"El álgebra lineal es una herramienta fundamental en muchos campos de la ciencia y la tecnología. Es particularmente importante en la física, la ingeniería, la informática y la estadística. La capacidad de manipular eficientemente grandes cantidades de datos y matrices complejas es esencial en estas áreas para la resolución de problemas y la toma de decisiones. A priori, puede dar la sensación de que estamos muy lejos del uso del álgebra lineal en nuestro día a día. Sin embargo, algunas técnicas como la descomposición en valores singulares y la regresión lineal para entrenar modelos y hacer predicciones precisas están detrás de la inteligencia artificial y el aprendizaje automático. ¿Te suena ChatGPT? Puede no parecerlo, pero el álgebra lineal también está detrás en algunos de sus procesos. Por este motivo, debemos seguir trabajando en este campo, ya que su importancia seguirá creciendo a medida que se generen y analicen grandes cantidades de datos en el mundo actual. "

1. ¿Por qué debemos seguir
trabajando en álgebra
lineal?
Sandra Catalán Pallarés
Universitat Jaume I

2. ¿Qué es el álgebra lineal?
Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y las
transformaciones lineales entre ellos.

3. Software para álgebra lineal
BLAS
LAPACK
Aplicaciones

4. Software para álgebra lineal
BLAS LAPACK
Basic Linear Algebra Subprograms Linear Algebra PACKage
Estándar de facto
Implementaciones específicas: Intel MKL, AMD ACML, IBM ESSL…
Rutinas para realizar operaciones sencillas
como el producto matriz-vector
Rutinas para realizar operaciones
complejas como factorizaciones de
matrices o resolución de sistemas lineales

5. Historia
1970 1980 1990 2000 2010 2020
Procesadores
vectoriales
BLAS-1
BLAS-2
BLAS-3
LAPACK
Procesadores
Multinúcleo

6. ¿De qué vamos a hablar?
GFLOPS MATRICES

7. Matrices y el producto de matrices
Representación y manipulación de imágenes
Procesamiento de señales
Resolución de sistemas de ecuaciones
lineales
Redes neuronales
Optimización y análisis de datos

8. Software para álgebra lineal
BLAS-3
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

9. General Matrix-Matrix Multiplication (GEMM)
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
C[i][j]=0;
for(l=0;l<k;l++)
{
C[i][j]+=a[i][l]*b[l][j];
}
}
}
✓ Resultado correcto
 Bajo rendimiento

10. Jerarquía de memoria
• https://www.cadalyst.com/design-related-technologies/workstations/traditional-computer-memory-hierarchy-%E2%80%94-and-
its-impact-cad-

11. GEMM Optimizada
✓ Resultado correcto
✓ Buen rendimiento

12. Optimizaciones en LAPACK
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

13. Aproximación tradicional: Fork-join
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

14. Alternativa: look-ahead
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

15. Alternativa: maleabilidad
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

16. Alternativa: maleabilidad + early termination
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

17. Resultados

18. Optimizaciones en LAPACK: arquitecturas
NUMA
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

19. Optimizaciones en LAPACK: arquitecturas
NUMA
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

20. Resultados

21. Optimizaciones en BLAS: procesadores
asimétricos
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

22. Resultados

23. Resultados

24. Optimización de GEMM: parámetros de cache
y micro-kernels
BLAS
LAPACK
Aplicaciones
GEMM

25. Resultados

26. Resultados

27. Conclusiones
• Álgebra lineal utilizada en muy diversos campos
• Optimizaciones posibles a distintos niveles
• Optimizaciones en función del algoritmo, hardware y forma de los
operandos
• Trabajo futuro: nuevas arquitecturas, nuevos algoritmos, consumo
energético

28. Muchas gracias por vuestra atención.
¿Alguna pregunta?