4- Função Remover um elemento
• Parâmetros: lista e o valor do elemento que
desejamos remover da lista
• Função mais complexa
• Se o elemento a ser retirado for o primeiro da
lista: devemos fazer
172
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Lista Circular
173
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Listas Circulares
• Algumas aplicações necessitam representar
conjuntos cíclicos
• Estrutura: o último elemento tem como
próximo o primeiro elemento da lista, o que
forma um ciclo
• Nesse caso nem faz sentido em falar em
primeiro ou último elemento já que é um ciclo
– dessa forma, a lista pode ser representada por
um ponteiro para um elemento inicial qualquer
174
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Lista Circular
Info1 Info2 Info3
prim
175
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Função Imprime elementos
Lista Circular
• Para percorrer os elementos de uma lista
circular é necessário visitar todos os
elementos a partir de um ponteiro do
elemento inicial até alcançar novamente esse
mesmo elemento
176
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Função Imprime elementos
Lista Circular
void imprimeListaCircular(nodo* primeiro)
{
nodo* aux = primeiro;
if(aux != NULL)
{
do{
cout<<prim->valor;
aux = aux -> prox;
}while (aux != primeiro);
}
}
177
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Lista Duplamente Encadeada
178
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Listas Duplamente Encadeada
• A lista encadeada vista anteriormente,
também chamada Lista Simplesmente
Encadeada (LSE), caracteriza-se por formar um
encadeamento simples entre os elementos:
–Cada elemento armazena um ponteiro para
o próximo elemento da lista
179
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Listas Duplamente Encadeada
• Problemas da LSE:
– não conseguimos percorrer eficientemente os
elementos em ordem inversa (do final para o
início da lista)
– O encademento simples também dificulta a
retirada de um elemento da lista, pois não temos
um ponteiro para o elemento anterior ao ser
retirado
180
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Listas Duplamente Encadeada
• Solução: Listas duplamente encadeadas
• Nessas listas, cada elemento tem um ponteiro
para o próximo e um ponteiro para o
elemento anterior
• Assim, dado um elemento, podemos acessar
os dois elementos adjacentes: o próximo e o
anterior
181
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Listas Duplamente Encadeada
Info1 Info2 Info3
prim
Ou
NULL
182
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Exemplo – Lista Duplamente
Encadeada
struct nodo2
{
int valor;
nodo* ant;
nodo* prox;
};
ant valor prox
183
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Principais Operações
Lista Duplamente Encadeada
1. Função Inserir na Lista
2. Função Remover um elemento da Lista
3. Função Buscar elemento na Lista
184
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Função Remover Elemento da
Lista Duplamente Encadeada
• A função fica mais complicada, pois é
necessário acertar o encadeamento duplo
– Em contrapartida, podemos retirar um elemento
da lista se conhecermos apenas o ponteiro para
esse elemento
185
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Função Remover Elemento da
Lista Duplamente Encadeada
• Se p representa o ponteiro do elemento que
desejamos retirar, para acertar o
encadeamento devemos conceitualmente
fazer:
p-> ant-> prox = p-> prox;
p-> prox -> ant = p-> ant;
Isto é, o anterior passa a apontar para o próximo, e
o próximo passa a apontar para o anterior 186
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Função Remover Elemento da
Lista Duplamente Encadeada
• Se p aponta para um elemento no meio da
lista: as duas atribuições são suficientes para
acertar o encadeamento
• Se p aponta para um elemento no extremo da
lista:
– Se p for o último elemento, o elemento anterior
deverá apontar para NULL quando p for removido
– Se p for o primeiro elemento, o ponteiro para o
primeiro deverá apontar para o próximo elemento
187
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Exercícios
1- Implemente as principais operações para o TAD
lista simplesmente encadeada
2- Implemente as principais operações para o TAD
lista duplamente encadeada
188
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Exercícios
3- Analise a estrutura “no” e o procedimento “abcd”:
189
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Exercícios
Sabendo-se que as variáveis “prim” e “ult” são,
respectivamente, ponteiros para o início e o final de
uma lista simplesmente encadeada com 5 elementos, o
procedimento “abcd” é utilizado para:
[A] incluir um elemento no final da lista.
[B] excluir o último elemento da lista.
[C] incluir um elemento no início da lista.
[D] excluir o primeiro elemento da lista.
190
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Exercícios
4- Marque (certo) ou (errado):
a) (CESPE - 2008 - TRT - 5ª Região (BA) - Técnico Judiciário -
Tecnologia da Informação )
A principal característica de uma lista encadeada é o fato de
o último elemento da lista apontar para o elemento
imediatamente anterior.
b) (CESPE - 2009 - ANAC - Técnico Administrativo -
Informática)Em uma lista circular duplamente encadeada,
cada nó aponta para dois outros nós da lista, um anterior e
um posterior.
191
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Exercícios
(Poscomp-2011)
( ) Uma lista permite que as inserções possam ser feitas em
qualquer lugar (posição), mas as remoções, não.
( ) Em uma lista circular com encadeamento simples, o
primeiro elemento aponta para o segundo e para o último.
( ) Para remover um elemento de uma lista duplamente
encadeada, deve-se alterar o encadeamento dos elementos
anterior e próximo ao elemento removido.
192
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 10.
193
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TAD – Pilha
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
195
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Introdução
• Uma das Estrutura de dados mais simples é a
PILHA
– Por isso, é a mais utilizada em programação
Principal ideia: todo acesso a seus
elementos é feito a partir do topo
196
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Introdução
• Quando um novo elemento é introduzido na
pilha, ele passa a ser o elemento do topo
• O único elemento que pode ser removido da
pilha é o do topo
• Os elementos da pilha só podem ser retirados
na ordem inversa à ordem em que foram
introduzidos: o primeiro que sai é o último
que entrou (LIFO – Last in, first out)
197
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Introdução
• Operações Básicas:
1. Operação empilhar (push):
– inseri um novo elemento no topo da pilha
2. Operação desempilhar (pop):
– remove um elemento do topo da pilha
198
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Funcionamento da Pilha
a
push (a)
topo
199
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Funcionamento da Pilha
a
push (a)
topo
b
a
push (b)
topo
200
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Funcionamento da Pilha
a
push (a)
topo
b
a
push (b)
topo
c
b
a
push (c)
topo
201
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Funcionamento da Pilha
c
b
a
topo
pop ()
desempilha o c
b
a
topo
202
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Funcionamento da Pilha
c
b
a
push (a)
topo
pop ()
desempilha o c
b
a
topo
a topo
pop ()
desempilha o b
203
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Exemplo - Pilha
• O exemplo mais próximo é a própria pilha de
execução da linguagem C
– As variáveis locais das funções são
dispostas em uma pilha, e uma função só
tem acesso às variáveis da função que está
no topo
• Não é possível acessar as variáveis da função
locais às outras funções
204
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Implementação de pilha com lista
struct Lista
{
float valor;
Lista* prox;
};
struct Pilha
{
Lista* topo;
};
205
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Pilha* cria_pilha(void)
{
Pilha* p = (Pilha*)malloc(sizeof(Pilha));
p->topo = NULL;
return p;
}
void push_pilha(Pilha* p, float num)
{
Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista));
n->valor = num;
n->prox = p->topo;
p->topo = n;
}
int pilha_vazia(Pilha* p)
{
return (p->topo == NULL);
} 206
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float pop_pilha(Pilha* p)
{
Lista* t;
float v;
if(pilha_vazia(p))
{
cout<<"n Pilha vazia";
exit(1);
}
else
{
t = p->topo;
v = t->valor;
p->topo = t->prox;
free(t);
return v;
}
} 207
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void libera_pilha(Pilha* p)
{
Lista* q = p->topo;
while(q != NULL)
{
Lista* t = q->prox;
free(q);
q = t;
}
free(p);
}
void imprime_pilha(Pilha* p)
{
Lista* q;
for(q=p->topo; q!=NULL; q=q->prox)
{
cout<<"n "<<q->valor;
}
} 208
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int main()
{
Pilha* pi = cria_pilha();
push_pilha(pi,2);
push_pilha(pi,4);
push_pilha(pi,1);
imprime_pilha(pi);
getch();
system("cls");
pop_pilha(pi);
imprime_pilha(pi);
getch();
}
209
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Exercícios
1- Faça uma função que retorne a quantidade de
elementos (tamanho) de uma pilha.
2- Faça uma função para concatenar duas pilhas, essa
função deve receber as pilhas como parâmetro
(observe a imagem).
2.1
4.5
1.0
P1 – topo -> 7.2
3.1
9.8
P2 – topo ->
7.2
3.1
9.8
2.1
4.5
1.0
P1 – topo ->
concatena
210
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 11.
211
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TAD – Fila
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
213
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Introdução
• Outra Estrutura de dados bastante usada na
computação é a FILA
• O que a diferencia da pilha é a ordem de saída
dos elementos: enquanto na pilha “o último
que entra é o primeiro que sai”, na fila “o
primeiro que entra é o primeiro que sai”
214
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Introdução
Ideia principal: só podemos inserir um
novo elemento no final da fila e só
podemos retirar o elemento do início.
215
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Introdução
• Analogia natural com a fila do dia-a-dia: quem
entra primeiro na fila é o primeiro a se
atendido (ex. fila de Banco, fila do CAA, fila do
Mc Donald, etc)
• Os elementos da fila só podem ser retirados
na ordem em que foram introduzidos: o
primeiro que entra é o primeiro que sai
(FIFO – First in, First out)
216
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Introdução
• Operações Básicas:
1. Inserir elementos na fila:
– inserir elementos em uma extremidade da
fila
2. Retirar elementos da fila:
– retirar elementos de outra extremidade da
fila
217
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Exemplo - Fila
• Um exemplo de utilização em computação é a
implementação de uma fila de impressão:
– Impressora é compartilhada por várias máquinas:
adotar uma estratégia para determinar o
documento será impresso primeiro
• Estratégia mais simples: tratar todas as requisições
com a mesma prioridade e imprimir os
documentos na ordem em que forem submetidos
(o primeiro submetido é o primeiro a ser impresso)
218
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Estrutura de fila com lista encadeada
ini fim
Info1 Info2 Info3
219
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Implementação de fila com lista
struct Lista
{
float info;
Lista* prox;
};
struct Fila
{
Lista* ini;
Lista* fim;
}; 220
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Fila* fila_cria()
{
Fila* f = (Fila*)malloc(sizeof(Fila));
f->ini = NULL;
f->fim = NULL;
return f;
}
int fila_vazia(Fila* f)
{
return (f->ini == NULL);
}
221
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void fila_insere(Fila* f, float v)
{
Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista));
n->info = v; //armazena a informação
n->prox = NULL; //novo no será o ultimo
if(f->fim != NULL) //fila não esta vazia?
{
f->fim->prox = n;
}
else //senão a fila esta vazia
{
f->ini = n;
}
f->fim = n; //fila aponta p novo elemento
}
222
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float fila_retira(Fila* f)
{
Lista* t;
float v;
if(fila_vazia(f))
{
cout<<"Fila vazia";
exit(1); //aborta o programa
}
t = f->ini;
v = t->info;
f->ini = t->prox;
if(f->ini == NULL) //fila ficou vazia?
{
f->fim = NULL;
}
free(t);
return v;
} 223
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void fila_libera(Fila* f)
{
Lista* q = f->ini;
while(q != NULL)
{
Lista* t = q->prox;
free(q);
q = t;
}
free(f);
}
void fila_imprime(Fila* f)
{
Lista* q;
for(q = f->ini; q!=NULL; q = q->prox)
{
cout<<" "<<q->info<<" - ";
}
} 224
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int main()
{
Fila* f = fila_cria();
fila_insere(f, 20);
fila_insere(f, 80);
fila_insere(f, 10);
fila_imprime(f);
getch();
system("cls");
fila_retira(f);
fila_imprime(f);
getch();
}
225
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Exercícios
1- Faça uma função que retorna a quantidade de
elementos existem na fila.
2- Faça uma função que verifica se existe um
determinado número(valor) inserido na fila.
226
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 12.
227
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Recursividade
Ivre Marjorie R. Machado
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Introdução
• Uma função é dita recursiva se definida em
termos dela mesma
• Ou seja, uma função é recursiva quando
dentro dela está presente uma instrução de
chamada a ela própria
229
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Exemplo – Fatorial Recursivo
int fatorial(int n)
{
if(n==0)
{
return 1;
}
else
{
return(n * fatorial(n-1));
}
}
230
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Exemplo – Fatorial Recursivo
int main()
{
int num;
do{
cout<<"nDigite um numero ou negativo para terminar: ";
cin>>num;
if(num>0)
{
cout<<"nO fatorial de "<<num<<" e: "<<fatorial(num);
}
}while(num>0);
cout<<"nFim do programa";
getch();
}
231
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Introdução
• O código gerado por uma função recursiva
exige a utilização de mais memória, o que
torna a execução mais lenta
• Não é difícil criar funções recursivas, o difícil é
reconhecer as situações nas quais a recursão é
apropriada
• Três pontos devem ser lembrados quando
queremos escrever uma função recursiva
232
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Criando uma função recursiva
• 1º Passo: definir o problema em termos
recursivos
• Isso significa definir o problema usando ele
mesmo na definição
• Ex.: O fatorial de um número pode ser
definido por meio da seguinte expressão:
n! = n * (n-1)!
233
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Criando uma função recursiva
• 2º Passo: encontrar a condição básica. Toda
função recursiva deve ter uma condição de
término chamada de condição básica
• A função fatorial(), quando chamada, verifica
se num é zero
– Se a condição for satisfeita, interrompe a
recursão
234
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Criando uma função recursiva
• 3º Passo: cada vez que a função é chamada
recursivamente deve estar mais próxima de
satisfazer a condição básica
• Isso garante que o programa não girará em
uma sequência infinita de chamadas
• No exemplo, a cada chamada, o valor de num
estará mais próximo de zero
235
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Como trabalha uma função recursiva?
• Para entender o funcionamento de uma
função recursiva, vamos imaginar que a
chamada recursiva é a chamada a outra
função que tenha o mesmo código da função
original
236
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Como trabalha uma função recursiva?
• Supondo que o número digitado tenha sido 3:
int fatorial(int 3)
{
...
else
{
return(3 * fatorial(2));
}
}
237
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Como trabalha uma função recursiva?
• Supondo que o número digitado tenha sido 3:
int fatorial(int 3)
{
...
else
{
return(3 * fatorial(2));
}
}
int fat1(int 2)
{
...
else
{
return(2 * fatorial(1));
}
}
238
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Como trabalha uma função recursiva?
• Supondo que o número digitado tenha sido 3:
int fatorial(int 3)
{
...
else
{
return(3 * fatorial(2));
}
}
int fat1(int 2)
{
...
else
{
return(2 * fatorial(1));
}
}
int fat2(int 1)
{
...
else
{
return(1 * fatorial(0));
}
}
239
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Como trabalha uma função recursiva?
• Supondo que o número digitado tenha sido 3:
int fatorial(int 3)
{
...
else
{
return(3 * fatorial(2));
}
}
int fat1(int 2)
{
...
else
{
return(2 * fatorial(1));
}
}
int fat2(int 1)
{
...
else
{
return(1 * fatorial(0));
}
}
int fat3(int 0)
{
if(n == 0)
{
return (1);
}
...
}
240
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Como trabalha uma função recursiva?
• Supondo que o número digitado tenha sido 3:
int fatorial(int 3)
{
...
else
{
return(3 * fatorial(2));
}
}
int fat1(int 2)
{
...
else
{
return(2 * fatorial(1));
}
}
int fat2(int 1)
{
...
else
{
return(1 * fatorial(0));
}
}
int fat3(int 0)
{
if(n == 0)
{
return (1);
}
...
}
241
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Como trabalha uma função recursiva?
• O que ocorre na memória é quase a mesma
coisa, exceto pelo fato de que não há
repetição do código da função
• Observe que várias chamadas estão ativas ao
mesmo tempo
• Enquanto a última chamada não terminar, a
penúltima não termina e assim por diante
– Isso faz as variáveis de cada chamada serem todas
mantidas na memória, o que requer mais
memória
242
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Como trabalha uma função recursiva?
3!
3 * 2!
2 * 1!
1* 0!
1
243
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Característica da função recursiva
• As funções recursivas devem ter:
– Ponto de Parada: resolvido sem utilização de
recursividade, sendo este ponto geralmente um
limite superior ou inferior da regra geral.
– Regra Geral: o método geral da recursividade
reduz a resolução do problema através da
invocação recursiva de casos mais pequenos,
sendo estes casos menores resolvidos através da
resolução de casos ainda menores, e assim
sucessivamente, até atingir o ponto de parada
que finaliza o método.
244
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Característica da função recursiva
• Exemplo
Fatorial(n) =
(n == 0) 1 // Ponto de parada
(n)  n * (n-1)! // Regra geral
245
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Exemplo – Torre de Hanói
a b c
1
2
3
246
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Exemplo – Torre de Hanói
void mover(int n, char orig, char temp, char dest)
{
if(n==1)
{
cout<<"n Mova o disco 1 da haste "<<orig<<" para
haste "<<dest;
}
else
{
mover(n-1, orig, dest, temp);
cout<<"n Mova o disco "<<n<<" da haste
"<<orig<<" para haste "<<dest;
mover(n-1, temp, orig, dest);
}
}
247
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Exemplo – Torre de Hanói
int main()
{
mover(3, 'A', 'B', 'C');
getch();
}
248
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Exemplo – Torre de Hanói
249
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Exemplo – Impressão de um seqüência de números
void print_numero(int num)
{
if (num > 0)
{
print_numero(num-1);
cout << num << " ";
}
}
void print_numero_inv(int num)
{
if (num > 0)
{
cout << num << " ";
print_numero_inv(num-1);
}
}
int main()
{
int numero;
cout << "Digite o numero inicial: ";
cin >> numero;
print_numero(numero);
cout << endl;
print_numero_inv(numero);
cout << endl;
system("pause");
}
250
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Exemplo – Resto da divisão de um número por outro
(método sem recursão)
#include <iostream.h>
int resto(int x, int y)
{
while(x >= y)
{
x = x –y;
}
return( x );
}
int main()
{
int num, den;
cout << "Digite o numerador: ";
cin >> num;
cout << "Digite o denominador: ";
cin >> den;
cout << resto(num, den);
cout << endl;
system("pause");
}
251
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Exemplo – Resto da divisão de um número por outro
(método recursivo)
#include <iostream.h>
int resto(int x, int y)
{
if (x < y)
return(x);
return( resto(x - y, y) );
}
int main()
{
int num, den;
cout << "Digite o numerador: ";
cin >> num;
cout << "Digite o denominador: ";
cin >> den;
cout << resto(num, den);
cout << endl;
system("pause");
}
252
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Exercícios
1- Escreva uma função recursiva denominada
potencia() que aceite dois parâmetros inteiros
positivos i e j. A função retorna i elevado a
potência j. Por exemplo: potencia(2,3) é igual a
8. Use a seguinte definição:
i elevado à potência j é igual a i elevado à
potência j-1 vezes i
253
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Exercícios
2- Escreva uma função recursiva de nome soma()
que receba um número inteiro positivo n como
argumento e retorne a soma dos n primeiro
números inteiros.
Por exemplo, se a função receber n= 5, deve
retornar 15, pois 15 = 1+2+3+4+5
254
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 11.
255
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TAD – Árvores
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
Nó Raiz
...
257
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Introdução
• Estruturas de dados chamadas lineares como
vetores e listas não são adequadas para
representar dados que devem ser dispostos e
maneira hierárquica
– Exemplo: arquivos (documentos) que criamos em
um computador são armazenados dentro de uma
estrutura hierárquica de diretórios (pastas)
– Existe um diretório base dentro do qual podemos
armazenar diversos subdiretórios e arquivos
258
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Introdução
• Árvores: são estruturas de dados adequadas
para a representação de hierarquias
– A forma mais natural de definir uma estrutura de
árvore é usando a recursividade
• Recursividade: habilidade de uma função
chamar a si mesma
259
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Recursividade
• Uma função poderá também ser considerada
recursiva se chamar outras funções que, em
algum momento, chamem a primeira função,
tornando esse conjunto de funções um processo
recursivo.
• Cada vez que uma função é chamada de forma
recursiva, é guardada uma cópia dos seus
parâmetros de forma a não perder os valores dos
parâmetros das chamadas anteriores.
260
Árvores
Uma árvore é composta por:
• um nó Raiz, denominado r, que contém zero
ou mais sub árvores
• nós folhas ou extremos, que não possuem
filhos
261
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Representação das Árvores
Nó Raiz
...
Folhas
262
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Árvores
• É tradicional desenhar as estruturas de
árvores com a raiz para cima e as folhas para
baixo
• Não fica explicita a direção dos ponteiros
– Fica subentendido que os ponteiros apontam
sempre do pai para os filhos
– Os tipos de árvores existentes são diferenciados
pelo número de filhos por nó e as informações
armazenadas em cada nó
263
Árvores Binárias
• Exemplo de utilização:
avaliação de expressões
• Como trabalhamos com
operadores que
esperam um ou dois
operandos, os nós da
árvore para representar
uma expressão têm no
máximo dois filhos
264
Árvores Binárias
• nós folhas representam os
operandos
• nós internos representam
operadores
• No exemplo, a expressão
representada é a:
(3+6) * (4-1) + 5
265
Árvores Binárias
• Em uma árvore binária, cada
nó tem zero, um ou dois filhos.
• Recursivamente, podemos
definir uma árvore binária
como sendo:
– uma árvore vazia, ou
– um nó raiz tendo duas
subárvores, identificadas como a
subárvore da direita (sad) e a
subárvore da esquerda (sae)
raiz
sae sad
Vazia
* A definição recursiva será usada na construção de algoritmos e na
verificação (informal) da correção e do seu desempenho
266
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Árvores Binárias
a
b c
d e f
Os nós a, b, c, d, e e f formam uma árvore
binária:
- Sub árvore à esquerda formada por b e
d
- Sub árvore à direita formada por c, e e f
- A raiz da árvore representada pelo nó a
- As raízes das sub árvores representadas
pelos nós b e c
- Folhas representadas pelos nós d, e e f
- Além disso, cada nó folha representa
uma árvore, com duas sub árvores vazias.
267
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Árvores Binárias
a
b c
d e f
Podemos usar a seguinte notação textual:
- A árvore vazia é representada por < >
- e a árvore não vazia, por <raiz sae sad>
Para o nosso exemplo:
<a<b< ><d< >< >>><c<e< >< >><f< >< >>>>
268
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Representação
• De modo semelhante ao que fizemos para as
demais estruturas, podemos definir um tipo
para representar uma árvore binária
struct arv
{
char info;
arv* esq;
arv* dir;
};
269
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Representação
• Da mesma forma que uma lista encadeada é
representada por um ponteiro para o nó para
o primeiro nó, a estrutura da árvore é
representada por um ponteiro para o nó raiz
• Dado o ponteiro para o nó raiz tem-se acesso
aos demais nós
270
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Operações básicas
• Cria árvore vazia
–Como uma árvore é representada pelo
endereço do nó raiz, uma árvore vazia tem
de ser representada pelo valor NULL
271
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Operações básicas
• Cria árvore não-vazia:
– Para construir árvores não-vazias, podemos ter
uma operação que cria um nó raiz dadas a
informação e as duas sub árvores, a da esquerda e
a da direita
– Essa operação tem como retorno o endereço do
nó raiz criado
272
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Operações básicas
• Imprime árvore:
– Consiste em exibir todo o conteúdo da árvore
– Essa função deve percorrer recursivamente a
árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua
informação
– Como uma árvore binária ou é vazia ou é
composta pela raiz e por duas sub árvores
273
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Operações básicas
• Imprime árvore:
– Portanto, para imprimir a informação de todos os
nós da árvore devemos primeiro testar se ela é
vazia
– se não for, imprimimos a informação associada à
raiz e chamamos (recursivamente) a função para
imprimir as sub árvores
274
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Operações básicas
• Libera árvore:
– Operação para liberar a memória
275
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática.
Campus, 2002.
• Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel,
José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão.
Capítulo 13.
276
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Balanceamento em Árvores
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• Dois argumentos favoráveis às árvores:
1. as árvores são bem apropriadas para representar
a estrutura hierárquica de um certo domínio
2. o processo de busca é muito mais rápido
usando árvores do que listas encadeadas
• No entanto, o 2º argumento, nem sempre se
mantém
278
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Introdução
• Observe as árvores, todas elas armazenam os
mesmos dados, mas obviamente, a árvore (a)
é a melhor e a (c) é a pior.
(a)
(b)
(c)
279
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Introdução
• O que acontece nas árvores (b) e (c) é que elas
são assimétricas, portanto, não são
distribuídas uniformemente
(a)
(b)
(c)
280
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Introdução
• Uma árvore é dita balanceada quando as suas
sub-árvores à esquerda e à direita possuem a
mesma altura.
• E todos os nós vazios estão no mesmo nível,
ou seja, a árvore está completa.
• A árvore que não está balanceada, define-se
como degenerada
281
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Introdução
282
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Introdução
• Como em uma árvore binária cada nó pode
ter dois filhos, o número de nós em um certo
nível é o dobro do número de ascendentes
que residem no nível prévio
Altura Nível Nós em um nível
1 0 2 ^ 0 = 1
2 1 2 ^ 1 = 2
3 2 2 ^ 2 = 4
4 3 2 ^ 3 = 8
283
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Balanceamento
• Pode ser:
–Balanceamento Estático
–Balanceamento Dinâmico: AVL
284
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Balanceamento
• Balanceamento Estático
–O balanceamento estático de uma árvore
binária consiste em construir uma nova
versão, reorganizando-a.
285
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Balanceamento
• Balanceamento Dinâmico: AVL
– Árvore AVL em homenagem aos matemáticos russos
(Adelson-Velskii e Landism -1962)
– Uma árvore AVL é uma árvore binária de pesquisa
onde a diferença em altura entre as subárvores
esquerda e direita é no máximo 1 (positivo ou
negativo).
• A essa diferença chamamos de “fator de balanceamento”
de n(FatBal (n)).
• Essa informação deverá constar em cada nó de uma árvore
balanceada
286
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Árvore AVL
• Árvore AVL (ou árvore balanceada pela altura)
• Assim, para cada nodo podemos definir um
fator de balanceamento (FB) , que vem a ser
um número inteiro igual a:
• O Fator de uma folha é sempre Zero (0)
FB(nodo p) = altura(subárvore direita p) -
altura(subárvore esquerda p)
287
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Exemplos de Árvores AVL
• Os números nos nodos representam o FB para cada
nodo.
• Para uma árvore ser AVL os fatores de balanço
devem ser necessariamente -1, 0, ou 1.
288
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Exemplos de Árvores Não-AVL
289
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Árvore AVL
• Se o fator de balanceamento de qualquer nó
em uma árvore AVL se tornar menor do que -1
ou maior do que 1
– a árvore tem que ser balanceada
– Um arvore AVL pode ser tornar desbalanceada em
quatro situações, mas somente duas delas
necessitam ser analisadas
• as outras duas são simetricas
290
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Balanceamento de Árvore AVL
• Inicialmente inserimos um novo nodo na
árvore.
– A inserção deste novo nodo pode ou não violar a
propriedade de balanceamento.
• Caso a inserção do novo nodo não viole a
propriedade de balanceamento
– Podemos então continuar inserindo novos nodos.
291
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Balanceamento de Árvore AVL
• Caso contrário precisamos nos preocupar em
restaurar o balanço da árvore.
– A restauração deste balanço é efetuada através
do que denominamos ROTAÇÕES na árvore.
– “Rotações” => movimentações dos nós, pode ser
feito a medida que um nó é inserido
292
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Balanceamento de Árvore AVL
• Primeiro caso: resultado de inserir um nó na
subárvore da direita do filho à direita (ver
próximo slide)
– Inserindo um nó em algum lugar da subarvore da
direita de Q, perturba o balanceamento da árvore P
– Para resolver: girar o nó Q ao redor de seu
ascendente P, de modo que o fator de balanceamento
tanto de P como de Q se torna zero, o que é ainda
melhor do que no princípio
293
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Balanceamento de Árvore AVL
(a)
(b)
(c)
294
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Balanceamento de Árvore AVL
• Segundo caso: resultado de inserir um nó na
subárvore da esquerda do filho à direita (ver
próximos slides)
– Para trazer a árvore de volta ao balanceamento,
uma dupla rotação é realizada
– O balanço da árvore P é restaurado girando-se R
ao redor do nó Q e então girando-se R novament,
dessa vez ao redor do nó P
295
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Balanceamento de Árvore AVL
(a)
(b)
296
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Balanceamento de Árvore AVL
(c)
(d)
297
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Balanceamento de Árvore AVL
(e)
298
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Dicas: Árvore AVL
1. Para identificarmos quando uma rotação é
simples ou dupla observamos os sinais de
FatBal:
– se o sinal for igual, a rotação é simples.
– se o sinal for diferente a rotação é dupla.
2. Se FB + rotação para esquerda
3. Se FB - rotação para direita
299
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Exercícios
1- Considere a inserção dos seguintes valores
(nesta ordem) em uma árvore AVL:
5,3,8,2,4,7,10,1,6,9,11. Para essas inserções
nenhuma rotação é necessária. Desenhe a
árvore AVL resultante e determine o fator de
balanceamento de cada nó.
300
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Exercícios
2- Construir uma árvore AVL com os seguintes
dados:
• Inserir inicialmente 10, 20, 30
• Se necessário fazer balanceamento
• Inserir 25 e 27
• Se necessário fazer balanceamento
301
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Referência Bibliográfica
• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com
implementações em Java e C++. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
• DROZDEK, Adam. Estruturas de dados e
algoritmos em c++. São Paulo: Cengage
Learning, 2009. Tradução: Luiz Sérgio de
Castro Paiva. Capítulo: 6.
302
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Pesquisa em Memória Primária
Árvore Binária de Busca
Ivre Marjorie R. Machado
(ivre.marjorie@gmail.com)
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Introdução
• Pesquisa = busca
304
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Árvore binária de busca
• O algoritmo de busca binária apresentado tem
bom desempenho computacional
• e deve ser usado quando temos os dados
ordenados armazenados em um vetor
305
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Árvore binária de busca
• Mas se precisarmos inserir e remover elementos
da estrutura e ao mesmo tempo dar suporte a
funções de busca eficientes, a estrutura de vetor
– (e, consequentemente, a busca binária) não se mostra
adequada
• Para inserir um novo elemento em um vetor
ordenado, temos de rearrumar os elementos no
vetor para abrir espaço para inserção do novo
elemento
306
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Árvore binária de busca
• Uma situação semelhante ocorre quando
removemos um elemento do vetor
• Sendo assim, precisamos de uma estrutura
dinâmica que dê suporte a operações de
busca
• No caso, podemos usar a estrutura estudada:
Árvore Binária
307
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Árvore binária de busca
• As árvores binárias aqui consideradas têm
uma propriedade fundamental:
– o valor associado a raiz é sempre maior do que os
valores associados a qualquer nós das subárvores
• Essa propriedade garante que quando
percorremos a árvore em ordem simétrica
(sae – raiz – sad), os valores são encontrados
em ordem crescente
308
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Árvore binária de busca
8
4 9
1 2
Ordem simétrica: 1 - 4 - 2 - 8 - 9
sae sad 309
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Árvore binária de busca
• Uma variação possível permite a repetição de
valores na árvore:
– o valor associado à raiz é sempre maior do que o valor
associado a qualquer nó da sae
– e é sempre menor ou igual ao valor associado a
qualquer nó sad
• Nesse caso, como a repetição de valores é
permitida, quando a árvore é percorrida em
ordem simétrica, os valores são encontrados em
ordem não decrescente
310
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Árvore binária de busca
• Ao usar a propriedade de ordem simétrica, a
busca de um valor em uma árvore pode ser
feita de forma eficiente
• Para procurar um valor numa árvore,
comparamos o valor que buscamos ao valor
associado à raiz
– Em caso de igualdade, o valor foi encontrado
– Se o valor for menor, a busca continua em sae
– Se o valor for maior, a busca continua em sad
311
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Árvore binária de busca
• Exemplo:
6
2 8
1 4
3
312
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
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Apostila aed
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Apostila aed
Apostila aed
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  • 1. www.professoresalgoritmos.com Apostila: Estruturas de dados e Arquivos Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com) Linguagem de programação C++
  • 2. www.professoresalgoritmos.com Índice 1- Registros 2- Alocação Dinâmica de Memória 3- Ponteiros 4- Análise de Complexidade 5- Técnicas de Análise de Algoritmos 6- Tipos Abstratos de dados (TAD) 7- TAD – Listas Encadeadas 8- TAD – Pilha 9- TAD – Fila
  • 3. www.professoresalgoritmos.com Índice 10- Recursividade 11- TAD – Árvores 12- Balanceamento em Árvores 13- Pesquisa em Memória Primária Árvore Binária de Busca 14- Pesquisa em Memória Primária Tabela Hash 15- Pesquisa Digital Árvore TRIE 16- Ordenação
  • 5. www.professoresalgoritmos.com Definição • Registros são estruturas de dados capazes de agregar várias informações • É possível gerar novos tipos de dados, não se limitando apenas à utilização dos tipos de dados primitivos (char, int, float, double) • Cada informação contida em um registro é chamada de campo ou membro 5
  • 6. www.professoresalgoritmos.com Definição • Os campos podem ser de diferentes tipos primitivos, ou mesmo podem representar outros registros Registros são conhecidos como variáveis compostas heterogêneas 6
  • 7. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros • São definidos por meio da utilização da palavra struct, conforme apresentado: struct nome_do_registro { tipo campo1; tipo campo2; ... tipo campon; }; 7
  • 8. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros struct Aluno { char nome[255]; int idade, cel; char endereco[300]; }; Palavra-chave Nome do Registro chaves Ponto-e-vírgula Campos ou Membros 8
  • 9. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros • Definir uma estrutura não cria nenhuma variável, somente informa ao compilador as características de um novo tipo de dados • Não há reserva de memória • No exemplo, foi definido um novo tipo de dado denominado Aluno • A definição desse tipo pode vir antes da função main() ou dentro dela 9
  • 10. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Variáveis do Tipo Registro • Para utilizar uma struct, é necessária a declaração de variáveis desse tipo: • Para o nosso exemplo: nome_do_registro nome_da_variável; Aluno alu1, alu2; variáveisTipo de dado 10
  • 11. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Variáveis do Tipo Registro • A declaração reserva espaço de memória suficiente para armazenar cada um dos membros da estrutura (nome, idade, cel e endereco) para a variável alu1 e alu2 • Também é possível declarar um vetor ou uma matriz do tipo da estrutura, como: Aluno alu[10], mat[2][3]; vetor matriz 11
  • 12. www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros de Estruturas • Após a variável ser declarada, o programa precisa manipular o conteúdo de cada campo individualmente • Para isso, é preciso informar o nome da variável e o do campo desejado, separados por um ponto nome_da_variável.nome_do_campo ponto 12
  • 13. www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros de Estruturas • Para armazenar um determinado valor nas variáveis do exemplo: • Para armazenar um dado digitado pelo usuário strcpy(alu1.nome,”Maria”); alu1.idade = 16; gets(alu1.nome); Cin<<alu1.idade; 13
  • 14. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 int main() { //nesse exemplo a estrutura foi criada dentro da main() struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; } alu1; cout<<"nCadastro - Aluno 1: "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1.nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1.endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1.idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1.cel; 14
  • 15. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 cout<<"n************* Cadastro realizado *************"; cout<<"nAluno 1 "; cout<<"nNome: "<<alu1.nome; cout<<"nIdade: "<<alu1.idade; cout<<"nCel: "<<alu1.cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco; cout<<"nFim do programa!" system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 15
  • 16. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 //nesse exemplo a estrutura foi criada fora da main() struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; }; int main() { Aluno alu1; cout<<"nCadastro - Aluno 1: "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1.nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1.endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1.idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1.cel; 16
  • 17. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 cout<<"n************* Cadastro realizado *************"; cout<<"nAluno 1 "; cout<<"nNome: "<<alu1.nome; cout<<"nIdade: "<<alu1.idade; cout<<"nCel: "<<alu1.cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco; cout<<"nFim do programa!" system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 17
  • 18. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Vetor do tipo Registro • Pode-se criar vetores utilizando uma estrutura de dados • Alterando o exemplo para que sejam armazenados os dados (nome, idade, cel, endereco) de 10 alunos. Aluno alu[10]; vetor 18
  • 19. www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros com Vetor de Estruturas • Para preencher o vetor todo com 10 alunos for(i=0; i<10; i++) { gets(alu1[i].nome); cin<<alu1[i].idade; } Índice do vetor 19
  • 20. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 3 struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; }; int main() { Aluno alu1[10]; int i; for(i=0; i<10; i++) { cout<<"nCadastro - Aluno "<<i+1<<": "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1[i].nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1[i].endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1[i].idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1[i].cel; } 20
  • 21. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 3 for(i=0; i<10; i++) { cout<<"n*********** Cadastro realizado ************"; cout<<"nAluno "<<i+1; cout<<"nNome: "<<alu1[i].nome; cout<<"nIdade: "<<alu1[i].idade; cout<<"nCel: "<<alu1[i].cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1[i].endereco; } cout<<"nFim do programa!"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 21
  • 22. www.professoresalgoritmos.com Passando Registros para Funções • As estruturas podem ser passadas como parâmetros de funções da mesma maneira que uma variável simples • O nome de uma estrutura não é um endereço, portanto, ela pode ser passada por valor • O exemplo a seguir apresenta uma função que recebe duas estruturas como parâmetro e imprime os valores da soma de seus membros 22
  • 23. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 4 //A estrutura e a função estão antes da main() struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda c, Venda d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas); cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas*c.preco) + (d.pecas*d.preco)); } 23
  • 24. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 4 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(A,B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 24
  • 25. www.professoresalgoritmos.com Passando Registros para Funções por referência • A sintaxe das passagem de estrutura para funções por referência é a mesma da passagem de variáveis simples por referência • Como as estruturas, em geral, são dados que ocupam uma grande quantidade de memória, é conveniente que se use passagem de parâmetro por referência Usando referência não há criação de uma cópia da variável na função 25
  • 26. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 5 //Alterando o exemplo anterior para que a função receba os parâmetros //por referência struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda *c, Venda *d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<((*c).pecas+ (*d).pecas); cout<<"nPreco total: "<<(((*c).pecas* (*c).preco)+((*d).pecas* (*d).preco)); } 26
  • 27. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 5 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(&A,&B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 27
  • 28. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 6 //Outra forma de passar a estrutura como parâmetros por referência struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda& c, Venda& d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas); cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas * c.preco)+(d.pecas * d.preco)); } 28
  • 29. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 6 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(A,B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 29
  • 30. www.professoresalgoritmos.com Funções que retornam um Registro • A linguagem C++ permite que as funções retornem uma estrutura completa para outra função, como o exemplo: Venda novavenda() { Venda x; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>x.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>x.preco; return x; } 30
  • 31. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Explique qual a diferença entre vetor e registro. Dê exemplos. 31
  • 32. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Foi realizada uma pesquisa de algumas características físicas de 50 habitantes de uma certa região. De cada habitante foram coletados os seguintes dados: sexo, altura, idade e cor dos olhos (A - Azuis, V - Verdes ou C – Castanhos). Faça um programa que leia esses dados e armazene-os em um registro do tipo vetor. Em seguida, determine: a) a média de idade das pessoas com olhos castanhos e altura superior a 1.60 m b) a maior idade entre os habitantes c) a quantidade de indivíduos do sexo feminino cuja idade esteja entre 20 e 45 anos (inclusive) ou que tenham olhos verdes e altura inferior a 1.70 m d) o percentual de homens 32
  • 33. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ASCENCIO, Ana Fernanda Gomes e CAMPOS, Edilene A. Veneruchi. Fundamentos da Programação de Computadores – Algoritmos, Pascal e C/C++. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 2ª Edição. Capítulo 10. • MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 7. 33
  • 34. www.professoresalgoritmos.com Alocação Dinâmica de Memória Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 35. www.professoresalgoritmos.com Definição • Na declaração de um vetor é preciso dimensioná-lo, ou seja, saber, de antemão, quanto de espaço é necessário – Prever o número máximo de elementos no vetor durante a codificação Ex.: Suponha que desejamos desenvolver um programa para calcular a média e a variância das notas de uma prova. Mas não sabemos que o número máximo de alunos? 35
  • 36. www.professoresalgoritmos.com Definição • Solução: – Dimensionar um vetor com um número absurdamente alto, para não termos limitação no momento da utilização do programa – Essa solução pode levar a um desperdício de memória ou uma limitação do número de alunos e consequentemente do programa 36
  • 37. www.professoresalgoritmos.com Definição • A linguagem C oferece meios de requisitar espaços de memória em tempo de execução • Assim, voltando ao exemplo, é possível consultar o número de alunos e então fazer a alocação do vetor dinamicamente, sem de desperdício de memória Alocação dinâmica de memória 37
  • 38. www.professoresalgoritmos.com Reserva de espaço de memória Existem 3 maneiras de reservar espaço de memória: 1. Usar variáveis globais (e estáticas): o espaço reservado existe enquanto o programa estiver sendo executado 2. Usar variáveis locais: o espaço existe apenas enquanto a função que declarou a variável está sendo executada 3. Requisitar ao sistema, em tempo de execução, um espaço de um determinado tamanho: Esse espaço permanece reservado até que seja explicitamente liberado pelo programa. 38
  • 39. www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Biblioteca: stdlib.h • A função básica para alocar memória é a malloc() • A função recebe como parâmetro o número de bytes que se deseja alocar e retorna o endereço inicial da área da memória alocada – Dessa forma, é necessário o uso de um ponteiro para receber o endereço inicial do espaço alocado 39
  • 40. www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Exemplo: Alocação dinâmica de um vetor de inteiros com 10 elementos: int *v; v = malloc(10 * 4); Considerando que 1 inteiro ocupa 4 bytes 40
  • 41. www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Para ficarmos livres de compiladores e máquinas, usamos o operador sizeof() int *v; v = malloc(10 * sizeof(int)); diz quantos bytes o tipo especificado tem 41
  • 42. www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Como malloc retorna um ponteiro genérico, para um tipo qualquer, representado por void * – que pode ser convertido para o tipo apropriado na atribuição: int *v; v = (int *)malloc(10 * sizeof(int)); Conversão para o tipo int 42
  • 43. www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Se não houver espaço livre suficiente para realizar a alocação, a função retorna um endereço nulo (NULL): int *v; v = (int *)malloc(10 * sizeof(int)); if( v == NULL) { cout<<“Memória insuficiente”; exit(1); //aborta o programa e retorna 1 } ... 43
  • 44. www.professoresalgoritmos.com Função Free() • Biblioteca: stdlib.h • A função básica para liberar um espaço de memória alocado dinamicamente é a free() • A função recebe como parâmetro o ponteiro da memória a ser liberada int *v; v = (int *)malloc(10* sizeof(int)); ... Free(v); //libera espaço de memória 44
  • 45. www.professoresalgoritmos.com Função Free() • Só podemos passar para a função free() um ponteiro (endereço) de memória que tenha sido alocado dinamicamente • Cuidado, pois não é possível acessar o espaço da memória depois de liberado 45
  • 46. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Explique a vantagem de usar alocação dinâmica de memória. Use exemplos. 2- O que é alocação dinâmica de memória? 3- Como podemos liberar um espaço de memória alocado dinamicamente? 46
  • 47. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main ( ) { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = 10; cout<<"nvalor de A: "<<*A; int *B; B = A; *B = 15; cout<<"nvalor de B: "<<*B; } 47
  • 48. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main ( ) { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = 10; cout<<"nPrimeiro valor de A: "<<*A; int *B; B= (int*)malloc(sizeof(int)); *B = *A; *B = 15; cout<<"nvalor de B: "<<*B; cout<<"nSegundo valor de A: "<<*A; } 48
  • 49. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 6- Dado o código abaixo, indique o resultado do mesmo para cada um dos valores de “*A”. void main() { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = ??; int *B; B = (int*)malloc(sizeof(int)); *B = *A; *B = 15; cout<<"n "<<*B; cout<<"n "<<*A; } *A = 10 Resposta: (*A = _____ e *B = _____ ) *A = 35 Resposta: (*A = _____ e *B = _____ ) • Substitua o valor do símbolo ‘??’ no código por cada um dos valores apresentados para *A abaixo. Em seguida, mostre os resultados que serão impressos na tela (*B e *A) para cada um dos valores. 49
  • 50. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. 50
  • 51. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 52. www.professoresalgoritmos.com Definição • Ponteiro é um endereço de memória • Seu valor indica em que parte da memória do computador uma variável está alocada, não o que está armazenado nela Ponteiro variável é um lugar na memória que armazena o endereço de outra variável 52
  • 53. www.professoresalgoritmos.com Razões para usar ponteiros • Receber parâmetros em funções que necessitem modificar o parâmetro original • Criar estruturas complexas, como listas encadeadas e árvores binárias, em que um item deve conter referência a outro • Alocar e desalocar memória do sistema • Passar para uma função o endereço de outra 53
  • 54. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Dizemos que uma variável aponta para outra variável quando a primeira contém o endereço da segunda • Endereço de memória: um endereço é a referência que o computador usa para localizar variáveis – Toda variável ocupa uma certa localização na memória e seu endereço é o do primeiro byte ocupado por ela 54
  • 55. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 108 a 5 104 Exemplo: 55
  • 56. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 104 108 a 5 104 Exemplo: 56
  • 57. www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 104 108 a 6 104 Exemplo: 57
  • 58. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Operador de endereços: & • Acessa no endereço da posição da memória reservada para a variável int *ptr; ptr = &a; 58
  • 59. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Operador indireto: * (resulta no conteúdo / valor da variável) • Acessa o conteúdo de endereço de memória armazenado int *ptr; *ptr = 6; 59
  • 60. www.professoresalgoritmos.com Exemplo1 - Ponteiros int main() { int x = 4, y =7; int *px, *py; cout<<"n &X= "<<&x<<" X= "<<x; cout<<"n &Y= "<<&y<<" Y= "<<y; cout<<"n"; px=&x; py=&y; cout<<"n PX= "<<px<<" *PX= "<<*px; cout<<"n PY= "<<py<<" *PY= "<<*py; cout<<"n"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 60
  • 61. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 - Ponteiros int main() { int x, y; int *px=&x; *px = 14; y = *px; cout<<"n y= "<<y; cout<<"n x= "<<x; cout<<"n"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 61
  • 62. www.professoresalgoritmos.com Operações com Ponteiros 1. Atribuição: 2. Incrementando: 3. Diferença: 4. Comparações: usando os operadores ( >, <, <=, >=, ==, != ) px = &x; px++; px = py + 3; px - py; 62
  • 63. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros para Estruturas • Do mesmo modo que podemos declarar variáveis do tipo estrutura: Aluno alu; struct Aluno { int mat; char nome[255], curso[50]; }; 63
  • 64. www.professoresalgoritmos.com Ponteiros para Estruturas • Podemos declarar variáveis do tipo ponteiro para estrutura: Aluno *palu; palu-> mat nome curso 64
  • 65. www.professoresalgoritmos.com Acesso aos campos da Estrutura • Para acessar os campos da estrutura com um ponteiro: (*nome_ponteiro). Nome_campo ponto Os parênteses são indispensáveis, pois o operador “*” tem precedência menor do que o operador de acesso “.” 65
  • 66. www.professoresalgoritmos.com Acesso aos campos da Estrutura • Outra forma de acessar os membros é: • E para acessar o endereço de um campo: nome_ponteiro -> Nome_campo &nome_ponteiro -> Nome_campo 66
  • 67. www.professoresalgoritmos.com Alocação dinâmica de Estruturas Aluno *palu; palu = (Aluno*)malloc(sizeof(Aluno)); struct Aluno { int mat; char nome[255], curso[50]; }; Estrutura Aluno criada anteriormente 67
  • 68. www.professoresalgoritmos.com Alocação dinâmica de Estruturas • Após uma alocação dinâmica, podemos acessar normalmente os campos da estrutura com a variável ponteiro que armazena seu endereço 68
  • 69. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- O que é um ponteiro? 2- Explique o que significa a instrução: int *p; 3- Explique para que serve o operador & e o operador * nas instruções abaixo: a) p = &i; b) *p = i; 69
  • 70. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main() { int x=3, y=7; int *px=&x; *px = 12; y = *px; cout<<"n y= "<<y; cout<<"n x= "<<x; cout<<"n"; system("PAUSE"); } 70
  • 71. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main() { int x=3, y=7; int *px=&x, *py=&y; y= 4; cout<<"n *px= "<<*px; cout<<"n *py= "<<*py; cout<<"n"; system("PAUSE"); } 71
  • 72. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 6- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. void Troca (int *A, int B) { int temp; temp = *A; *A = B; B = temp; } int main() { int x,y; x = 5; y = 3; Troca(&x,y); cout << x << endl << y; getch(); } 72
  • 73. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 2. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 11. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulos 4 e 8. 73
  • 74. www.professoresalgoritmos.com Análise de Complexidade Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 75. www.professoresalgoritmos.com Introdução • O projeto de um algoritmo deve considerar o desempenho que este terá após sua implementação. • Várias soluções podem surgir e aspectos de tempo de execução e espaço ocupado são pontos muito relevantes na escolha da solução mais adequada. 75
  • 76. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Analisar um algoritmo significa predizer os recursos computacionais que o algoritmo requer quando da sua execução: memória, largura de banda de comunicação, hardware de computação. • Recurso mais considerado: tempo de processamento. • Em geral, existem vários algoritmos para solucionar um mesmo problema e a análise é capaz de identificar qual é o mais eficiente. 76
  • 77. www.professoresalgoritmos.com Introdução • A área de análise de algoritmos pode considerar dois tipos de problemas distintos: – Análise de um algoritmo em particular: custo para a resolução de um problema específico. – Análise de uma classe de algoritmos: um conjunto de algoritmos para resolver um problema específico é estudado, para determinar qual o melhor. 77
  • 78. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo matemático) que represente o tempo de execução de um algoritmo. • Aspectos mais importantes da análise de tempo: – quantidade de elementos a processar (tamanho da entrada); – forma como os elementos estão dispostos na entrada. • Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n), onde n é o tamanho da entrada. • A função f deve expressar o número de operações básicas, ou passos, executados pelo algoritmo. 78
  • 79. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo matemático) que represente o tempo de execução de um algoritmo. • Aspectos mais importantes da análise de tempo: – quantidade de elementos a processar (tamanho da entrada); – forma como os elementos estão dispostos na entrada. • Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n), onde n é o tamanho da entrada. • A função f deve expressar o número de operações básicas, ou passos, executados pelo algoritmo. 79
  • 80. www.professoresalgoritmos.com Introdução A operação básica de maior freqüência de execução no algoritmo é denominada operação dominante ou operação fundamental. 80
  • 81. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • A complexidade de tempo de um algoritmo tem por objetivo avaliar sua eficiência. • Para medir o custo de execução de um algoritmo comum definir uma função de custo ou função de complexidade f, em que f(n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n 81
  • 82. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • A complexidade de tempo de um algoritmo tem por objetivo avaliar sua eficiência. • Para medir o custo de execução de um algoritmo comum definir uma função de custo ou função de complexidade f, em que f(n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n. 82
  • 83. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Função de complexidade de tempo do algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade do tempo necessário para executar um algoritmo de tamanho n • Função de complexidade de espaço do algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade de memória necessária para executar um algoritmo de tamanho n 83
  • 84. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Melhor caso: corresponde ao menor tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n • Caso médio (ou caso esperado): corresponde à média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n • Pior caso: corresponde ao maior tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n 84
  • 85. www.professoresalgoritmos.com Exemplo1 • Seja f uma função de complexidade tal que f(n) é o número de registros consultados no arquivo, isto é, o número de vezes que a chave de consulta é comparada com a chave de cada registro. Os casos a considerar são: Melhor caso: f(n) = 1 Pior caso: f(n) = n Caso médio: f(n) = (n+1)/2 85
  • 86. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 Considere o problema de encontrar o maior e o menor elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1 void calculaMaxMin1(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 86
  • 87. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos que: f(n) = 2(n-1), para n > 0 Esse programa pode ser facilmente melhorado. Basta observar que a comparação vet[i] < min somente é necessária quando o resultado da comparação vet[i] > max é falso. 87
  • 88. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 88
  • 89. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } Melhor caso: f(n) = n-1 Pior caso: f(n) = 2(n-1) Caso médio: f(n) = 3n/2-3/2 89
  • 90. www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 90
  • 91. www.professoresalgoritmos.com Comportamento Assintótico de Funções • O nº de comparações para encontrar o maior elemento de um conjunto de n inteiros, ou para ordenar os elementos de um conjunto com n elementos, aumenta com n • Parâmetro n fornece uma medida da dificuldade para se resolver o problema – O custo para obter uma solução para um dado problema aumenta com o tamanho de n do problema 91
  • 92. www.professoresalgoritmos.com Comportamento Assintótico de Funções • Para valores suficientemente pequenos de n, qualquer algoritmo custa pouco para ser executado, mesmo os algoritmos ineficientes – Para problemas de tamanho pequeno a escolha do algoritmo não é um problema crítico – A análise de algoritmos é realizada apenas para valores grandes de n – A análise de um algoritmo geralmente conta com apenas algumas operações elementares, e em muitos casos com uma operação elementar 92
  • 93. www.professoresalgoritmos.com Notação Assintótica • Passos: 1. Identificar o termo dominante da expressão que descreve sua complexidade, ou seja, descreve a ordem de crescimento assintótico desta expressão. 2. Obter uma função que é um limitante superior assintótico para a nossa expressão, isto é, para instâncias arbitrárias de tamanho n podemos resolver o problema em tempo menor ou igual a O(n). 93
  • 94. www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(1) Complexidade constante, ou seja, independe do tamanho da entrada n. As instruções são executadas um número fixo de vezes f(n) = O(log n) Complexidade sub-linear ou logarítmica, ocorre geralmente em problemas que dividem-se em problemas menores em sua resolução f(n) = O(n) Complexidade linear, ou seja, quando um pequeno trabalho é realizado sobre os elementos de entrada n. Esta situação é boa para algoritmos que tenham entrada e saída n. 94
  • 95. www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(n log n) Esta complexidade geralmente acontece com algoritmos que separam o problema em menores e unem as resoluções depois de encontrá-las. f(n) = O(n^2) Complexidade quadrática, ou seja, quando itens são processados aos pares, geralmente quando temos um anel dentro do outro. f(n) = O(2^n) Complexidade exponencial. São algoritmos péssimos em ponto de vista prático. Geralmente são algoritmos utilizados para resolução de problemas na força bruta. 95
  • 96. www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(n!) Complexidade fatorial. São algoritmos piores que os exponenciais. Péssimos na prática e resultado de aplicação d e força bruta, não são recomendados para resolução de problemas. 96
  • 97. www.professoresalgoritmos.com Notação Assintótica • A tabela de classes de problemas está ordenada de maneira crescente • Para compararmos dois algoritmos, é necessário saber primeiro a qual classe pertencem ao algoritmos. – Se forem de classe diferentes s comparação fica fácil, seguindo a ordem da tabela. – Se forem da mesma classe, deverão ser comparados por suas funções reais de complexidade de tempo, lembrando que o caso comparado deve ser o mesmo (ex. pior caso com pior caso) 97
  • 98. www.professoresalgoritmos.com Função de custo Tamanho n 10 20 30 40 50 60 n 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s 0,00006 n² 0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0035 s 0,0036 s n³ 0,001 s 0,008 s 0,027 s 0,64 s 0,125 s 0,316 s n⁵ 0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 min 5,2 min 13 min 2^n 0,001 s 1 s 17,9 min 12,7 dias 35,7 anos 366 séc. 3^n 0,059 s 58 min 6,5 anos 3855 séc. 10⁸ séc. 10¹³ séc. Comparação de funções de complexidades 98
  • 99. www.professoresalgoritmos.com Trabalho de Pesquisa • Fazer uma pesquisa sobre: – Problemas P – Problemas NP – Problemas NP-completos • Conceitue cada um. Dê exemplos. • Não esqueça de colocar as referências usadas. • Entregar impresso dia (06/09/2012). • Pode ser feito em dupla. 99
  • 100. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller (http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/ pg_aedii) 100
  • 101. www.professoresalgoritmos.com Técnicas de Análise de Algoritmos Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 102. www.professoresalgoritmos.com Introdução • A análise de algoritmos ou programas utiliza técnicas de matemática discreta, envolvendo contagem ou enumeração dos elementos de um conjunto que possuam propriedade comum: – Manipulação de somas, produtos, permutações, fatoriais, coeficientes binomiais, solução de equações de recorrência, entre outras. 102
  • 103. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Infelizmente não existe um conjunto completo de regras para analisar programas. • Dessa forma, algumas dessas técnicas serão ilustradas informalmente com exemplos. 103
  • 104. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Complexidade de tempo da maioria dos problemas é polinomial ou exponencial. – Polinomial: função de complexidade é O (p(n)) , onde p(n) é um polinômio. • Exemplos: pesquisa binária (O (log n)), pesquisa seqüencial ( O (n)), ordenação por inserção (O (n²)), e multiplicação de matrizes (O (n³)). – Exponencial: função de complexidade é O (c^n), c> 1. • Exemplo:Problema do Caixeiro Viajante(PCV) (O (n!)). 104
  • 105. www.professoresalgoritmos.com Complexidade • O(1) ou constante • O(log n) ou logaritímica • O(n) ou linear • O(n log n) ou n log de n • O(n²) ou quadrática • O(n³) ou cúbica • O(n!) ou fatorial Maior Complexidade 105
  • 109. www.professoresalgoritmos.com Notação O - Exemplos • f(n) = 403 = O(1) • f(n) = 5 + 2 logn + 3 log²n = O(log²n) • f(n) = 5 + 2 logn + 3n = O(n) • f(n) = 5*2^n + 5n^10 = O(2^n) • f(n) = n² - 1 = O(n²) • f(n) = n³ - 1 = O(n³) • f(n) = 3n + 5 logn + 2 = O(n) 109
  • 110. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de algumas estruturas de controle • Regras rígidas sobre o cálculo da complexidade de qualquer algoritmo não existem, cada caso deve ser estudado em suas condições. • No entanto, as estruturas de controle clássicas da programação estruturada permitem uma estimativa típica de cada uma. • A partir disso, algoritmos construídos com combinações delas podem ter sua complexidade mais facilmente estabelecida. 110
  • 111. www.professoresalgoritmos.com • Comando simples : tem um tempo de execução constante, O(c) = O(1). • Seqüência: tem um tempo igual à soma dos tempos de cada comando da seqüência; se cada comando é O(1), assim, também será a seqüência; senão, pela regra da soma, a seqüência terá a complexidade do comando de maior complexidade. • Alternativa : qualquer um dos ramos pode ter complexidade arbitrária; a complexidade resultante é a maior delas; isto vale para alternativa dupla (if-else) ou múltipla (switch). 111
  • 112. www.professoresalgoritmos.com • Repetições • Repetição contada: é aquela em que cada iteração (ou “volta”) atualiza o controle mediante uma adição(geralmente, quando se usa uma estrutura do tipo for, que especifica incremento/decremento automático de uma variável inteira). • Se o número de iterações é independente do tamanho do problema, a complexidade de toda a repetição é a complexidade do corpo da mesma, pela regra da constante (ou pela regra da soma de tempos). for (i=0; i<k ; i++) trecho com O(g(n)) se k não é f(n)então o trecho é O(g(n)) 112
  • 113. www.professoresalgoritmos.com • Se o número de iterações é função de n, pela regra do produto teremos a complexidade da repetição como a complexidade do corpo multiplicada pela função que descreve o número de iterações. Isto é: for (i=0; i<10 ; i++) { x = x+v; printf (“%d”, x); } isto é O(1), logo toda a repetição é O(1) 113
  • 114. www.professoresalgoritmos.com for (i=0; i<n; i++) trecho com O(g(n)) como o número de iterações é f(n)=n então o trecho é O(n*g(n)) for (i=0; i<k*n ; i++) trecho com O(log n) o trecho é O(f(n)*g(n)), no caso O(k*n*log n), ou seja: O(n log n) Exemplo: 114
  • 115. www.professoresalgoritmos.com • Uma aplicação comum da regra do produto é a determinação da complexidade de repetições aninhadas. • Exemplo: • Exemplo: for (i=0; i<n ; i++) for (j=0; j<n ; j++) trecho com O(1) o trecho é O(f(n)*g(n)), no caso g(n)=n*1 (laço interno); logo, O(n*n), ou seja: O(n²) for (i=1; i<=n ; i++) for (j=1; j<=i ; j++) trecho com O(1) o laço interno é executado 1+2+3+...n-1 +n=n*(n+1)/2 vezes, logo, O(n*(n+1)/2), ou seja: O(0.5(n²+n)) ou seja O(n²) 115
  • 116. www.professoresalgoritmos.com for (i=1; i<=n ; i++) for (j=n; i<=j ; j--) trecho com O(1) o laço interno é executado n+n-1+n- 2+...+2+1=n*(n+1)/2 vezes, ou seja: O(n²) como no caso anterior • Os dois últimos exemplos podem ser generalizados para quaisquer aninhamentos de repetições contadas em k níveis, desde que todos os índices dependam do tamanho do problema. Nesse caso, a complexidade da estrutura aninhada será da ordem de n ^ k. 116
  • 117. www.professoresalgoritmos.com for (IndExt=1; IndExt<=n ; IndExt++) for (IndMed=IndExt; IndMed<=n ; IndMed++) for (IndInt=1; IndInt<=IndMed; IndInt++) trecho com O(1) o laço mediano é executado n+n-1+n-2+... +2+1=(n²+n)/2 vezes; o laço mais interno será executado no máximo n vezes; logo, tem-se O((n²+n)*n), ou seja: O(n³) 117
  • 118. www.professoresalgoritmos.com • Repetições • Repetição multiplicativa: é aquela em que cada iteração atualiza o controle mediante uma multiplicação ou divisão. limite=1; while (limite<=n) { trecho com O(1) limite = limite*2; } o número de iterações depende de n; limite vai dobrando a cada iteração; depois de k iterações, limite = 2^k e k = log2 limite; como o valor máximo de limite é n, então o trecho é O(log2n) = O(log n) OBS: Na verdade O(log n) independe da base do logaritmo, pois logan = logab*logbn = c*logbn. 118
  • 119. www.professoresalgoritmos.com int limite; for (limite=n; limite!=0; limite /=2) trecho com O(1) o número de iterações depende de n; limite vai-se subdividindo a cada iteração; depois de k=log2n iterações, encerra; então o trecho é O(log n) • Os dois exemplos anteriores também podem ser generalizados, adotando-se um fator genérico de multiplicação fator. Nesse caso, o número de iterações será dado por k = logfatorlimite = O(logf(n)), se o limite é função de n. 119
  • 120. www.professoresalgoritmos.com int limite=n; while (limite!=0) { for (i=1; i<=n; i++) trecho com O(1) limite = limite/2; } o número de iterações depende de n; limite vai-se subdividindo a cada iteração; o laço interno é O(n), o externo O (log n); logo, o trecho é O (n log n) Exemplo: 120
  • 121. www.professoresalgoritmos.com • Chamada de função: Pode ser resolvida considerando- se que a função também tem um algoritmo com sua própria complexidade. Esta é usada como base para cálculo da complexidade do algoritmo invocador. Por exemplo: se a invocação estiver num ramo de uma alternativa, sua complexidade será usada na determinação da máxima complexidade entre os dois ramos; se estiver no interior de um laço, será considerada no cálculo da complexidade da seqüência repetida, etc. • A questão se complica ao se tratar de uma chamada recursiva. 121
  • 122. www.professoresalgoritmos.com • Embora não haja um método único para esta avaliação, em geral a complexidade de um algoritmo recursivo será função de componentes como: a complexidade da base e do núcleo da solução e a profundidade da recursão. Por este termo entende-se o número de vezes que o procedimento é invocado recursivamente. Este numero, usualmente, depende do tamanho do problema e da taxa de redução do tamanho do problema a cada invocação. E é na sua determinação que reside a dificuldade da análise de algoritmos recursivos. 122
  • 123. www.professoresalgoritmos.com • Exemplo: int fatorial (int n) { if (n==0) return 1; // Base else return n*fatorial(n- 1); //Núcleo } • A redução do problema se faz de uma em uma unidade, a cada reinvocação do procedimento, a partir de n, até alcançar n = 0. Logo, a profundidade da recursão é igual a n. O núcleo da solução (que é repetido a cada reinvocação) tem complexidade O(1), pois se resume a uma multiplicação. A base tem complexidade O(1), pois envolve apenas uma atribuição simples. Nesse caso, conclui-se que o algoritmo tem um tempo T(n) = n*1+1 = O(n). 123
  • 124. www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Considere um algoritmo recursivo, nesse caso é necessário obter uma equação de recorrência (maneira de definir uma função por uma expressão envolvendo a mesma função) • O exemplo a seguir inspeciona n elementos de um conjunto e permite descartar 2/3 dos elementos e então fazer uma chamada recursiva sobre os n/3 elementos restantes 124
  • 125. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1- Algoritmo recursivo void pesquisa(int n) { if(n<=1) { cout<<"Inspeciona o elemento e termina"; } else { cout<<"nPara cada um dos n elementos - inspecione o elemento"; pesquisa(n/3); } } 125
  • 126. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1- Algoritmo recursivo void pesquisa(int n) { if(n<=1) { cout<<"Inspeciona o elemento e termina"; } else { cout<<"nPara cada um dos n elementos - inspecione o elemento"; pesquisa(n/3); } } Para esse exemplo, a complexidade será O(n), Complexidade linear. 126
  • 127. www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Considere o algoritmo para ordenar n elementos de um vetor v cujo princípio é o seguinte: 1. Selecione o menor elemento do vetor 2. Troque esse elemento com o primeiro elemento do v[0] 3. A seguir, repita essas duas operações com os n-1 elementos restantes, depois com os n-2 elemento, até que reste apenas um elemento 127
  • 129. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O número n de elementos representa o tamanho da entrada de dados. 129
  • 130. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O programa contém dois anéis, um dentro do outro. 130
  • 131. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Devemos começar a análise pelo anel interno. Nesse anel temos um comando de decisão que, por sua vez, possui apenas um comando de atribuição. 131
  • 132. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O comando de atribuição leva um tempo constante para ser executado, assim como a avaliação da condição do comando de decisão. 132
  • 133. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Não sabemos se o corpo do comando de decisão será executado ou não: nessas situações devemos considerar o pior caso, isto é, assumir que a linha 10 sempre será executada. 133
  • 134. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O tempo para incrementar o índice do anel e avaliar sua condição de terminação também é O(1), e o tempo combinado para executar uma vez o anel composto pelas linhas de 6 a 11 é O(max(1,1,1)) = O(1), conforme a regra da soma para notação O. 134
  • 135. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Como o número de iterações do anel é n-i, então o tempo gasto no anel é O(( n-i ) * 1) = O( n-i ), conforme regra do produto. 135
  • 136. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O corpo do anel mais externo contém, além do anel interno, os comandos de atribuição nas linhas 5, 13, 14 e 15. Logo, o tempo de execução das linhas de 5 a 15 é O(max(1,(n-i),1,1,1)) = O(n-i). 136
  • 137. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar A linha 3 é executada n- 1 vezes, e o tempo total para executar o programa está limitado ao produto de uma constante pelo somatório de (n – i) a saber: 137
  • 138. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar )( 222 )1( )( 2 21 1 nO nnnn in n i      138
  • 139. www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Melhor caso: corresponde ao menor tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n • Caso médio (ou caso esperado): corresponde à média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n • Pior caso: corresponde ao maior tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n 139
  • 140. www.professoresalgoritmos.com Exemplo3 Considere o problema de encontrar o maior e o menor elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1 void calculaMaxMin1(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 140
  • 141. www.professoresalgoritmos.com Exemplo3 Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos que: f(n) = 2(n-1), para n > 0 Esse programa pode ser facilmente melhorado. Basta observar que a comparação vet[i] < min somente é necessária quando o resultado da comparação vet[i] > max é falso. 141
  • 142. www.professoresalgoritmos.com Exemplo4 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 142
  • 143. www.professoresalgoritmos.com Exemplo4 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } Melhor caso: f(n) = n-1 Pior caso: f(n) = 2(n-1) Caso médio: f(n) = (3n-3)/2 Melhor caso: o vetor está ordenado crescente e no pior caso está ordenado decrescente 143
  • 144. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller (http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/ pg_aedii) 144
  • 145. www.professoresalgoritmos.com Tipos Abstratos de dados (TAD) Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 146. www.professoresalgoritmos.com Introdução • TAD: Tipos Abstratos de Dados • Ideia central: encapsular (esconder) de quem usa um determinado tipo a forma concreta com que ele foi implementado 146
  • 147. www.professoresalgoritmos.com TAD - Exemplo • Se criarmos um tipo para representar um ponto no espaço, um cliente desse tipo usa-o de forma abstrata, com base apenas nas funcionalidades oferecidas pelo tipo • A forma com que ele foi efetivamente implementado (armazenando cada coordenada num campo ou agrupando todas num vetor) passa a ser um detalhe de implementação, que não deve afetar o uso do tipo nos mais diversos contextos 147
  • 148. www.professoresalgoritmos.com Modularização • Vantagens: – desacoplamos a implementação do uso – facilitamos a manutenção – aumentamos o potencial de reutilização do tipo criado – a implementação do tipo pode ser alterada sem afetar seu uso em outros contextos. • Modularização: divisão de um programa em vários arquivos-fontes. 148
  • 149. www.professoresalgoritmos.com Modularização • Um módulo agrupa vários tipos e funções com funcionalidades relacionadas, caracterizando assim uma finalidade bem definida. • Se um módulo definir um novo tipo de dado e o conjunto de operações para manipular dados desse tipo, dizemos que o módulo representa um tipo abstrato de dados (TAD) 149
  • 150. www.professoresalgoritmos.com Interface - TAD • A interface de um TAD consiste: – Na definição do nome do tipo e do conjunto de funções exportadas para sua criação e manipulação 150
  • 151. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 – TAD Ponto • Operações: – Cria: operação que cria um ponto com coordenadas x e y – Atribui: operação que atribui novos valores às coordenadas de um ponto – Distancia: operação que calcula a distância entre dois pontos – Libera: operação que libera a memória alocada por um ponto • Interface: arquivo ponto.h 151
  • 152. www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 – TAD Circulo • Operações: – Cria: operação que cria um circulo com centro (x,y) e raio r – Area: operação que calcula a area do circulo – Interior: operação que verifica se um dado ponto está dentro do circulo – Libera: operação que libera a memória alocada por um circulo • Interface: arquivo circulo.h 152
  • 153. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Capítulo 1. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 9. 153
  • 154. www.professoresalgoritmos.com TAD – Listas Encadeadas Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 155. www.professoresalgoritmos.com Introdução • O vetor não é estrutura muito flexível, pois precisamos dimensioná-lo com um número máximo de elementos – Complexidade das funções para inserir e remover usando vetor em um tempo linear é O(n) • Solução: utilizar estruturas de dados que cresçam conforme precisamos armazenar novos elementos – E diminuam a medida que retiramos elementos armazenados 155
  • 156. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Essas estruturas são chamadas dinâmicas e armazenam cada um dos seus elementos por alocação dinâmica – Complexidade para inserir e remover: O (1) • A primeira estrutura a ser estudada é a lista encadeada • As listas encadeadas são amplamente utilizadas para implementar diversas outras estruturas de dados com semânticas próprias 156
  • 157. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Tipos de listas: –Listas Simplesmente Encadeadas –Listas Circulares –Listas Duplamente Encadeadas 157
  • 159. www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Para cada novo elemento inserido na estrutura => alocamos um espaço de memória para armazená-lo • Assim, o espaço total de memória gasto pela estrutura é proporcional ao número de elementos armazenados • Não podemos garantir que os elementos armazenados na lista ocuparão um espaço contíguo de memória – Portanto, não temos acesso direto aos elementos da lista 159
  • 160. www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Exemplos de listas:  Lista Telefônica  Lista de clientes de uma agência bancária  Lista de setores de disco a serem acessados por um sistema operacional  Lista de pacotes a serem transmitidos em um nó de uma rede de computação de pacotes 160
  • 161. www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Para percorrer todos os elementos da lista, devemos explicitamente guardar o seu encadeamento Isso é feito armazenando-se junto com a informação de cada elemento, um ponteiro para o próximo elemento da lista 161
  • 163. www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Estrutura: – Consiste em uma sequência encadeada de elementos, em geral chamados nós (nodos) da lista – Um nó da lista é representado por um estrutura que contém dois campos: a informação armazenada e o ponteiro para o próximo elemento da lista 163
  • 164. www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • A lista é representada por um ponteiro para o primeiro elemento (ou nó) • Do primeiro elemento, podemos alcançar o segundo, seguindo o encadeamento, e assim por diante • O último elemento da lista possui um ponteiro para inválido, com valor NULL e sinaliza que não existe um próximo elemento 164
  • 165. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Lista Encadeada struct nodo { int valor; nodo* prox; }; valor prox 165
  • 166. www.professoresalgoritmos.com Principais Operações Lista Encadeada 1. Função Inserir na Lista 2. Função Imprime os elementos da Lista 3. Função Verifica se a Lista está vazia 4. Função Remover um elemento da Lista 166
  • 167. www.professoresalgoritmos.com 1- Função Inserir na Lista • Uma vez criada a lista vazia, podemos inserir nela novos elementos • Para cada elemento inserido, devemos alocar dinamicamente a memória necessária para armazenar o elemento e encadeá-lo na lista existente • Parâmetros para a função: o ponteiro para a lista e o valor/ informação do novo elemento 167
  • 168. www.professoresalgoritmos.com 1- Função Inserir na Lista • A função inserir na lista pode: – Inserir um novo elemento no fim da lista, fazendo que o último elemento aponte para NULL, – Inserir no início da lista fazendo com que o prim (primeiro ponteiro) aponte para esse novo elemento. 168
  • 169. www.professoresalgoritmos.com 2- Função Imprime os elementos • Essa função percorre todos os elementos da Lista e imprime os valores dos elementos armazenados na lista • Usamos uma variável auxiliar que é um ponteiro (aux) que aponta para cada uma das estruturas até chegar no NULL 169
  • 170. www.professoresalgoritmos.com 3- Função Verifica se a Lista está vazia • Essa função pode ser útil e utilizada em outras funções • A função recebe a lista e retorna 1 se estiver vazia ou 0 se não estiver vazia • Uma lista está vazia se seu valor é NULL 170
  • 171. www.professoresalgoritmos.com 3- Função Verifica se a Lista está vazia int ListaVazia(nodo * primeiro) { if(primeiro == NULL) return 1; else return 0; } 171
  • 172. www.professoresalgoritmos.com 4- Função Remover um elemento • Parâmetros: lista e o valor do elemento que desejamos remover da lista • Função mais complexa • Se o elemento a ser retirado for o primeiro da lista: devemos fazer 172
  • 174. www.professoresalgoritmos.com Listas Circulares • Algumas aplicações necessitam representar conjuntos cíclicos • Estrutura: o último elemento tem como próximo o primeiro elemento da lista, o que forma um ciclo • Nesse caso nem faz sentido em falar em primeiro ou último elemento já que é um ciclo – dessa forma, a lista pode ser representada por um ponteiro para um elemento inicial qualquer 174
  • 176. www.professoresalgoritmos.com Função Imprime elementos Lista Circular • Para percorrer os elementos de uma lista circular é necessário visitar todos os elementos a partir de um ponteiro do elemento inicial até alcançar novamente esse mesmo elemento 176
  • 177. www.professoresalgoritmos.com Função Imprime elementos Lista Circular void imprimeListaCircular(nodo* primeiro) { nodo* aux = primeiro; if(aux != NULL) { do{ cout<<prim->valor; aux = aux -> prox; }while (aux != primeiro); } } 177
  • 179. www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • A lista encadeada vista anteriormente, também chamada Lista Simplesmente Encadeada (LSE), caracteriza-se por formar um encadeamento simples entre os elementos: –Cada elemento armazena um ponteiro para o próximo elemento da lista 179
  • 180. www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • Problemas da LSE: – não conseguimos percorrer eficientemente os elementos em ordem inversa (do final para o início da lista) – O encademento simples também dificulta a retirada de um elemento da lista, pois não temos um ponteiro para o elemento anterior ao ser retirado 180
  • 181. www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • Solução: Listas duplamente encadeadas • Nessas listas, cada elemento tem um ponteiro para o próximo e um ponteiro para o elemento anterior • Assim, dado um elemento, podemos acessar os dois elementos adjacentes: o próximo e o anterior 181
  • 183. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Lista Duplamente Encadeada struct nodo2 { int valor; nodo* ant; nodo* prox; }; ant valor prox 183
  • 184. www.professoresalgoritmos.com Principais Operações Lista Duplamente Encadeada 1. Função Inserir na Lista 2. Função Remover um elemento da Lista 3. Função Buscar elemento na Lista 184
  • 185. www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • A função fica mais complicada, pois é necessário acertar o encadeamento duplo – Em contrapartida, podemos retirar um elemento da lista se conhecermos apenas o ponteiro para esse elemento 185
  • 186. www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • Se p representa o ponteiro do elemento que desejamos retirar, para acertar o encadeamento devemos conceitualmente fazer: p-> ant-> prox = p-> prox; p-> prox -> ant = p-> ant; Isto é, o anterior passa a apontar para o próximo, e o próximo passa a apontar para o anterior 186
  • 187. www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • Se p aponta para um elemento no meio da lista: as duas atribuições são suficientes para acertar o encadeamento • Se p aponta para um elemento no extremo da lista: – Se p for o último elemento, o elemento anterior deverá apontar para NULL quando p for removido – Se p for o primeiro elemento, o ponteiro para o primeiro deverá apontar para o próximo elemento 187
  • 188. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Implemente as principais operações para o TAD lista simplesmente encadeada 2- Implemente as principais operações para o TAD lista duplamente encadeada 188
  • 189. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 3- Analise a estrutura “no” e o procedimento “abcd”: 189
  • 190. www.professoresalgoritmos.com Exercícios Sabendo-se que as variáveis “prim” e “ult” são, respectivamente, ponteiros para o início e o final de uma lista simplesmente encadeada com 5 elementos, o procedimento “abcd” é utilizado para: [A] incluir um elemento no final da lista. [B] excluir o último elemento da lista. [C] incluir um elemento no início da lista. [D] excluir o primeiro elemento da lista. 190
  • 191. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Marque (certo) ou (errado): a) (CESPE - 2008 - TRT - 5ª Região (BA) - Técnico Judiciário - Tecnologia da Informação ) A principal característica de uma lista encadeada é o fato de o último elemento da lista apontar para o elemento imediatamente anterior. b) (CESPE - 2009 - ANAC - Técnico Administrativo - Informática)Em uma lista circular duplamente encadeada, cada nó aponta para dois outros nós da lista, um anterior e um posterior. 191
  • 192. www.professoresalgoritmos.com Exercícios (Poscomp-2011) ( ) Uma lista permite que as inserções possam ser feitas em qualquer lugar (posição), mas as remoções, não. ( ) Em uma lista circular com encadeamento simples, o primeiro elemento aponta para o segundo e para o último. ( ) Para remover um elemento de uma lista duplamente encadeada, deve-se alterar o encadeamento dos elementos anterior e próximo ao elemento removido. 192
  • 193. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 10. 193
  • 194. www.professoresalgoritmos.com TAD – Pilha Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 196. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma das Estrutura de dados mais simples é a PILHA – Por isso, é a mais utilizada em programação Principal ideia: todo acesso a seus elementos é feito a partir do topo 196
  • 197. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Quando um novo elemento é introduzido na pilha, ele passa a ser o elemento do topo • O único elemento que pode ser removido da pilha é o do topo • Os elementos da pilha só podem ser retirados na ordem inversa à ordem em que foram introduzidos: o primeiro que sai é o último que entrou (LIFO – Last in, first out) 197
  • 198. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Operações Básicas: 1. Operação empilhar (push): – inseri um novo elemento no topo da pilha 2. Operação desempilhar (pop): – remove um elemento do topo da pilha 198
  • 201. www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha a push (a) topo b a push (b) topo c b a push (c) topo 201
  • 203. www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha c b a push (a) topo pop () desempilha o c b a topo a topo pop () desempilha o b 203
  • 204. www.professoresalgoritmos.com Exemplo - Pilha • O exemplo mais próximo é a própria pilha de execução da linguagem C – As variáveis locais das funções são dispostas em uma pilha, e uma função só tem acesso às variáveis da função que está no topo • Não é possível acessar as variáveis da função locais às outras funções 204
  • 205. www.professoresalgoritmos.com Implementação de pilha com lista struct Lista { float valor; Lista* prox; }; struct Pilha { Lista* topo; }; 205
  • 206. www.professoresalgoritmos.com Pilha* cria_pilha(void) { Pilha* p = (Pilha*)malloc(sizeof(Pilha)); p->topo = NULL; return p; } void push_pilha(Pilha* p, float num) { Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista)); n->valor = num; n->prox = p->topo; p->topo = n; } int pilha_vazia(Pilha* p) { return (p->topo == NULL); } 206
  • 207. www.professoresalgoritmos.com float pop_pilha(Pilha* p) { Lista* t; float v; if(pilha_vazia(p)) { cout<<"n Pilha vazia"; exit(1); } else { t = p->topo; v = t->valor; p->topo = t->prox; free(t); return v; } } 207
  • 208. www.professoresalgoritmos.com void libera_pilha(Pilha* p) { Lista* q = p->topo; while(q != NULL) { Lista* t = q->prox; free(q); q = t; } free(p); } void imprime_pilha(Pilha* p) { Lista* q; for(q=p->topo; q!=NULL; q=q->prox) { cout<<"n "<<q->valor; } } 208
  • 209. www.professoresalgoritmos.com int main() { Pilha* pi = cria_pilha(); push_pilha(pi,2); push_pilha(pi,4); push_pilha(pi,1); imprime_pilha(pi); getch(); system("cls"); pop_pilha(pi); imprime_pilha(pi); getch(); } 209
  • 210. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Faça uma função que retorne a quantidade de elementos (tamanho) de uma pilha. 2- Faça uma função para concatenar duas pilhas, essa função deve receber as pilhas como parâmetro (observe a imagem). 2.1 4.5 1.0 P1 – topo -> 7.2 3.1 9.8 P2 – topo -> 7.2 3.1 9.8 2.1 4.5 1.0 P1 – topo -> concatena 210
  • 211. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 11. 211
  • 212. www.professoresalgoritmos.com TAD – Fila Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 214. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Outra Estrutura de dados bastante usada na computação é a FILA • O que a diferencia da pilha é a ordem de saída dos elementos: enquanto na pilha “o último que entra é o primeiro que sai”, na fila “o primeiro que entra é o primeiro que sai” 214
  • 215. www.professoresalgoritmos.com Introdução Ideia principal: só podemos inserir um novo elemento no final da fila e só podemos retirar o elemento do início. 215
  • 216. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Analogia natural com a fila do dia-a-dia: quem entra primeiro na fila é o primeiro a se atendido (ex. fila de Banco, fila do CAA, fila do Mc Donald, etc) • Os elementos da fila só podem ser retirados na ordem em que foram introduzidos: o primeiro que entra é o primeiro que sai (FIFO – First in, First out) 216
  • 217. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Operações Básicas: 1. Inserir elementos na fila: – inserir elementos em uma extremidade da fila 2. Retirar elementos da fila: – retirar elementos de outra extremidade da fila 217
  • 218. www.professoresalgoritmos.com Exemplo - Fila • Um exemplo de utilização em computação é a implementação de uma fila de impressão: – Impressora é compartilhada por várias máquinas: adotar uma estratégia para determinar o documento será impresso primeiro • Estratégia mais simples: tratar todas as requisições com a mesma prioridade e imprimir os documentos na ordem em que forem submetidos (o primeiro submetido é o primeiro a ser impresso) 218
  • 219. www.professoresalgoritmos.com Estrutura de fila com lista encadeada ini fim Info1 Info2 Info3 219
  • 220. www.professoresalgoritmos.com Implementação de fila com lista struct Lista { float info; Lista* prox; }; struct Fila { Lista* ini; Lista* fim; }; 220
  • 221. www.professoresalgoritmos.com Fila* fila_cria() { Fila* f = (Fila*)malloc(sizeof(Fila)); f->ini = NULL; f->fim = NULL; return f; } int fila_vazia(Fila* f) { return (f->ini == NULL); } 221
  • 222. www.professoresalgoritmos.com void fila_insere(Fila* f, float v) { Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista)); n->info = v; //armazena a informação n->prox = NULL; //novo no será o ultimo if(f->fim != NULL) //fila não esta vazia? { f->fim->prox = n; } else //senão a fila esta vazia { f->ini = n; } f->fim = n; //fila aponta p novo elemento } 222
  • 223. www.professoresalgoritmos.com float fila_retira(Fila* f) { Lista* t; float v; if(fila_vazia(f)) { cout<<"Fila vazia"; exit(1); //aborta o programa } t = f->ini; v = t->info; f->ini = t->prox; if(f->ini == NULL) //fila ficou vazia? { f->fim = NULL; } free(t); return v; } 223
  • 224. www.professoresalgoritmos.com void fila_libera(Fila* f) { Lista* q = f->ini; while(q != NULL) { Lista* t = q->prox; free(q); q = t; } free(f); } void fila_imprime(Fila* f) { Lista* q; for(q = f->ini; q!=NULL; q = q->prox) { cout<<" "<<q->info<<" - "; } } 224
  • 225. www.professoresalgoritmos.com int main() { Fila* f = fila_cria(); fila_insere(f, 20); fila_insere(f, 80); fila_insere(f, 10); fila_imprime(f); getch(); system("cls"); fila_retira(f); fila_imprime(f); getch(); } 225
  • 226. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Faça uma função que retorna a quantidade de elementos existem na fila. 2- Faça uma função que verifica se existe um determinado número(valor) inserido na fila. 226
  • 227. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 12. 227
  • 229. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma função é dita recursiva se definida em termos dela mesma • Ou seja, uma função é recursiva quando dentro dela está presente uma instrução de chamada a ela própria 229
  • 230. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Fatorial Recursivo int fatorial(int n) { if(n==0) { return 1; } else { return(n * fatorial(n-1)); } } 230
  • 231. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Fatorial Recursivo int main() { int num; do{ cout<<"nDigite um numero ou negativo para terminar: "; cin>>num; if(num>0) { cout<<"nO fatorial de "<<num<<" e: "<<fatorial(num); } }while(num>0); cout<<"nFim do programa"; getch(); } 231
  • 232. www.professoresalgoritmos.com Introdução • O código gerado por uma função recursiva exige a utilização de mais memória, o que torna a execução mais lenta • Não é difícil criar funções recursivas, o difícil é reconhecer as situações nas quais a recursão é apropriada • Três pontos devem ser lembrados quando queremos escrever uma função recursiva 232
  • 233. www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 1º Passo: definir o problema em termos recursivos • Isso significa definir o problema usando ele mesmo na definição • Ex.: O fatorial de um número pode ser definido por meio da seguinte expressão: n! = n * (n-1)! 233
  • 234. www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 2º Passo: encontrar a condição básica. Toda função recursiva deve ter uma condição de término chamada de condição básica • A função fatorial(), quando chamada, verifica se num é zero – Se a condição for satisfeita, interrompe a recursão 234
  • 235. www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 3º Passo: cada vez que a função é chamada recursivamente deve estar mais próxima de satisfazer a condição básica • Isso garante que o programa não girará em uma sequência infinita de chamadas • No exemplo, a cada chamada, o valor de num estará mais próximo de zero 235
  • 236. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Para entender o funcionamento de uma função recursiva, vamos imaginar que a chamada recursiva é a chamada a outra função que tenha o mesmo código da função original 236
  • 237. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } 237
  • 238. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } 238
  • 239. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } 239
  • 240. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } int fat3(int 0) { if(n == 0) { return (1); } ... } 240
  • 241. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } int fat3(int 0) { if(n == 0) { return (1); } ... } 241
  • 242. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • O que ocorre na memória é quase a mesma coisa, exceto pelo fato de que não há repetição do código da função • Observe que várias chamadas estão ativas ao mesmo tempo • Enquanto a última chamada não terminar, a penúltima não termina e assim por diante – Isso faz as variáveis de cada chamada serem todas mantidas na memória, o que requer mais memória 242
  • 243. www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? 3! 3 * 2! 2 * 1! 1* 0! 1 243
  • 244. www.professoresalgoritmos.com Característica da função recursiva • As funções recursivas devem ter: – Ponto de Parada: resolvido sem utilização de recursividade, sendo este ponto geralmente um limite superior ou inferior da regra geral. – Regra Geral: o método geral da recursividade reduz a resolução do problema através da invocação recursiva de casos mais pequenos, sendo estes casos menores resolvidos através da resolução de casos ainda menores, e assim sucessivamente, até atingir o ponto de parada que finaliza o método. 244
  • 245. www.professoresalgoritmos.com Característica da função recursiva • Exemplo Fatorial(n) = (n == 0) 1 // Ponto de parada (n)  n * (n-1)! // Regra geral 245
  • 247. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói void mover(int n, char orig, char temp, char dest) { if(n==1) { cout<<"n Mova o disco 1 da haste "<<orig<<" para haste "<<dest; } else { mover(n-1, orig, dest, temp); cout<<"n Mova o disco "<<n<<" da haste "<<orig<<" para haste "<<dest; mover(n-1, temp, orig, dest); } } 247
  • 248. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói int main() { mover(3, 'A', 'B', 'C'); getch(); } 248
  • 250. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Impressão de um seqüência de números void print_numero(int num) { if (num > 0) { print_numero(num-1); cout << num << " "; } } void print_numero_inv(int num) { if (num > 0) { cout << num << " "; print_numero_inv(num-1); } } int main() { int numero; cout << "Digite o numero inicial: "; cin >> numero; print_numero(numero); cout << endl; print_numero_inv(numero); cout << endl; system("pause"); } 250
  • 251. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Resto da divisão de um número por outro (método sem recursão) #include <iostream.h> int resto(int x, int y) { while(x >= y) { x = x –y; } return( x ); } int main() { int num, den; cout << "Digite o numerador: "; cin >> num; cout << "Digite o denominador: "; cin >> den; cout << resto(num, den); cout << endl; system("pause"); } 251
  • 252. www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Resto da divisão de um número por outro (método recursivo) #include <iostream.h> int resto(int x, int y) { if (x < y) return(x); return( resto(x - y, y) ); } int main() { int num, den; cout << "Digite o numerador: "; cin >> num; cout << "Digite o denominador: "; cin >> den; cout << resto(num, den); cout << endl; system("pause"); } 252
  • 253. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Escreva uma função recursiva denominada potencia() que aceite dois parâmetros inteiros positivos i e j. A função retorna i elevado a potência j. Por exemplo: potencia(2,3) é igual a 8. Use a seguinte definição: i elevado à potência j é igual a i elevado à potência j-1 vezes i 253
  • 254. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Escreva uma função recursiva de nome soma() que receba um número inteiro positivo n como argumento e retorne a soma dos n primeiro números inteiros. Por exemplo, se a função receber n= 5, deve retornar 15, pois 15 = 1+2+3+4+5 254
  • 255. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 11. 255
  • 256. www.professoresalgoritmos.com TAD – Árvores Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 258. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Estruturas de dados chamadas lineares como vetores e listas não são adequadas para representar dados que devem ser dispostos e maneira hierárquica – Exemplo: arquivos (documentos) que criamos em um computador são armazenados dentro de uma estrutura hierárquica de diretórios (pastas) – Existe um diretório base dentro do qual podemos armazenar diversos subdiretórios e arquivos 258
  • 259. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Árvores: são estruturas de dados adequadas para a representação de hierarquias – A forma mais natural de definir uma estrutura de árvore é usando a recursividade • Recursividade: habilidade de uma função chamar a si mesma 259
  • 260. www.professoresalgoritmos.com Recursividade • Uma função poderá também ser considerada recursiva se chamar outras funções que, em algum momento, chamem a primeira função, tornando esse conjunto de funções um processo recursivo. • Cada vez que uma função é chamada de forma recursiva, é guardada uma cópia dos seus parâmetros de forma a não perder os valores dos parâmetros das chamadas anteriores. 260
  • 261. Árvores Uma árvore é composta por: • um nó Raiz, denominado r, que contém zero ou mais sub árvores • nós folhas ou extremos, que não possuem filhos 261
  • 263. www.professoresalgoritmos.com Árvores • É tradicional desenhar as estruturas de árvores com a raiz para cima e as folhas para baixo • Não fica explicita a direção dos ponteiros – Fica subentendido que os ponteiros apontam sempre do pai para os filhos – Os tipos de árvores existentes são diferenciados pelo número de filhos por nó e as informações armazenadas em cada nó 263
  • 264. Árvores Binárias • Exemplo de utilização: avaliação de expressões • Como trabalhamos com operadores que esperam um ou dois operandos, os nós da árvore para representar uma expressão têm no máximo dois filhos 264
  • 265. Árvores Binárias • nós folhas representam os operandos • nós internos representam operadores • No exemplo, a expressão representada é a: (3+6) * (4-1) + 5 265
  • 266. Árvores Binárias • Em uma árvore binária, cada nó tem zero, um ou dois filhos. • Recursivamente, podemos definir uma árvore binária como sendo: – uma árvore vazia, ou – um nó raiz tendo duas subárvores, identificadas como a subárvore da direita (sad) e a subárvore da esquerda (sae) raiz sae sad Vazia * A definição recursiva será usada na construção de algoritmos e na verificação (informal) da correção e do seu desempenho 266
  • 267. www.professoresalgoritmos.com Árvores Binárias a b c d e f Os nós a, b, c, d, e e f formam uma árvore binária: - Sub árvore à esquerda formada por b e d - Sub árvore à direita formada por c, e e f - A raiz da árvore representada pelo nó a - As raízes das sub árvores representadas pelos nós b e c - Folhas representadas pelos nós d, e e f - Além disso, cada nó folha representa uma árvore, com duas sub árvores vazias. 267
  • 268. www.professoresalgoritmos.com Árvores Binárias a b c d e f Podemos usar a seguinte notação textual: - A árvore vazia é representada por < > - e a árvore não vazia, por <raiz sae sad> Para o nosso exemplo: <a<b< ><d< >< >>><c<e< >< >><f< >< >>>> 268
  • 269. www.professoresalgoritmos.com Representação • De modo semelhante ao que fizemos para as demais estruturas, podemos definir um tipo para representar uma árvore binária struct arv { char info; arv* esq; arv* dir; }; 269
  • 270. www.professoresalgoritmos.com Representação • Da mesma forma que uma lista encadeada é representada por um ponteiro para o nó para o primeiro nó, a estrutura da árvore é representada por um ponteiro para o nó raiz • Dado o ponteiro para o nó raiz tem-se acesso aos demais nós 270
  • 271. www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Cria árvore vazia –Como uma árvore é representada pelo endereço do nó raiz, uma árvore vazia tem de ser representada pelo valor NULL 271
  • 272. www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Cria árvore não-vazia: – Para construir árvores não-vazias, podemos ter uma operação que cria um nó raiz dadas a informação e as duas sub árvores, a da esquerda e a da direita – Essa operação tem como retorno o endereço do nó raiz criado 272
  • 273. www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Imprime árvore: – Consiste em exibir todo o conteúdo da árvore – Essa função deve percorrer recursivamente a árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua informação – Como uma árvore binária ou é vazia ou é composta pela raiz e por duas sub árvores 273
  • 274. www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Imprime árvore: – Portanto, para imprimir a informação de todos os nós da árvore devemos primeiro testar se ela é vazia – se não for, imprimimos a informação associada à raiz e chamamos (recursivamente) a função para imprimir as sub árvores 274
  • 275. www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Libera árvore: – Operação para liberar a memória 275
  • 276. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 13. 276
  • 277. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento em Árvores Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 278. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Dois argumentos favoráveis às árvores: 1. as árvores são bem apropriadas para representar a estrutura hierárquica de um certo domínio 2. o processo de busca é muito mais rápido usando árvores do que listas encadeadas • No entanto, o 2º argumento, nem sempre se mantém 278
  • 279. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Observe as árvores, todas elas armazenam os mesmos dados, mas obviamente, a árvore (a) é a melhor e a (c) é a pior. (a) (b) (c) 279
  • 280. www.professoresalgoritmos.com Introdução • O que acontece nas árvores (b) e (c) é que elas são assimétricas, portanto, não são distribuídas uniformemente (a) (b) (c) 280
  • 281. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma árvore é dita balanceada quando as suas sub-árvores à esquerda e à direita possuem a mesma altura. • E todos os nós vazios estão no mesmo nível, ou seja, a árvore está completa. • A árvore que não está balanceada, define-se como degenerada 281
  • 283. www.professoresalgoritmos.com Introdução • Como em uma árvore binária cada nó pode ter dois filhos, o número de nós em um certo nível é o dobro do número de ascendentes que residem no nível prévio Altura Nível Nós em um nível 1 0 2 ^ 0 = 1 2 1 2 ^ 1 = 2 3 2 2 ^ 2 = 4 4 3 2 ^ 3 = 8 283
  • 284. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Pode ser: –Balanceamento Estático –Balanceamento Dinâmico: AVL 284
  • 285. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Balanceamento Estático –O balanceamento estático de uma árvore binária consiste em construir uma nova versão, reorganizando-a. 285
  • 286. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Balanceamento Dinâmico: AVL – Árvore AVL em homenagem aos matemáticos russos (Adelson-Velskii e Landism -1962) – Uma árvore AVL é uma árvore binária de pesquisa onde a diferença em altura entre as subárvores esquerda e direita é no máximo 1 (positivo ou negativo). • A essa diferença chamamos de “fator de balanceamento” de n(FatBal (n)). • Essa informação deverá constar em cada nó de uma árvore balanceada 286
  • 287. www.professoresalgoritmos.com Árvore AVL • Árvore AVL (ou árvore balanceada pela altura) • Assim, para cada nodo podemos definir um fator de balanceamento (FB) , que vem a ser um número inteiro igual a: • O Fator de uma folha é sempre Zero (0) FB(nodo p) = altura(subárvore direita p) - altura(subárvore esquerda p) 287
  • 288. www.professoresalgoritmos.com Exemplos de Árvores AVL • Os números nos nodos representam o FB para cada nodo. • Para uma árvore ser AVL os fatores de balanço devem ser necessariamente -1, 0, ou 1. 288
  • 290. www.professoresalgoritmos.com Árvore AVL • Se o fator de balanceamento de qualquer nó em uma árvore AVL se tornar menor do que -1 ou maior do que 1 – a árvore tem que ser balanceada – Um arvore AVL pode ser tornar desbalanceada em quatro situações, mas somente duas delas necessitam ser analisadas • as outras duas são simetricas 290
  • 291. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Inicialmente inserimos um novo nodo na árvore. – A inserção deste novo nodo pode ou não violar a propriedade de balanceamento. • Caso a inserção do novo nodo não viole a propriedade de balanceamento – Podemos então continuar inserindo novos nodos. 291
  • 292. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Caso contrário precisamos nos preocupar em restaurar o balanço da árvore. – A restauração deste balanço é efetuada através do que denominamos ROTAÇÕES na árvore. – “Rotações” => movimentações dos nós, pode ser feito a medida que um nó é inserido 292
  • 293. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Primeiro caso: resultado de inserir um nó na subárvore da direita do filho à direita (ver próximo slide) – Inserindo um nó em algum lugar da subarvore da direita de Q, perturba o balanceamento da árvore P – Para resolver: girar o nó Q ao redor de seu ascendente P, de modo que o fator de balanceamento tanto de P como de Q se torna zero, o que é ainda melhor do que no princípio 293
  • 295. www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Segundo caso: resultado de inserir um nó na subárvore da esquerda do filho à direita (ver próximos slides) – Para trazer a árvore de volta ao balanceamento, uma dupla rotação é realizada – O balanço da árvore P é restaurado girando-se R ao redor do nó Q e então girando-se R novament, dessa vez ao redor do nó P 295
  • 299. www.professoresalgoritmos.com Dicas: Árvore AVL 1. Para identificarmos quando uma rotação é simples ou dupla observamos os sinais de FatBal: – se o sinal for igual, a rotação é simples. – se o sinal for diferente a rotação é dupla. 2. Se FB + rotação para esquerda 3. Se FB - rotação para direita 299
  • 300. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Considere a inserção dos seguintes valores (nesta ordem) em uma árvore AVL: 5,3,8,2,4,7,10,1,6,9,11. Para essas inserções nenhuma rotação é necessária. Desenhe a árvore AVL resultante e determine o fator de balanceamento de cada nó. 300
  • 301. www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Construir uma árvore AVL com os seguintes dados: • Inserir inicialmente 10, 20, 30 • Se necessário fazer balanceamento • Inserir 25 e 27 • Se necessário fazer balanceamento 301
  • 302. www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • DROZDEK, Adam. Estruturas de dados e algoritmos em c++. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Tradução: Luiz Sérgio de Castro Paiva. Capítulo: 6. 302
  • 303. www.professoresalgoritmos.com Pesquisa em Memória Primária Árvore Binária de Busca Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
  • 305. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • O algoritmo de busca binária apresentado tem bom desempenho computacional • e deve ser usado quando temos os dados ordenados armazenados em um vetor 305
  • 306. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Mas se precisarmos inserir e remover elementos da estrutura e ao mesmo tempo dar suporte a funções de busca eficientes, a estrutura de vetor – (e, consequentemente, a busca binária) não se mostra adequada • Para inserir um novo elemento em um vetor ordenado, temos de rearrumar os elementos no vetor para abrir espaço para inserção do novo elemento 306
  • 307. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Uma situação semelhante ocorre quando removemos um elemento do vetor • Sendo assim, precisamos de uma estrutura dinâmica que dê suporte a operações de busca • No caso, podemos usar a estrutura estudada: Árvore Binária 307
  • 308. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • As árvores binárias aqui consideradas têm uma propriedade fundamental: – o valor associado a raiz é sempre maior do que os valores associados a qualquer nós das subárvores • Essa propriedade garante que quando percorremos a árvore em ordem simétrica (sae – raiz – sad), os valores são encontrados em ordem crescente 308
  • 309. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca 8 4 9 1 2 Ordem simétrica: 1 - 4 - 2 - 8 - 9 sae sad 309
  • 310. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Uma variação possível permite a repetição de valores na árvore: – o valor associado à raiz é sempre maior do que o valor associado a qualquer nó da sae – e é sempre menor ou igual ao valor associado a qualquer nó sad • Nesse caso, como a repetição de valores é permitida, quando a árvore é percorrida em ordem simétrica, os valores são encontrados em ordem não decrescente 310
  • 311. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Ao usar a propriedade de ordem simétrica, a busca de um valor em uma árvore pode ser feita de forma eficiente • Para procurar um valor numa árvore, comparamos o valor que buscamos ao valor associado à raiz – Em caso de igualdade, o valor foi encontrado – Se o valor for menor, a busca continua em sae – Se o valor for maior, a busca continua em sad 311
  • 312. www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Exemplo: 6 2 8 1 4 3 312