RiPProで使用するスライドです．逆元を計算します．

1. 逆元の計算
xryuseix

2. @ryusei_ishika
xryuseix
RiPPro (leader), RiST (sub-Leader)
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2
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Self-introduction

3. お先に
3
𝐴 + 𝐵 = 𝐴%𝑃 + 𝐵%𝑃 %𝑃
𝐴 − 𝐵 = 𝐴%𝑃 + 𝑃 − 𝐵%𝑃 %𝑃
𝐴 × 𝐵 = 𝐴%𝑃 × 𝐵%𝑃 %𝑃

4. やりたいこと
4
A / B (mod P) を計算したい
A * X (mod P) なら計算できるので，
1/B=X (mod P)となるXが知りたい．

5. 逆元とは
5
𝑋−1 ≡
1
𝑋
(𝑚𝑜𝑑 𝑃)
逆元 分数

6. フェルマーの小定理とは
6
𝑎 𝑃−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑃)
https://qiita.com/drken/items/6b4031ccbb2cab7436f3

7. 逆元の計算
7
𝑎 𝑃−2
≡
1
𝑎
(𝑚𝑜𝑑 𝑃)
𝑎 𝑃−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑃)
両辺をaで割る

8. 逆元の計算
8
𝑎 𝑃−2
≡
1
𝑎
(𝑚𝑜𝑑 𝑃) 𝑋−1 ≡
1
𝑋
(𝑚𝑜𝑑 𝑃)
𝑎 𝑃−2 ≡ 𝑎−1 (𝑚𝑜𝑑 𝑃)

9. 逆元の計算
9
𝑎 𝑃−2 ≡ 𝑎−1 (𝑚𝑜𝑑 𝑃)
aの逆元aのP-2乗
mod Pの世界で，aをP-2乗するとaの逆元となる
つまり，aで割るという操作はaのP-2乗をかけることと等しい
Point !!

10. 逆元の計算 ~実装~
10
このままだと計算量は
O(𝑃) (P=10^9+7)

11. 繰り返し二乗法とは
11
X22
= 𝑋2+4+16
= 𝑋2
∗ 𝑋4
∗ 𝑋16
= 𝑋21
× 𝑋22
× 𝑋24
また，
22 = 10110(2) = 21 + 22 + 24

12. 逆元の計算 ~繰り返し二乗法~
12
これで計算量は
O(log2 𝑃) (P=10^9+7)

13. 逆元の計算 ~結論~
13
A
𝐵
≡ 𝐴 × 𝐵−1
≡ 𝐴 × 𝐵 𝑃−2
(mod P)
逆元
A
𝐵
%𝑃 ⇒ (𝐴%𝑃 × (𝐵 𝑃−2
%𝑃))%𝑃
実際に計算する時

14. 逆元の計算 ~拡張ユークリッドの拡張~
14
𝑎𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑃)
𝑎𝑥 = 1 + 𝑃𝑦
𝑎𝑥 + −𝑃𝑦 = 1
→ 一次不定方程式の解

15. 演習課題
15
A.
整数が9個あり，それぞれの値は
[ 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 ]
です．並べ方は幾つでしょう？
B.
アルファベットが26*(26+1)/2
個あります．
Aが1個，Bが2個，…Zが26個で
す．並べ方は幾つでしょう？