Бизнес математика с Excel 2010

Бизнес Математика: Стойността на Парите във Времето

Бизнес Математика
Стойността на Парите във
Времето

Магистърска програма
“Управление на Иновациите и Изследователската Дейност” www.innovation-research.org


Концепцията за стойността
на парите във времето
Всички сме чували поговорката „Времето струва пари“. Тази фраза означава, че един лев днес
има по- голяма стойност от един лев в някакъв бъдещ период.

На какво се дължи това несъответствие между парите днес и парите в бъдеще? Обикновенно
тази несъразмерност се обяснява с фактори като инфлация и различни типове риск. Ако днес
разполагаме с 1 000 лв. можем веднага да ги похарчим, например за спортни принадлежности.
След една година, ако инфлацията нарастне с 10% най-вероятно няма да можем да си купим
спортните принадлежности или поне не в същото количество. Парите ни ще се обезценят,
“Времето цените на стоките ще нарастнат. Парите днес са по- ценни защото знаем, че можем със
струва пари.” сигурност да ги оползотворим, докато бъдещето е неизвестно. Всякакви събития могат да
настъпят и да ни лишат от възможността да им се радваме.

За нас обаче като предприемачи, парите днес са по- ценни от парите в бъдеще поради уникалното
им качество да нарастват във времето като ни носят лихва. Не е едно и също да имаме 1 000
лв. днес и същата сума след една година. Ако разполагаме с парите днес можем например да
ги вложим в банка при 10% лихва и така след една година ще имаме по сметката си 1 100 лв.
Следователно би било честно да избираме между 1 000 лв. днес и 1 100 лв. след една година.
Тези две суми са съразмерни за нас, защото и двете ни дават възмножност да си закупим същото
количество спортни принадлежности. В тази лекция ще се научим как да сравняваме суми,
които възникват в различен момент във времето.

Лихвата е такса за привилегията да ползваме пари. Ако вземем пари от банката тя ще ни таксува
за това, че ползваме финансовия и ресурс като ни начисли лихва, която трябва да изплатим. Ако
пък ние дадем пари на банката, под формата на влог например, тя ще трябва да ни плати лихва
за това, че ползва нашият финансов ресурс.


Нека се запознаем с някои основни термини във финансовата математика – Настояща стойност,
Бъдеща стойност, Срок на инвестицията, Лихвен процент. Настоящата стойност (още
главницата) ще обозначаваме с абревиатурата PV (от англ. Present Value), Бъдещата стойност
с FV (от англ. Future value), Срока на инвестицията с t (от англ. Time) и Годишният лихвен
процент с r (от англ. Rate). При всяко едно изчисление трябва да има съответствие между (r) и
(t).

• Настояща стойност – (PV)
• Бъдеща стойност – (FV)
• Лихвен процент – (r)
• Срок на инвестицията – (t)

Да примем, че влагаме във банката 1 000 лв. за срок от една година. Банката ни предлага годишна
лихва в размер на 10%. След една година би трябвало да си вземем обратно парите със 100
лв. повече (10% от 1 000 лв.). Настоящата стойност (PV), парите които влагаме в настоящия
момент е 1 000 лв. Бъдещата стойност (FV) е равна на 1 100 лв. Срока на инвестицията (t) е
една година, а Лихвения процент (r) e 10%.

Това са четирите компонента, които винаги ще използваме при нашите изчисления. Три от тях
ще ни бъдат дадени и ще трябва посредством елементарни операции да намерим четвъртия
компонент.



Проста Лихва
След като се запознахме с основните термини да видим какво точно представлява Простата
лихва. Истината е, че тя намира сравнителни малко приложение в бизнеса, но е важна защото
Какво представлява
простата лихва и как се дава фундамента за всички лихвени изчисления.
изчислява?
Простата лихва се намира с помощта на следната формула:

I = PV × r ×t

I = Лихва (в лева)
PV = Настояща стойност (в лева)
r = Годишен лихвен процент
t = Срок на инвестицията (в години)

Намиране на Бъдеща стойност (FV) с проста лихва
Бъдещата стойност на една инвестиция при просто олихвяване е сума от главницата и лихвата.
Нека разледаме един пример:

Депозираме сумата от 1 000 лв. за срок от 3 години в банка, която ни предлага годишна лихва
в размер на 8%. Колко пари ще имаме по сметката си в края на третата година при просто
олихвяване? На следващата страница казусът е представен графично.



PV = 1 000
0 1 2 3
r = 8%
PV 1 000 FV
t =3

FV =

Три от четирите компонента са ни дадени- Настоящата стойност, Лихвеният процент и Срока
на инвестицията. Търсим Бъдещата стойност. При 8% лихва всяка година банката ще ни плаща
наем за вложените от нас пари в размер от 80 лв. (8% от 1 000 лв.). За три години този наем
възлиза на 240 лв. (3x80). В края на третата година банката трябва да ни върне и 1 000 лева,
които и бяхме заели. Обърнете внимание, че лихвата от 8% винаги се прилага към главницата
от 1 000 лв. Всяка от трите години банката ни плаща 80 лв. След малко ще видим, че не така
стоят нещата при сложната лихва. Решението на казуса е следното:

I = PV × r ×t
I = 1000 × 0.08 × 3
I = 240
Общо акумулираната по сметката ни сума или Бъдещата стойност е 1 240 лв.

FV PV + I
=
FV = PV + ( PV × r ×t )
FV PV (1 + r ×t )
=
FV= 1000 (1 + 0.08 × 3)
FV = 1240


Формулата за намиране на Бъдеща стойност при просто олихвяване може да се представи и по
следния начин:

FV PV (1 + r ×t )
=

Намиране на Настояща стойност с проста лихва
В практиката по- често се търси Настоящата стойност (PV). Настоящата стойност лесно може
да бъде намерена чрез елементарно преобразуване на горното уравнение. Да разгледа как става
това с пример.

Необходими са ви 15 000 лв. след 9 месеца. Решавате да заделите пари още сега за да посрещнете
Пример бъдещите си нужди. Ако банката ви предлага 6.05% годишна лихва, колко трябва да вложите
сега за да имате след 9 месеца по сметката си 15 000 лв.? Необходимо е просто да заместим във
формулата за намиране на Бъдеща стойност с проста лихва.
15000 = (1 + 0.0605 × 9 / 12 )
PV
15000 = PV (1.045375 )
PV = 15000 / 1.045375
PV = 14348.92
Можем да представим формулата за намиране на настояща стойност по следния начин:

FV
PV =
(1 + r × t )



Пример Намиране на срока на инвестицията с проста лихва
Колко време е необходимо сумата от 1 000 лв. да нарастне до 1 100 лв. при годишна лихва от
5.8%?
FV PV (1 + r ×t )
=
1100 = 1000 (1 + 0.058 ×t )
1100 / 1000 =1 + 0.058 ×t
1 + 0.058 ×t
1.1 =
= 0.058 ×t
0.1
t = 1.72

Намиране на лихвеният процент с проста лихва
При какъв годишен лихвен процент трябва да инвестирате 1 000 лв. за да получите след една
година 1 250 лв. ?

FV PV (1 + r ×t )
=
= 1000 (1 + r )
1250
1.25= 1 + r
r = 25%



Сложна Лихва
При простата лихва, както вече посочихме, лихвеният процент винаги се прилага към
главницата или първоначално инвестираната сума (PV) и така парите ни нарастват с една и
Какво представлява
сложната лихва и как се съща стойност всеки един период. При сложната лихва, лихвата от предходният период се
изчислява? прибавя към главницата и тогава се прилага лихвеният процент. Така парите ни се увеличават
с нарастващ темп.

Ако нищо не сте разбрали от предходното обяснение не се притеснявайте, до края на тази глава
стъпка по стъпка ще обясним сложнолихвените изчисления с много примери.

Бъдеща стойност
Нека започнем отново с намирането на Бъдеща стойност. Обърнете внимание, че търсената
величина е Бъдещата стойност (FV), а срока на инвестицията винаги е в години.

Инвестираме в банка сумата от 100 лв. за срок от една година при 10% лихва. С колко пари
Пример ще разполагаме в края на срока на инвестицията или казано по друг начин, какъв е размера на
Бъдещата стойност (FV)?

PV =

0 1
r = 10%
PV FV
100
t =1

FV = 100


Не е трудно да се намери отоговорът от 110 лв. Как стигнахме до този отговор.? Лихвеният
процент се прилага върху инвестираната сума от 100 лв. (PV) за да получим лихвата (100x0.10)
= 10 лв. прибавяйки тази сума към нашите 100 лв. получаваме 110 лв. Казано по друг начин
за всеки инвестиран лев сме спечелили 10 ст. Когато инвестицията ни е за една година няма
значение дали използваме сложна или проста лихва, резултатът е един и същ. Нещата обаче
излеждат по коренно различен начин при инвестиции за срок по– дълъг от една година.

Какво ще стане с нашият влог ако оставим в банката първоначално инвестираната сума от 100
лв. и не изтеглим натрупаната от първата година лихва от 10 лв. или оставяме в банката сумата
от 110 лв. за още една година? При условие, че няма промяна в лихвеният процент в края на
втората година ще имаме по сметка сумата от 121 лв. (110 x 0.10). Тези 121 лв. са Бъдещата
стойност на инвестираните сега 110 лв. за срок от една година при 10% лихва или бъдещата
стойност на инвестираните 100 лв. за срок от две години при същите условия. Тази сума от
121 лв. има четири компонента. Първият е влогът от 100 лв., вторият е 10 лв. лихва, която се
натрупа по сметката ни от първата година, третият е също 10 лв., които се натрупват от втората
година и посленият компонент е 1 лев, който представлява лихвата, която сме спечелили от
натрупаната от първата година лихва от 10 лв., която не изтеглихме, а оставихме да се олихвява
за една година. Тази лихва от 10 лв. ни носи лихва от 1 лв. (10 x 10%). Ето тук най- ясно
се вижда ефекта на сложната лихва, акумулираната лихва от първата година се прибавя към
инвестицията от 100 лв. и така през втората година прилагаме лихвеният процент от 10%, вече
върху нарастналата с лихвата от първата година сума. При простата лихва лихвеният процент
винаги се прилага върху една и съща сума, в нашият случай това е влогът от 100 лв. Мисля,
че всеки ще се съгласи, че сложната лихва е справедлива. Ако банката всяка година ни дава
лихва от 10 лв. без да отчита това, че ползва натрупаната от предходните години лихва би било
глупаво от наша страна да не изтеглим лихвите и да ги вложим някъде където ще ни носят
доход. В противен случай банката ще ги ползва без да плаща нищо за това.



Разгледайте внимателно следващата графика и уравнения:

PV = 100
0 1 2
r = 10%
PV FV
100
t =2
x1.10 x1.10
110
FV =
121 110 × 1.1
=
= (100 × 1.1) × 1.1
= 100 (1.1 × 1.1 )
= 100 × 1.12
= 100 × 1.21

От този пример можем да изведем основната формула за изчисляване на Бъдеща стойност:

t
= PV (1 + r )
FV



Всяка година влогът нараства с фактор (1 + r ), който в нашият случай е (1 + 0.10) = 1.1 Лесно
можем да намерим Бъдещата стойност като първо изчислим стойността на този фактор и след
това умнoжим по инвестираната сума.

t 2
(1 + r ) =1 + 0.10 )
( =1.21
FV
= 1000 × 1.21
FV = 121

Пример Инвестираме в банка сумата от 5 000 лв. за срок от 8 години при годишна лихва от 7%. Намерете
FV.

PV = 5 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8

PV 5 000 FV
r = 7%

t =8
t
= PV (1 + r )
FV
FV = = 5000 (1 + 0.07 )
FV
8

FV = 8590.93



Бъдеща стойност с Excel 2010


Бизнес математика с Excel 2010

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Andere mochten auch (16)

Бизнес математика с Excel 2010