Căn thức

1. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
1
Phần 1. Rút gọn căn thức
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: A 8 8 20 40   
2 2 2
A 8 8 20 40 5 2 1 2 2 1 2 5 1 2 2 5             .
=  
2
5 2 1 5 2 1     .
Bài 2. Đề thi chuyên ngữ 2014
Cho biểu thức:
2 4 2 1 1 2
: 3
18 2 1
x x x x
A
xx x x x
      
           
1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị của x để A > 1
Đk: 1; 3; 4; 0x x x x    (thiếu đk trừ 0,25đ)
2 4 2 1 1 2
: 3
18 2 1
x x x x
A
xx x x x
      
           
1 1 3( 2) ( 1) 2( 2)
:
2 1 2
x x x x
x x x
        
            
    
  
  1 1 2 2 1
.
3( 2) ( 1) 2( 2)2 1
x x x x x
x x xx x
        
   
        
   
1 2 1 1
.
3 91 3( 1)
x x x x x
xx x
        
           
b) Để A > 1 ta có:
1
1 0
3( 1)
x
x

 

2 4 2
0 0 1 2 1 4
3( 1) 1
x x
x x
x x
  
         
 
Kết hợp với điều kiện, kết luận: 1 4; 3x x   (thiếu x khác 3 trừ 0,25đ)
Bài 3. Hsg Bình Thuận
   
3 32
2
1 1 . 1 1
2 1
     
  
 
x x x
A
x
a) Rút gọn A
b) Tìm x biết
1
2
A 

2. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
2
Bài 4. Hsg Nam Định. Cho 𝑥 ≠ 0, −1 < 𝑥 < 1,
1 x 1 x
2
1 x 1 x
  

  
. Chứng minh rằng:
1
12 2 17
1
x
x

 

Bài 5. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1      . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một
hằng số. HD Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2.
Tự luyện
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau bằng hai cách: 3 5 3 5A    
HD: nhân thêm hoặc bình phương
Bài 7. Cho biểu thức 4 2
A 20a 92 a 16a 64     ; 4 3 2
B a 20a 102a 40a 200    
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A + B = 0
HD b) luôn có nhân tử (a + 10)
Bài 8. Hsg Thanh Hóa. Rút gọn
2
4x 1 4x 1
2 2
1 8
16
 
  

 
x x
A
x x
Bài 9. Cho biểu thức:
xxx
xx
xx
xx
x
x
P








2
122
 .1;0  xx
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi 223x
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
P
7
chỉ
nhận một giá trị nguyên.
Đs a)
2 2 2x x
P
x
 
 b) 4 2 2P   ; c)
1
4;
4
x x 
Bài 10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004
Cho biểu thức: P =
2
x x 2x x 2(x 1)
x x 1 x x 1
  
 
  

3. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
3
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.
Bài 11. Cho biểu thức
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
P
x yx y x y x y xy
     
           
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Cho 16xy  . Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
a)
x y
P
xy

 b) GTNN của P bằng 1 tại 4x y  .
Bài 12. Hsg T.T.Huế. Cho
𝐴 = (
6𝑥 + 4
3√3𝑥3 − 8
−
√3𝑥
3𝑥 + 2√3𝑥 + 4
) (
1 + 3√3𝑥3
1 + √3𝑥
− √3𝑥)
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 13. Rút gọn
a)
2
2
2a 1 x
C
1 x x


 
với
1 1 a a
x
2 a 1 a
 
  
 
; 0 < a < 1
b)
  2 2
2
a 1 b 1
D (a b)
c 1
 
  

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
HD
a) Trước hết tính x theo a được
1 2a
x
2 a(1 a)



. Sau đó tính 2
1 x được
1
2 a(1 a)
.
Đáp số : B = 1.
b) Ta có a2
+ 1 = a2
+ ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tương tự :
b2
+ 1 = (b + a)(b + c) ; c2
+ 1 = (c + a)(c + b). Đáp số : M = 0.
Phần 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 14. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :
2 x
P

4. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
4
A = a2
+ b2
+ c2
– ab – bc – ca.
Bài 15. Tính giá trị biểu thức 3 3
84 84
1 1
9 9
  
Đặt A = 3 3
84 84
1 1
9 9
  
Suy ra :
2 2
3
3 3
84 84 84 84 84 84
1 1 3 1 1 3 1 1
9 9 9 9 9 9
A
      
                       
      
3
3 3
1 84 1 84
2 3 1 3 1
27 9 27 9
A
   
                
   
3 3
84 84
2 1 1
9 9
    
                
  3 2
2 1 2 0A A A A A       1A 
Bài 16. Hsg Hải Dương. Tính giá trị của biểu thức: A = 3 2
2 3 4 2x x x  
với
5 5 5 5
2 2 3 5 1
2 2
x
 
      
Đặt
5 5 5 5
a = 2 + 2 -
2 2
 
 , a > 0
 
2
2 5 5
a 4 2 4 4 6 2 5 4 5 1 3 5 3 5
2
a

             
6 2 5 6 2 5
3 5 3 5 1 1
2 2
x
 
        
5 1 5 1
1 2 1
2 2
 
    
2
x = 2 1 2 1 0x x    
B = 2x3
+ 3x2
– 4x + 2
B = 2x(x2
+ 2x -1 ) - ( x2
+ 2x -1 ) + 1 = 1
Bài 17. Gọi a là nghiệm dương của phương trình: 2
2 1 0x x   . Không giải phương trình, hãy
tính giá trị biểu thức:
 4 2
2 3
2 2 2 3 2
a
C
a a a


  
HD Từ gt: 4 2
0 1;2 1 2a a a a     . Liên hợp biểu thức C ta có:

5. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
5
 
    4 2
4 2
2 3 2 2 2 3 22 3
2(2 3)2 2 2 3 2
a a a aa
C
aa a a
   
 
   
  2 21 1
2 2 2
2 2
a a

   
Bài 18. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 1 + 𝑥)(√𝑦2 + 1 + 𝑦) = 1. Tính x + y
Liên hợp, đs x + y = 0
Bài 19. Hsg Hà Tĩnh. Tính tổng 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛, với n = 1, 2, … 2005 biết
𝑎 𝑛 =
1
(𝑛 + 1)√ 𝑛 + 𝑛√ 𝑛 + 1
Tự luyện
Bài 20. Cho 3 3
7 50 7 50x     Chứng minh rằng:
a) x là nghiệm của phương trình 3
14 3x x 
b) x là số tự nhiên.
c) Tính 3 3
a 20 14 2 20 14 2    .
Bài 21. a) Cho
1
a
8
 . Tính giá trị biểu thức: 3 3
a 1 8a 1 a 1 8a 1
P a a
3 3 3 3
   
   
b) Cho 3
b 2020 , tính giá trị biểu thức:
3 2 2 3 2 2
3 3
b 3b (b 1) b 4 b 3b (b 1) b 4
Q
2 2
       
 
Bài 22. a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 thì:
2
2 2
2
11
a a
a b a b
aa
bb
    
   
 
b) Tính
2
2 2005
1 2005
2006
 
   
 
A
Bài 23. Tính giá trị biểu thức:  
 
20122
20125 4 3
5 4 3 2012
3
1
2
x x
A x x x
x x x
 
    
  
khi
5 1
2
x


Đs A = 0
Bài 24. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 4 − 𝑥)(√𝑦2 + 4 − 𝑦) = 4. Tính x + y

6. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
6
Bài 25. Cho số tự nhiên x, y thỏa mãn   2 2
x 1 y y 1 x 1     . Tính giá trị của biểu
thức: 7 7 5 5 3 3
P x y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 100        
Bài 26. Hsg Phú Yên. Cho
1 3
2
x
 
 ,
1 3
2
y
 
 . Tính 𝑥11
+ 𝑦11
Phần 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 27. 1) Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
    
2) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. CM
     
2 2 2
1 1 1
S
a b b c c a
  
  
là
số hữu tỉ
3) Rút gọn:
   
2 22 2 4 4 2 2
1 1 1 1 1
P
x y x yx y x y
    
  
HD 1) bđ bình phương; 2) Áp dụng câu 1 có:
1 1 1
S
a b b c c a
  
  
3)
         
2 2 2 2 24 4 2 22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y x y x yx y x y x y
       
  
 
22 2
1 1 1 1 1 1
P
x y x y x yx y
     

Bài 28. Hsg Phú Thọ. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 100. Tính giá trị biểu thức:
𝐴 =
√ 𝑥
√ 𝑥𝑦 + √ 𝑥 + 10
+
√ 𝑦
√ 𝑦𝑧 + √ 𝑦 + 1
+
10√ 𝑧
√ 𝑧𝑥 + 10√ 𝑧 + 10
Bài 29. *Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c a b c 2      . Chứng minh
rằng:
a b c 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
  
     

7. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
7
HD Đặt x a; y b; z c; có:
2 2 2
x y z x y z 2      suy ra: xy yz zx 1  
a b c x y z
1 a 1 b 1 c (x y)(x z) (x y)(y z) (x z)(y z)
    
        
2(xy yz zx)
(x y)(y z)(z x)
 

  
=
2
(1 a)(1 b)(1 c)  
Tự luyện
Bài 30. a) Rút gọn biểu thức: 2 2
1 1
A 1
a (a 1)
  

b) Tính giá trị của: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
B 1 1 ... 1
1 2 2 3 99 100
         
HD Áp dụng rút gọn a + b + c = 0 có: 2 2 2
1 1 1 1 1
A 1
1 a ( a 1) a a 1
     
  
2
a a 1 1 1
A 1
a(a 1) a a 1
 
   
 
;
1
B 100 99,99
100
  
Bài 31. Với mỗi số nguyên dương 𝑛 ≤ 2008, đặt 𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛
với
3 5
2
a

 ,
3 5
2
b

 .
Chứng minh rằng:
a) Với 𝑛 ≥ 1, ta có:
𝑆 𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 𝑛+1
+ 𝑏 𝑛+1) − 𝑎𝑏(𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛)
b) Với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, 𝑆 𝑛 là số nguyên
c)
2
5 1 5 1
2
2 2
n n
nS
                   
Tìm tất cả các giá trị của n để 𝑆 𝑛 − 2 là số chính phương.
Bài 32. a) **Cho 2 4 2 2 2 43 3
P x x y y x y    . Chứng minh rằng:
3 32 2 23
P x y 
b) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3
ax by cz  và
1 1 1
1
x y z
   . Chứng minh rằng:
2 2 2 3 3 33
ax by cz a b c    
2
1 a xy yz zx x (x y)(x z)       

8. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
8
HD
3 3 3
2 2 2 3 333 3 3
ax by cz 1 1 1
ax by cz ax ax
x y z x y z
 
         
 
33 33 33
3 33 33 3 3 byax cz 1 1 1
a b c ax ax
x y z x y z
 
         
 
Bài 33. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c  và 2
( )a b a b c    . Chứng
minh rằng:
2
2
( )
( )
a a c a c
b b c b c
  

  
Hướng dẫn
Bài 1 2 2
( ) ( ) ( 2 )( )a b a b c a a b c b a b c a c            
2 2
( ) ( ) (2 )( )a b a b c b a b c a a b c b c            
2 2
2 2
( ) ( 2 )( ) ( )
( ) (2 )( ) ( )
a a c a b c a c a c
b b c a b c b c b c
      

      
...
a c
b c

 

Phần 4. BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 34. Chứng minh: (HSG 2001)
2 2 2 2 2 1
3
2 2 2 2
   

  
Bài 35. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số:
2a b 2 cd  và 2c d 2 ab 
HD Xét tổng hai số
Bài 36. Tính giá trị của biểu thức x2
+ y2
biết rằng :
2 2
x 1 y y 1 x 1    .
Áp dụng Bunhia
Bài 37. Chứng minh rằng :
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
      . Từ đó suy ra:
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
     
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1
k. k k
(k 1)k k k 1(k 1) k k k 1 k k 1
   
                

9. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
9
=
k 1 1
1
k 1 k k 1
  
   
   
. Do đó :
1 1 1
2
(k 1) k k k 1
 
  
  
.
Vậy :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 2 1 2 ... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1
    
              
     
=
1
2 1 2
n 1
 
  
 
(đpcm).
Bài 38. a) Chứng minh *n N  . Ta có :
 
1 1 1
1 1 1n n n n n n
 
   
b) Tính :
1 1 1 1
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012
S    
   
Bài 39. CMR, n ≥ 1 , n  N :
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
    

Ta có
1 n 1 1 1 1 1 1
n n
n(n 1) n n 1(n 1) n n n 1 n n 1
   
                 
n 1 1 1 1
1 2
n 1 n n 1 n n 1
    
        
      
. Từ đó ta giải được bài toán.
Tự luyện
Bài 40. Chứng minh rằng: 2 3 4... 2010 2011 3
Bài 41. Tìm GTNN của biểu thức :    3 3 3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1        .
Bài 42. Tìm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5         .
Bài 43.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta có:
1 1 1
2
( 1) 1k k k k
 
  
  
b) Chứng minh rằng:
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 ( 1)n n
    

Bài 44. Tính :
1 1 1 1
A ...
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
    
   
.

10. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
10
Ta hãy chứng minh :
1 1 1 9
A
10(n 1) n n n 1 n n 1
   
   
Bài 45. Tìm GTLN của biểu thức
a) A = 3 5 7 3x x b) B = 5 23x x
Giải: ĐKXĐ:
5
3
x
7
3
A2
= 3x- 5 + 7- 3x + 2 (3 5)(7 3 )x x
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: A2
2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4
Dấu = xảy ra 3x - 5 = 7 - 3x x = 2
Vậy Max A2
= 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2
Bài 46. Chứng minh rằng
a) n  Z+ , ta luôn có :  1 1 1
1 .... 2 n 1 1
2 3 n
       .
b) S không là số tự nhiên với:
1 1 1
S 1 ...
2 3 100
    
HD nhân 2 cả tử và mẫu, làm trội mẫu
Bài 47. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
1 2 3 25
1 1 1 1
... 9
a a a a
     .
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng
nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , …
a25 ≥ 25. Thế thì :
1 2 25
1 1 1 1 1 1
.... ....
a a a 1 2 25
       (1). Ta lại có :
1 1 1 1 2 2 2
.... .... 1
25 24 2 1 25 25 24 24 2 2
         
  
 2 2 2
.... 1 2 25 24 24 23 .... 2 1 1
24 24 23 23 2 2
             
  
 2 25 1 1 9    (2)

11. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
11
Từ (1) và (2) suy ra :
1 2 25
1 1 1
.... 9
a a a
    , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng
nhau trong 25 số a1 , a2 , … , a25.
Bài 48. Tính tổng A 1 2 3 ... 24                  
Ta có:
       A 1 ... 3 4 ... 8 9 ... 15 16 ... 24                                         
Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9
số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, các
số thuộc nhóm 4 bằng 4.
Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70
Bài 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2
A x x 1 x x 1     
Phần 5. SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ
Bài 50. Cho
a 2
M
a 2



a) Tìm các số nguyên a để M nguyên; b) Tìm các số hữu tỉ a để M nguyên
HD
4
M 1
a 2
 

; a) đs 0; 1; 9; 16; 36; b) Đặt
4
n
a 2


2n 4
a
n

 
Vì
n 02n 4
a 0 0
n 2n

      
. Khi đó
2
2n 4
a
n
 
  
 
Vậy
2
2n 4
a
n
 
  
 
với  n Z 0; 1 
Bài 51.
a) Chứng minh 3 là số vô tỉ
b) Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3
+ ax2
+ bx
+ 12 = 0 là 1 3 .
Bài 52. Cho ba số x,y, x y là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x; y đều là các số
hữu tỉ

12. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
12
HD đặt x y a, x y b    thì a, b hữu tỉ
Nếu b = 0 đpcm
Nếu b khác 0 thì:
1 b
x b
2 a
 
  
 
;
1 b
y b
2 a
 
  
 
đều hữu tỉ.
Bài 53. Chứng minh rằng biểu thức 222221 66666 3 không thể biểu diễn được dưới dạng
 
2
a1 b 3 với a, b là số nguyên
Bài 54. Cho biểu thức :
1 1 1 1
P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
    
    
a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?
Ta có :
1
( a a 1) P ( 2 2n 1)
a a 1
        
 
.
P không phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng).
Phần 6. Các bài toán khác
Bài 55. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : 3 3
x 3 9  .
Bài 56. Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 7
3 5
5 3
 là một nghiệm.
Bài 57. Cho 𝑐 = √6√3 + 10
3
, 𝑑 = √6√3 − 10
3
. Chứng minh rằng 𝑐2
, 𝑑2
là hai nghiệm của một
phương trình bậc hai với hệ số nguyên.
𝐻𝐷: 𝑐2
= √(6√3 + 10)
23
= √(√3 + 1)
63
= (√3 + 1)
2
= 4 + 2√3, 𝑑2
= 4 − 2√3
Vậy 𝑐2
+ 𝑑2
= 8, 𝑐2
𝑑2
= 4. Vậy 𝑐2
, 𝑑2
là nghiệm của phương trình: 𝑥2
− 8𝑥 + 4 = 0