Đề thi học sinh giỏi

1. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
1Hongtriquang.edu.vn
Lever 3 Cấp độ tương đương đề thi học sinh giỏi tỉnh
Để xem đầy đủ tuyển tập đề thi và đáp án, các bạn có thể tham gia Khóa luyện đề bắt đầu từ
tháng 3 đến tháng 6
ĐỀ SỐ 51
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2011-2012
Bài I: (5 điểm)
1) Cho biểu thức 2012 2012 2012 2008 2008 2008
( ) ( )A a b c a b c      với a, b, c là các số nguyên
dương. Chứng minh A chia hết cho 30
2) Cho 3 2012
( ) (2x 21x 29)f x    Tính f(x) tại 3 3
49 49
x 7 7
8 8
   
Bài II: (5 điểm)
1.Giải phương trình: 2 2
12 5 3 5x x x     2.Giải hpt
2 2
2 2
2 0
6
x xy x y y
x y x y
     

   
Bài III (2 điểm) Giải pt nghiệm nguyên dương : 2 2
2 3 5 3 4 0x y xy x y     
Bài IV (4 điểm)
Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC ( A không trùng với B, C) Gọi H
là hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AO MN
2) Cho AH= 2 cm, BC= 7 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC
Bài V (4 điểm)
1) Gọi 1 2 3, , ,h h h r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một
tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 2 3 3 1
1 1 1 1
2 2 2 3rh h h h h h
 
  
2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm
đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012
điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
2Hongtriquang.edu.vn
ĐỀ SỐ 52
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2012-2013
Câu 1. (5 điểm)
a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức: 4 3 2
4 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức
2
2 3x x 
b) Cho biểu thức 2013 2012 2011 2013 2012 2011
(a 8 11 ) ( 8 11 )P a a b b b      . Tính giá trị của biểu
thức P với 4 5a   ; 4 5b  
Câu 2. (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
6 5 5 6 0
20 28 9 0
x y xy x y
x y x
      

   
b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
6 10 2 28 18 0x y xy x y     
Câu 3. (2 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 2 3
3
a b c
   . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
27 8 3
c(c 9 ) a(4a ) b(9b 4 ) 2
a b c
a b c
  
  
Câu 4. (7 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC.
Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai
đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Câu 5. (1 điểm). Cho 2013 điểm 1 2 2013; ;...A A A và đường tròn (O;1) tùy ý cùng nằm trong mặt
phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó ta luôn có thể tìm được điểm M sao cho
1 2 2013...M 2013MA MA A  
ĐỀ SỐ 53
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2013 - 2014

3. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
3Hongtriquang.edu.vn
Bài I: (5 điểm)
1) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 2014;
1 1 1 1
2014a b c
   Tính giá trị của:
2013 2013 2013
1 1 1
M
a b c
  
2) Tìm số tự nhiên n để
2
2 6 2
5 12n n 
 là số nguyên tố
Bài 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình: 2
2 2 2 1 2 0x x x    
2) Giải hệ phương trình:
2 2
4 4 2 2 2
4 5 2
9 5 4 2
x y z xy
x y z z x y
    

    
Bài 3 (2 điểm) Cho các số thực thỏa mãn: 0 4;0 4;0 4a b c      và a + b + c = 6. Tìm
GTLN của biểu thức: 2 2 2
P a b c ab bc ca     
Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC, tia AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại N (N khác M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng
minh
2
BAC IP
sin
IN

c) Gọi các điểm D, E lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh AB, AC. Gọi điểm H, K lần
lượt đối xứng với các điểm D, E qua I. Biết rằng AB + AC = 3BC, chứng minh các điểm B,
C, H, K cùng thuộc 1 đường tròn
Bài 5 ( 2 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 2 1x y
 
2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các
tia AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các
điểm 1 2 3 4 5 6, , , , ,M M M M M M (các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F).
Chứng minh lục giác 1 2 3 4 5 6M M M M M M có ít nhất 1 cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1./.
ĐỀ SỐ 54
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2014 - 2015

4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
4Hongtriquang.edu.vn
Bài I: (5 điểm)
1) Cho a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và
1 1 1
a b c
a b c
     . Chứng minh rằng có ít nhất một
trong các số a, b, c bằng 1.
2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 3 1 3 1
2 2 1n n
A  
   là hợp số
Bài 2. (5đ)
1) Giải phương trình: 2
3 2 3 6 4x x x x   
2) Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
   

 
Bài 3. (2đ) Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 1 1
3
a b c
   , tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
P
a ab b b bc c c ca a
  
     
Bài 4. (6đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao
AD, BE, CF đồng quy tại H.
1) Chứng minh rằng: 2 2 2
cos cos cos 1BAC CBA ACB  
2) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm các
đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP.
Bài 5. (2đ)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho:
2
2
2
p p 
là lập phương của một số tự nhiên
2) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn.
Chứng minh rằng tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì nhau có tích không lớn hơn
1
9
./.